準円

数学において、準円は複素平面上のジョルダン曲線であり、平面からそれ自身への準等角写像による円の像である。もともとは Pfluger (1961) と Tienari (1962) によって独立に導入され、古い文献 (ドイツ語) では準等角曲線と呼ばれ、この用語は弧にも適用された。^{[1] [2]}複素解析と幾何学的関数論において、準円は円の準対称同相写像を通じて普遍タイヒミュラー空間の記述において基本的な役割を果たす 。準円は複雑な力学系でも重要な役割を果たす。

準円は、拡張された複素平面の準等角写像による円の像として定義されます。準等角写像が膨張K を持つ場合、 K準円と呼ばれます。準円の定義は、ジョルダン曲線の特徴付けを平面の同相写像による円の像として一般化したものです。特に、準円はジョルダン曲線です。準円の内部は準円板と呼ばれます。^[3]

Lehto & Virtanen (1973) で示されているように、ここでは古い用語である「準等角曲線」が使用されていますが、ジョルダン曲線が曲線の近傍における準等角写像の下の円の像である場合、それは拡張された平面の準等角写像の下の円の像でもあり、したがって準円です。同じことは「準等角弧」にも当てはまり、これは開集合または同等に拡張された平面における円弧の準等角像として定義できます。^[4]

アルフォース (1963) は、巡回順序で取られた任意の 4 つの点の交差比の絶対値が正の定数によって下に制限される ジョルダン曲線として準円の幾何学的特徴を与えました。

アルフォースはまた、準円は3点の逆三角形不等式で特徴付けられることを証明した。曲線上の2点z ₁とz _{2が選択され、} z _{3 が}結果として生じる円弧の短い方にある場合、定数Cが存在するはずである。 ^[5]

${\displaystyle |z_{1}-z_{3}|+|z_{2}-z_{3}|\leq C|z_{1}-z_{2}|.}$

この性質は境界旋回^[6]または円弧条件^[7]とも呼ばれます。

∞を通る拡張平面上のジョルダン曲線については、アルフォース（1966）は準円となるためのより簡単な必要十分条件を与えた。^{[8] [9]定数}C > 0 があり、 z ₁、z _{2 が}曲線上の任意の点であり、 z _{3 が}それらの間の線分上にある場合、

${\displaystyle \displaystyle {\left|z_{3}-{z_{1}+z_{2} \over 2}\right|\leq C|z_{1}-z_{2}|.}}$

これらの計量的特徴付けは、弧または閉曲線が、双リプシッツ写像 fの下の区間または円の像として現れるときはいつでも準共形である、つまり

${\displaystyle C_{1}|st|\leq |f(s)-f(t)|\leq C_{2}|st|}$

正の定数C _iの場合。^[10]

φが円の準対称同相写像である場合、互いに交わらない領域への[ z |<1 ]の等角写像fと| z |>1の等角写像gが存在し、 fとgの像の補写像はジョルダン曲線となる。写像fとgは円| z |=1まで連続的に拡張され、縫製方程式は

${\displaystyle \varphi =g^{-1}\circ f}$

が成り立ちます。円のイメージは準円です。

逆に、リーマン写像定理を用いると、準円の外側を均一化する 等角写像fとg は、上記の式を通じて準対称同相写像を生じます。

準対称同相写像群をメビウス変換の部分群で割った商空間は普遍タイヒミュラー空間のモデルを与える。上記の対応は準円の空間もモデルとしてとることができることを示している。^[11]

ジョルダン曲線の準等角反射は、曲線の内側と外側を曲線上の点を固定する、周期2の方向反転準等角写像である。写像は

${\displaystyle \displaystyle {R_{0}(z)={1 \over {\overline {z}}}}$

単位円に対してそのような反射を提供するので、任意の準円は準等角反射を許容します。Ahlfors (1963) は、この特性が準円を特徴付けることを証明しました。

アルフォースは、この結果が単位円板D上の一様有界正則 一価関数 f ( z )に適用できることを指摘した。Ω = f ( D ) とする。カラテオドリが素端理論を用いて証明したように、f が単位円まで連続的に拡張されるための必要十分条件は、∂Ω が局所的に連結である場合、すなわち、任意の小さな直径を持つ有限個のコンパクト連結集合による被覆を許容する場合である。円への拡張が 1-1 であるための必要十分条件は、∂Ω に切断点がない場合、すなわち、∂Ω から除去すると非連結集合になる点がある場合である。カラテオドリの定理は、切断点のない局所集合は単なるジョルダン曲線であり、まさにこの場合にfの閉じた単位円への拡張は同相写像であることを示す。^[12] f が拡張された複素平面の準等角写像まで拡張される場合、∂Ω は定義により準円である。逆にAhlfors (1963)は、∂Ωが準円でR _1が∂Ωにおける準共形反射を表す場合、割り当て

