2次導関数の対称性

数学 において、2次導関数の対称性（混合偏微分等式とも呼ばれる）とは、多変数関数の偏微分順序を入れ替えると、

${\displaystyle f\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)}$

いくつかの連続条件が満たされる場合（下記参照）、結果は変わりません。つまり、2階偏微分は恒等式を満たします。

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)\ =\ {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right).}$

言い換えれば、ヘッセ行列として知られる2次偏微分行列は対称行列です。

対称性が成り立つための十分条件は、シュワルツの定理（クレローの定理、ヤングの定理とも呼ばれる）によって与えられる。^{[1] [2]}

偏微分方程式の文脈では、これはシュワルツの積分可能性条件と呼ばれます。

対称性は記号で次のように表現されます。

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\ =\ {\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)\qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial x\,\partial y}}\ =\ {\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial y\,\partial x}}.}$

別の表記法は次のとおりです。

${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f=\partial _{y}\partial _{x}f\qquad {\text{or}}\qquad f_{yx}=f_{xy}.}$

x _iに関して偏微分をとる微分演算子D _iの合成に関して：

${\displaystyle D_{i}\circ D_{j}=D_{j}\circ D_{i}}$。

この関係から、 D _iによって生成される定数係数の微分作用素の環は可換であることがわかります。ただし、これは十分に微分可能な関数の領域上の作用素としてのみ当てはまります。単項式に適用した場合の対称性は簡単に確認できるため、x _i内の多項式を領域として取ることができます。実際、滑らかな関数は別の有効な領域です。

特定の条件下での混合偏微分が等式であるという結果には長い歴史がある。 証明の失敗例のリストは、1740 年に発表されたオイラーの から始まるが^{[3] 、}ベルヌーイは1721 年にすでに正式な根拠なしにこの結果を暗黙のうちに仮定していた。^[4] クレローも 1740 年に証明案を発表したが、18 世紀末まで他の試みは行われなかった。それ以降 70 年間にわたり、不完全な証明が数多く提案された。ラグランジュ(1797) の証明はコーシー(1823)によって改良されたが、偏微分との存在と連続性を仮定していた。^[5]その他の試みは、P. ブランシェ (1841)、デュアメル(1856)、シュトゥルム(1857)、シュレーミルヒ(1862)、ベルトラン(1864) によってなされた。 1867年、リンデレフは最終的に、これまでの欠陥のある証明をすべて体系的に分析し、混合微分が等しくならない具体的な反例を示すことに成功した。^{[6] [7]}${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}}$${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}$

それから6年後、シュワルツは最初の厳密な証明を与えることに成功した。^[8] ディニは後にシュワルツよりも一般的な条件を見つけることで貢献した。最終的に、 1883年にジョーダンによって明確でより一般的なバージョンが見つかり、それが今でもほとんどの教科書に載っている証明となっている。初期の証明のマイナーバリエーションは、ローラン（1885）、ペアノ（1889と1893）、J.エドワーズ（1892）、P.ハーグ（1893）、JKウィットモア（1898）、ヴィヴァンティ（1899）、ピアポント（1905）によって発表された。1907-1909年には、 EWホブソンとWHヤングがシュワルツとディニよりも弱い条件の証明を見つけ、さらなる進歩があった。1918年、カラテオドリはルベーグ積分に基づく別の証明を与えた。^[7]

数学的解析学において、アレクシス・クレローとヘルマン・シュワルツにちなんで名付けられたシュワルツの定理（または混合偏微分 の等式に関するクレローの定理）^[9]は、集合 上で定義された関数 に対して、 がの近傍が に含まれ、の近傍上で連続な2次偏微分を持つ点である場合、内のすべてのiとjに対して${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \{1,2\ldots ,\,n\},}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}f(\mathbf {p} )={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}f(\mathbf {p} ).}$

この関数の偏導関数はその点で可換です。

この定理を証明する簡単な方法は（ 、、の場合、これは一般に結果を容易に導く）、グリーンの定理をの勾配に適用することである。${\displaystyle n=2}$${\displaystyle i=1}$${\displaystyle j=2}$${\displaystyle f.}$

