二重一様多面体

双対一様多面体は一様多面体の双対です。一様多面体が頂点推移的であるのに対し、双対一様多面体は面推移的です。

面推移多面体は、9 個の正多面体の集合、66 個の非正多面体からなる 2 つの有限集合、および 2 つの無限集合で構成されます。

• 5つの正凸プラトン立体：正四面体、立方体、正八面体、正十二面体、正二十面体。正八面体は立方体の双対であり、正二十面体は正十二面体の双対である。正四面体は自己双対であり、その双対は正四面体自身である。^[1]
• 4 つの正星型ケプラー・ポアンソ立体:大十二面体、小星型十二面体、大二十面体、大星型十二面体。大十二面体は小星型十二面体の双対であり、大二十面体は大星型十二面体の双対である。
• 13 個の凸カタラン立体。これらは一様凸アルキメデス立体の双対です。
• 53 個の星型多面体。これらは均一な星型多面体の双対です。
• 凸型と星型の両方の均一なプリズムと双対となる、無限の双角錐のシリーズ。
• 凸面体と星形の両方の均一な反プリズムの双対である台形の無限列。

完全なセットは、モデルの構築手順とともに、Wenninger の著書「Dual Models」で説明されています。

一様多面体の場合、双対多面体の各面は、ドーマン・ルーク構成法を使用して元の多面体の対応する頂点図形から導き出すことができます。^[2]ドーマン・ルーク構成法は次のように進行します。

1. VA = VB = VC = VDとなるように、頂点Vに接続された各辺の点A、B、C、D (この場合は中点)をマークします。
2. 頂点図形ABCDを描きます。
3. ABCDの外接円を描きます。
4. 各コーナーA、B、C、Dで外接円に接する線を描きます。
5. 隣接する 2 つの接線が交わる点E、F、G、Hをマークします。

線分EF、FG、GH、HEは接線の一部としてすでに描かれています。多角形EFGHは、元の頂点Vに対応する双対多面体の面です。

この例では、頂点図形のサイズは、その外接円が立方八面体の中間球面上に位置するように選択されており、この中間球面は双対菱形十二面体の中間球面にもなります。ドーマン・ルークの構成は、頂点図形が外接円を持つような中間球面を持つ多面体の場合にのみ使用できます。たとえば、一様多面体に適用できます。

• 均一多面体の一覧

• カンディ、H. マーティン、ロレット、AP (1961)、数学モデル(第 2 版)、オックスフォード: クラレンドン プレス、MR  0124167。
• Gailiunas, P.; Sharp, J. (2005)、「多面体の双対性」、国際科学技術数学教育ジャーナル、36 (6): 617–642、doi :10.1080/00207390500064049、S2CID  120818796。
• ハーマン、ダイアン L.、サリー、ポール J. (2013)。数、形、対称性: 数論、幾何学、群論入門。CRC プレス。ISBN 978-1-4665-5464-1。
• ウェニンガー、マグナス（1974）。多面体モデル。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-09859-9。
• ウェニンガー、マグナス（1983）。デュアルモデル。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-54325-8。