シュワルツの三角形関数

複素解析において、シュワルツの三角形関数またはシュワルツのs関数は、上半平面を、辺として直線または円弧を持つ上半平面内の三角形に等角写像する関数である。対象の三角形は必ずしもシュワルツの三角形である必要はないが、それが数学的に最も興味深いケースである。その三角形が重なり合わないシュワルツの三角形、つまりメビウスの三角形である場合、シュワルツの三角形関数の逆関数は、その三角形の三角形群に対する一価の保型関数である。より具体的には、モジュラー関数である。

πα、πβ、πγを三角形の頂点の内角（ラジアン）とします。α 、β、γはそれぞれ0から1までの値を取ります。Nehari ^[1]によれば、これらの角度は時計回りの順序で、頂点は原点で角度παを持ち、頂点は実数線上で角度πγを持ちます。シュワルツの三角形関数は、超幾何関数で次のように表すことができます。

${\displaystyle s(\alpha ,\beta ,\gamma ;z)=z^{\alpha }{\frac {_{2}F_{1}\left(a',b';c';z\right)}{_{2}F_{1}\left(a,b;c;z\right)}}}$

どこ

a = (1−α−β−γ)/2,

b = (1−α+β−γ)/2、

c = 1−α,

a ’ = a − c + 1 = (1+α−β−γ)/2、

b ’ = b − c + 1 = (1+α+β−γ)/2、および

c ′ = 2 − c = 1 + α です。

この関数は、α + β + γ > 1 の場合は上半平面を球面三角形に、α + β + γ < 1 の場合は双曲三角形にマッピングします。α + β + γ = 1 の場合、三角形は直線の辺を持つユークリッド三角形です。a  = 0,であり、式はシュワルツ・クリストッフェル変換によって与えられる式に簡約されます。 ${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;c;z\right)=1}$

正則特異点を持つ複素常微分方程式の理論とシュワルツ導関数により、三角関数は、実係数と 0、1、∞ の特異点を持つ超幾何微分方程式の 2 つの解の商として表現できます。シュワルツの反射原理により、反射群は 2 次元の解空間に作用を誘導します。方向保存正規部分群では、この 2 次元表現は常微分方程式のモノドロミーに対応し、超幾何関数の商にメビウス変換の群を誘導します。^[2]

この写像はz = 0、1、∞に正則特異点を持ち、それぞれπα、πγ、πβの角度を持つ三角形の頂点に対応する。これらの特異点において、 ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}s(0)&=0,\\[4mu]s(1)&={\frac {\Gamma (1-a')\Gamma (1-b')\Gamma (c')}{\Gamma (1-a)\Gamma (1-b)\Gamma (c)}},\\[8mu]s(\infty )&=\exp \left(i\pi \alpha \right){\frac {\Gamma (1-a')\Gamma (b)\Gamma (c')}{\Gamma (1-a)\Gamma (b')\Gamma (c)}},\end{aligned}}}$

ここでガンマ関数です。 ${\textstyle \ガンマ (x)}$

各特異点の近くでは、関数は次のように近似できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(z)&=z^{\alpha }(1+O(z)),\\[6mu]s_{1}(z)&=(1- z)^{\ガンマ }(1+O(1-z)),\\[6mu]s_{\infty }(z)&=z^{\beta }(1+O(1/z)),\end{整列}}}$

ビッグ O 表記はどこですか。 ${\displaystyle O(x)}$

α、β、γが有理数の場合、三角形はシュワルツの三角形になります。α 、β、γがそれぞれ整数の逆数またはゼロの場合、三角形はメビウスの三角形、つまり重なり合わないシュワルツの三角形になります。メビウスの三角形の場合、逆関数はモジュラー関数です。

球面の場合、そのモジュラー関数は有理関数です。ユークリッド三角形の場合、逆関数は楕円関数を使用して表すことができます。^[4]

α = 0の場合、三角形は退化しており、完全に実数直線上にあります。βまたはγのいずれかがゼロでない場合、正の値がαになるように角度を並べ替えることができますが、すべての角度がゼロである 理想的な三角形ではこれは選択肢になりません。

代わりに、0、1、∞の頂点を持つ理想的な三角形への写像は、第一種完全楕円積分によって次のように与えられます。

${\displaystyle i{\frac {K(1-z)}{K(z)}}}$。

この式はモジュラーラムダ関数の逆関数である。^[5]

シュワルツ・クリストッフェル変換は、上半平面から任意のユークリッド多角形へのマッピングを与えます。

先にシュワルツの三角形関数を導出するために使用した方法論は、より一般的には円弧エッジの多角形に適用できます。ただし、n辺の多角形の場合、解にはn-3個の追加パラメータがあり、実際には決定が困難です。^[6]詳細については、 シュワルツ微分§円弧多角形の等角写像を参照してください。

LP Leeはシュワルツの三角形関数を用いて多面体表面への等角写像投影を導出した。^[4]