双対多面体

幾何学では、すべての多面体は、一方の頂点が他方の面に対応し、一方の頂点間の辺が他方の面間の辺に対応する、もう一方の双対構造に関連付けられています。 ^[¹^]このような双対図形は組み合わせ的または抽象的な多面体のままですが、すべてが幾何学的多面体として構成できるわけではありません。^[²^]任意の多面体から始めると、その双対の双対は元の多面体になります。

双対性は多面体の対称性を保持します。したがって、対称性によって定義される多くの多面体のクラスでは、双対は対応する対称クラスに属します。たとえば、正多面体（凸プラトン立体と星型ケプラー・ポアンソ多面体）は双対ペアを形成し、正四面体は自己双対です。等角多面体（多面体の対称性の下で任意の2つの頂点が等価である多面体）の双対は等面多面体（任意の2つの面が等価である多面体）であり、その逆もまた同様です。等辺多面体（任意の2つの辺が等価である多面体）の双対もまた等辺です。

双対性は極相似性と密接に関連しており、極相似性とは、凸多面体に適用すると、双対多面体を別の凸多面体として実現する幾何学的変換である。

二元性の種類

双対性には多くの種類がある。基本的な多面体に最も関連性の高いのは、極性の相互性と位相的または抽象的な双対性である。

極往復運動

ユークリッド空間における多面体の双対 $P$ は、球面上の極対称性によって定義されることが多い。ここでは、各頂点（極）は面平面（極平面または単に極）に関連付けられており、中心から頂点への光線は平面に垂直であり、中心から各頂点までの距離の積は半径の二乗に等しい。^{[ 3 ]}

球の半径が $r$ そして原点を中心としており（したがって、次の式で定義される） $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$ ）、そして凸多面体の極双対 $P$ は次のように定義される。

P^{\circ }=\{q~{\big |}~q\cdot p\leq r^{2}

すべての人々のために

p

で

P\},

どこ $q\cdot p$ は標準ドット積を表します $q$ そして $p$ 。

通常、双対の構築において球体が指定されていない場合は、単位球体が使用されます。 $r=1$ 上記の定義において。^{[ 4 ]}

各面について $P$ 線形方程式で表される $x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=r^{2},$ 双対多面体の対応する頂点 $\displaystyle P^{\circ }}$ 座標が取得されます $(x_{0},y_{0},z_{0})$ 同様に、各頂点は $P$ 面平面に対応します $\displaystyle P^{\circ }}$ 、そして各エッジライン $P$ エッジラインに対応します $\displaystyle P^{\circ }}$ 頂点、辺、面間の対応関係 $P$ そして $\displaystyle P^{\circ }}$ 包含関係を反転します。たとえば、エッジが $P$ 頂点、対応する辺を含む $\displaystyle P^{\circ }}$ 対応する面内に含まれます。

対称中心を持つ多面体の場合、ドーマン・ルーク作図法（後述）のように、その中心を球面とするのが一般的です。それができない場合は、外接球、内接球、または中点球（すべての辺が接線となる球面）を持つ多面体であれば、この方法を用いることができます。ただし、多面体を任意の球面を中心に反転させることも可能であり、その結果得られる双対の形状は球面の大きさや位置によって決まります。球面が変化すると、双対の形状も変化します。球面の中心を選択するだけで、相似性を除いて双対を定義するのに十分です。

ユークリッド空間の多面体において、面、辺、または頂点が球の中心にある場合、その双対の対応する要素は無限大になります。ユークリッド空間は決して無限大に達しないため、必要な「無限遠の平面」を追加することで、拡張ユークリッド空間と呼ばれる射影等価空間を形成できます。一部の理論家はユークリッド空間に固執し、双対は存在しないと主張します。一方、ウェニンガー（1983）は、これらの無限双対を（有限部分の）モデル作成に適した方法で表現する方法を発見しました。

ここでの双対性の概念は、線と辺が入れ替わる射影幾何学の双対性と密接に関連しています。射影極性は凸多面体には十分有効です。しかし、星型多面体のような非凸図形の場合、この形式の多面体双対性を射影極性の観点から厳密に定義しようとすると、さまざまな問題が発生します。^[⁵^] 非凸多面体の幾何学的双対性の定義上の問題のため、Grünbaum (2007)は、非凸多面体の適切な定義には双対多面体の概念を含めるべきだと主張しています。