平面の開集合上の関数の基本的な証明は次の通りである（簡単な簡約により、シュワルツの定理の一般的なケースは平面の場合に簡単に簡約される）。^{[10] を}点を含む開長方形上の微分可能関数とし、が連続で、かつ で連続であるとする。定義する ${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle df}$${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f}$${\displaystyle \partial _{y}\partial _{x}f}$${\displaystyle \Omega .}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u\left(h,\,k\right)&=f\left(a+h,\,b+k\right)-f\left(a+h,\,b\right),\\v\left(h,\,k\right)&=f\left(a+h,\,b+k\right)-f\left(a,\,b+k\right),\\w\left(h,\,k\right)&=f\left(a+h,\,b+k\right)-f\left(a+h,\,b\right)-f\left(a,\,b+k\right)+f\left(a,\,b\right).\end{aligned}}}$

これらの関数は に対して定義され、 はに含まれる。${\displaystyle \left|h\right|,\,\left|k\right|<\varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \left[a-\varepsilon ,\,a+\varepsilon \right]\times \left[b-\varepsilon ,\,b+\varepsilon \right]}$${\displaystyle \Omega .}$

平均値定理により、hとkが0でない固定値に対して、 開区間で次の式で 求められる。${\displaystyle \theta ,\theta ',\phi ,\phi '}$${\displaystyle (0,1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}w\left(h,\,k\right)&=u\left(h,\,k\right)-u\left(0,\,k\right)=h\,\partial _{x}u\left(\theta h,\,k\right)\\&=h\,\left[\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b+k\right)-\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b\right)\right]\\&=hk\,\partial _{y}\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b+\theta ^{\prime }k\right)\\w\left(h,\,k\right)&=v\left(h,\,k\right)-v\left(h,\,0\right)=k\,\partial _{y}v\left(h,\,\phi k\right)\\&=k\left[\partial _{y}f\left(a+h,\,b+\phi k\right)-\partial _{y}f\left(a,\,b+\phi k\right)\right]\\&=hk\,\partial _{x}\partial _{y}f\left(a+\phi ^{\prime }h,\,b+\phi k\right).\end{aligned}}}$

なので、以下の最初の等式は で割ることができます。 ${\displaystyle h,\,k\neq 0}$${\displaystyle hk}$

${\displaystyle {\begin{aligned}hk\,\partial _{y}\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b+\theta ^{\prime }k\right)&=hk\,\partial _{x}\partial _{y}f\left(a+\phi ^{\prime }h,\,b+\phi k\right),\\\partial _{y}\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b+\theta ^{\prime }k\right)&=\partial _{x}\partial _{y}f\left(a+\phi ^{\prime }h,\,b+\phi k\right).\end{aligned}}}$

最後の等式で をゼロに近づけると、と の連続性の仮定は次を意味する。 ${\displaystyle h,\,k}$${\displaystyle \partial _{y}\partial _{x}f}$${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}f\left(a,\,b\right)={\frac {\partial ^{2}}{\partial y\partial x}}f\left(a,\,b\right).}$

この説明は、バーキル、アポストル、ルーディンなどの多くの教科書に見られる単純な古典的な方法です。^{[10] [11] [12]}

上記の導出は初歩的なものであるが、このアプローチはより概念的な観点から見ることもできるので、結果はより明らかになる。^{[13] [14] [15] [16] [17]}実際、差分演算子は 可換であり、 0に近づくにつれてに近づく。2次演算子についても同様のことが言える。^[a]ここで、平面上のベクトルと方向ベクトルまたはに対して、差分演算子は次のように定義される。 ${\displaystyle \Delta _{x}^{t},\,\,\Delta _{y}^{t}}$${\displaystyle \Delta _{x}^{t}f,\,\,\Delta _{y}^{t}f}$${\displaystyle \partial _{x}f,\,\,\partial _{y}f}$${\displaystyle t}$${\displaystyle z}$${\displaystyle u}$${\displaystyle {\tbinom {1}{0}}}$${\displaystyle {\tbinom {0}{1}}}$

${\displaystyle \Delta _{u}^{t}f(z)={f(z+tu)-f(z) \over t}.}$

開区間上の関数に対する微積分学の基本定理により、${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle I}$${\displaystyle (a,b)\subset I}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f^{\prime }(x)\,dx=f(b)-f(a).}$