${\displaystyle \displaystyle {f(z)=R_{1}fR_{0}(z)}}$

| z | > 1 の場合、拡張複素平面への fの準等角拡張を定義します。

準円は有理写像R ( z )のジュリア集合として生じることが知られている。サリバン(1985)は、 Rのファトゥ集合が2つの成分を持ち、 Rのジュリア集合への作用が「双曲的」である場合、すなわち定数c > 0およびA > 1 が存在する場合、

${\displaystyle |\partial _{z}R^{n}(z)|\geq cA^{n}}$

ジュリア集合上にあれば、ジュリア集合は準円である。^[5]

多くの例があります: ^{[13] [14]}

• 吸引固定点を持つ二次多項式R ( z ) = z ² + c
• ドゥアディウサギ（c = –0.122561 + 0.744862i、ただしc ³ + 2 c ² + c + 1 = 0）
• 二次多項式z ² + λ zただし |λ| < 1
• コッホの雪片

準フックス群はフックス群の準共形変形として得られる。定義によりその極限集合は準円である。^{[15] [16] [17] [18] [19]}

Γ を第一種フックス群、すなわち単位円を保存するメビウス群の離散部分群とします。単位円D上で適切に不連続に作用し、極限で単位円を設定します。

μ( z )をD上の測定可能な関数 と し、

${\displaystyle \|\mu \|_{\infty }<1}$

μはΓ不変である、すなわち

${\displaystyle \mu (g(z)){{\overline {\partial _{z}g(z)}} \over \partial _{z}g(z)}=\mu (z)}$

Γ の任意のgに対して。(したがって、μ はリーマン面 D / Γ上の「ベルトラミ微分」です。)

μ( z )=0をDから設定してμをC上の関数に拡張します。

ベルトラミ方程式

${\displaystyle \partial _{\overline {z}}f(z)=\mu (z)\partial _{z}f(z)}$

メビウス変換との合成まで一意の解が存在します。

これは拡張された複素平面の準等角同相写像です。

gがΓの元であれば、 f ( g ( z ))はベルトラミ方程式の別の解を与えるので、

${\displaystyle \alpha (g)=f\circ g\circ f^{-1}}$

メビウス変換です。

群 α(Γ) は、 fによる単位円の像によって与えられる準円を極限とする準フックス群である。

有限長の線分を持たない準円が存在することが知られている。^[21]準円のハウスドルフ次元は、Gehring & Väisälä (1973) によって初めて研究され、その値は区間 [1,2] 内のすべての値を取り得ることが証明された。^{[22] Astala (1993) は、「正則運動」という新しい手法を使用して、膨張}Kを伴う準等角写像の下での任意の平面集合のハウスドルフ次元の変化を推定することができた。準円Cについては、ハウスドルフ次元の大まかな推定値があった^[23]

${\displaystyle d_{H}(C)\leq 1+k}$

どこ

${\displaystyle k={K-1 \over K+1}.}$

一方、有理写像の反復のジュリア集合 J _{cのハウスドルフ次元は}

${\displaystyle R(z)=z^{2}+c}$

ルーファス・ボーエンとデイヴィッド・ルーエルの研究の結果として推定されており、

${\displaystyle 1<d_{H}(J_{c})<1+{|c|^{2} \over 4\log 2}+o(|c|^{2}).}$

これらは拡大に対応する準円なので

${\displaystyle K={\sqrt {1+t \over 1-t}}}$

どこ

${\displaystyle t=|1-{\sqrt {1-4c}}|,}$

これにより、ベッカーとポメレンケ（1987）は、kが小さい 場合、

${\displaystyle 1+0.36k^{2}\leq d_{H}(C)\leq 1+37k^{2}.}$

ステフェン・ローデとオデッド・シュラムとのコッホ雪片の計算による下限値の改善を経て、アスタラ（1994）は次のように推測した。

${\displaystyle d_{H}(C)\leq 1+k^{2}.}$

この予想はスミルノフ (2010) によって証明されました。彼の証明の完全な説明は、出版前にすでに Astala、Iwaniec、Martin (2009) で与えられていました。

準フックス群の場合、Bowen (1979)とSullivan (1982)は、極限集合のハウスドルフ次元dが常に1より大きいことを示した。d < 2のとき、量

${\displaystyle \lambda =d(2-d)\,\in (0,1)}$

は対応する3次元双曲多様体のラプラシアンの最小の固有値である。^{[24] [25]}

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