正統的な双対

任意の凸多面体は、すべての辺に接する単位中球（または中間球）が存在し、接点の平均位置が球の中心となるような標準形に変形することができる。この形式は、合同条件を除いて一意である。

このような正準多面体をその中心球面を中心に反転させると、双対多面体は同じ辺接点を共有するため、これも正準多面体になります。これは正準双対であり、この2つを合わせると正準双対複合体が形成されます。^{[ 6 ]}

ドーマン・ルーク建設

一様な多面体の場合、双対多面体の各面は、ドーマン・ルーク構成法を用いて、元の多面体の対応する頂点図形から導き出すことができる。^[⁷^]

位相的双対性

たとえ一対の多面体が互いに相互変換によって得られない場合でも、一方の頂点が他方の面に対応し、一方の辺が他方の辺に対応する限り、それらは互いに双対であると言える。このような多面体のペアは、位相的にも抽象的にも双対である。

凸多面体の頂点と辺は、多面体の表面（位相球）に埋め込まれたグラフ（多面体の1-スケルトン）を形成します。このグラフを平面に投影すると、シュレーゲル図が得られます。双対多面体の頂点と辺によって形成されるグラフは、元のグラフの双対グラフです。

より一般的に言えば、面が閉じた曲面を形成する任意の多面体について、その多面体の頂点と辺はこの曲面に埋め込まれたグラフを形成し、（抽象的な）双対多面体の頂点と辺は元のグラフの双対グラフを形成する。

抽象多面体とは、要素間の接続関係が多面体の要素（面、辺、頂点）間の接続関係に対応するような、ある種の半順序集合（poset）のことです。このような半順序集合には、すべての順序関係を反転させた双対半順序集合が存在します。半順序集合をハッセ図で表すと、その双対半順序集合はハッセ図を上下反転させるだけで表すことができます。

このように、すべての幾何学的多面体は抽象多面体に対応し、抽象的な双対多面体を持つ。ただし、一部の非凸幾何学的多面体では、双対多面体が幾何学的に実現できない場合がある。

自己双対多面体

位相幾何学的に、多面体は、その双対多面体と頂点、辺、面の連結性が全く同じである場合に自己双対であると言われます。抽象的には、それらは同じハッセ図を持ちます。幾何学的には、位相幾何学的に自己双対であるだけでなく、特定の点（通常は重心）に関する極座標逆多面体も類似した図形になります。例えば、正四面体の双対多面体は、原点に関して鏡像反転した別の正四面体です。

すべての多角形は、頂点の数と辺の数が同じであり、双対性によってこれらが入れ替わるため、位相的に自己双対です。しかし、必ずしも自己双対であるとは限りません（例えば、剛体運動を除いて）。すべての多角形には、その中間球に関して幾何学的に自己双対な正則な形状があります。すべての角は合同であり、すべての辺も合同であるため、双対性の下ではこれらの合同が入れ替わります。同様に、位相的に自己双対なすべての凸多面体は、中間球の中心に関して相反する、同等の幾何学的に自己双対な多面体、すなわちその正準多面体によって実現できます。

幾何学的に自己双対な多面体は無限に存在します。最も単純な無限の族はピラミッドです。^{[ 8 ]}もう一つの無限の族である細長いピラミッドは、角柱（同じ数の面を持つ）の上にピラミッドが乗っていると大まかに説明できる多面体で構成されています。角柱の下に円錐台（上部が切り取られたピラミッド）を追加すると、別の無限の族が生成され、以下同様です。他にも多くの凸型の自己双対多面体があります。たとえば、7 頂点を持つ多面体は 6 種類、8 頂点を持つ多面体は 16 種類あります。^{[ 9 ]}

六角形の面を持つ自己双対非凸二十面体は、1900 年にブリュックナーによって特定されました。^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}非凸多面体とその双対の特定の定義の下で、他の非凸自己双対多面体も発見されています。

多面体の自己双対性を表す方法の一つは、頂点と面の集合の置換によって、すべての頂点を面に、すべての面を頂点に写像し、頂点と面の関連を保存することです。自己双対置換の逆は、そのような別の置換であり、自己双対置換が対合（自己逆置換）であると期待するのは自然ですが、すべての自己双対置換が対合にならない自己双対凸多面体も存在します。1989年にスタニスラフ・ジェンドロルによって発表された例では、頂点が14個、面が14個あります。^{[ 13 ]}