したがって

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq (b-a)\,\sup _{c\in (a,b)}|f^{\prime }(c)|}$。

これは平均値定理の一般化版である。実数値関数の最大値または最小値に関する基本的な議論から、がで連続かつで微分可能である場合、に点が存在し、 ${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle {f(b)-f(a) \over b-a}=f^{\prime }(c).}$

有限次元ノルム空間を持つベクトル値関数の場合、上記の等式に類似するものはなく、実際には成り立ちません。しかし、 であるため、上記の不等式は便利な代替手段となります。さらに、 の双対とその双対ノルムの組み合わせを使用すると、次の不等式が得られます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle \inf f^{\prime }\leq f^{\prime }(c)\leq \sup f^{\prime }}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle \|f(b)-f(a)\|\leq (b-a)\,\sup _{c\in (a,b)}\|f^{\prime }(c)\|}$。

これらの平均値定理のバージョンは、ルディン、ヘルマンダー、その他で議論されています。^{[19] [20]}

平面上の開集合上の関数に対して、およびを定義します。さらに、集合 ${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle D_{1}=\partial _{x}}$${\displaystyle D_{2}=\partial _{y}}$${\displaystyle t\neq 0}$

${\displaystyle \Delta _{1}^{t}f(x,y)=[f(x+t,y)-f(x,y)]/t,\,\,\,\,\,\,\Delta _{2}^{t}f(x,y)=[f(x,y+t)-f(x,y)]/t}$。

すると、開集合では、一般化された平均値定理を 2 回適用できます。 ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

${\displaystyle \left|\Delta _{1}^{t}\Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\right|\leq \sup _{0\leq s\leq 1}\left|\Delta _{1}^{t}D_{2}f(x_{0},y_{0}+ts)-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\right|\leq \sup _{0\leq r,s\leq 1}\left|D_{1}D_{2}f(x_{0}+tr,y_{0}+ts)-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\right|.}$

したがって、 はに近づき、 は0 に近づきます。同じ議論から、は に近づくことがわかります。したがって、差分演算子は交換可能であるため、偏微分演算子と も、主張されているように交換可能です。^{[21] [22] [23] [24] [25]}${\displaystyle \Delta _{1}^{t}\Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})}$${\displaystyle D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \Delta _{2}^{t}\Delta _{1}^{t}f(x_{0},y_{0})}$${\displaystyle D_{2}D_{1}f(x_{0},y_{0})}$${\displaystyle D_{1}}$${\displaystyle D_{2}}$

注：古典的な平均値定理の2つの応用により、

${\displaystyle \Delta _{1}^{t}\Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})=D_{1}D_{2}f(x_{0}+t\theta ,y_{0}+t\theta ^{\prime })}$

に対して、およびにおいてです。したがって、最初の基本証明は、差分演算子を使用して再解釈できます。逆に、2 番目の証明で一般化された平均値定理を使用する代わりに、古典的な平均値定理を使用することもできます。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta ^{\prime }}$${\displaystyle (0,1)}$

連続関数Fのコンパクトな長方形[ a , b ]×[ c , d ]上の繰り返しリーマン積分の性質は簡単に証明できる。^[26] Fの一様連続性は、関数とが連続であることを直ちに意味する。^[27]したがって、 ${\displaystyle g(x)=\int _{c}^{d}F(x,y)\,dy}$${\displaystyle h(y)=\int _{a}^{b}F(x,y)\,dx}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{c}^{d}F(x,y)\,dy\,dx=\int _{c}^{d}\int _{a}^{b}F(x,y)\,dx\,dy}$;

さらに、 Fが正であれば反復積分が正であることは明らかである。^[28]上記の等式は、測度論を必要としないフビニの定理の単純な例である。ティッチマーシュ（1939）は、長方形をさらに小さな長方形に分割することに対応するリーマン近似和を使用して、これを直接的に証明した。

クレローの定理を証明するには、f が開集合U上の微分可能関数であり、混合2次偏微分f _yxとf _{xy が}存在し、連続していると仮定します。微積分学の基本定理を2回使用すると、

${\displaystyle \int _{c}^{d}\int _{a}^{b}f_{yx}(x,y)\,dx\,dy=\int _{c}^{d}f_{y}(b,y)-f_{y}(a,y)\,dy=f(b,d)-f(a,d)-f(b,c)+f(a,c).}$

同様に

${\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f_{xy}(x,y)\,dy\,dx=\int _{a}^{b}f_{x}(x,d)-f_{x}(x,c)\,dx=f(b,d)-f(a,d)-f(b,c)+f(a,c).}$

したがって、2 つの反復積分は等しい。一方、f _xy ( x , y )は連続なので、2 番目の反復積分は、最初にxについて積分し、その後yについて積分することで実行できます。しかし、その場合、f _yx − f _xyの[ a , b ] × [ c , d ]の反復積分はゼロにならなければなりません。ただし、連続関数関数Fの反復積分がすべての長方形に対してゼロになる場合、F は必ずゼロにならなければなりません。そうでない場合、Fまたは− F は、ある点で厳密に正になり、長方形上の連続性により、これは不可能になります。したがって、f _yx − f _{xy は}必ずゼロにならなければならず、そのため、どこでもf _yx = f _xyとなります。^{[29] [30] [31] [32] [33]}

対称性を保証するのに十分である、2番目の偏微分連続性（後者によって暗示される）よりも弱い条件は、すべての偏微分がそれ自体微分可能であることである。^{[34]置換混合偏微分の}存在を主張する定理のもう一つの強化は、ペアノが1890年にマテシスに関する短いメモで提供した。

が開集合 上で定義され、上の至る所に存在する場合、は で連続であり、が の近傍に存在する場合、およびに存在する。${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \partial _{1}f(x,\,y)}$${\displaystyle \partial _{2,1}f(x,\,y)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \partial _{2,1}f}$${\displaystyle \left(x_{0},\,y_{0}\right)\in E}$${\displaystyle \partial _{2}f(x,\,y_{0})}$${\displaystyle x=x_{0}}$${\displaystyle \partial _{1,2}f}$${\displaystyle \left(x_{0},\,y_{0}\right)}$${\displaystyle \partial _{1,2}f\left(x_{0},\,y_{0}\right)=\partial _{2,1}f\left(x_{0},\,y_{0}\right)}$^[35]

超関数（一般関数）の理論は、対称性に関する解析的問題を排除します。積分可能な関数の導関数は常に超関数として定義でき、混合偏導関数の対称性は常に超関数の等式として成り立ちます。超関数の微分を定義するために形式的な部分積分を使用すると、対称性の問題はテスト関数に戻ります。テスト関数は滑らかで、この対称性を確実に満たします。より詳しくは（fは超関数で、テスト関数の演算子として書かれ、φはテスト関数です）、

${\displaystyle \left(D_{1}D_{2}f\right)[\phi ]=-\left(D_{2}f\right)\left[D_{1}\phi \right]=f\left[D_{2}D_{1}\phi \right]=f\left[D_{1}D_{2}\phi \right]=-\left(D_{1}f\right)\left[D_{2}\phi \right]=\left(D_{2}D_{1}f\right)[\phi ].}$

関数のフーリエ変換を定義する別のアプローチは、そのような変換では偏微分がはるかに明らかに交換可能な乗算演算子になることに注目することです。^[a]

関数が微分可能な偏微分を持たない場合、対称性が破れる可能性があります。これは、クレローの定理が満たされない場合（2 番目の偏微分が連続していない）に発生する可能性があります。

非対称性の例としては、（ペアノによる）関数が挙げられる^{[36] [37]}

これは極形式 で視覚化できます。この形式はどこでも連続していますが、(0, 0)におけるその導関数は代数的に計算できません。むしろ、差分商の極限は であることを示しているので、グラフは(0, 0)に水平接線平面を持ち、偏導関数が存在し、どこでも連続しています。ただし、2 番目の偏導関数は(0, 0)で連続しておらず、対称性が失われます。実際、x軸に沿ったy導関数は であるため、次のようになります。 ${\displaystyle f(r\cos(\theta ),r\sin(\theta ))={\frac {r^{2}\sin(4\theta )}{4}}}$${\displaystyle f_{x}(0,0)=f_{y}(0,0)=0}$${\displaystyle z=f(x,y)}$${\displaystyle f_{x},f_{y}}$${\displaystyle f_{y}(x,0)=x}$

${\displaystyle f_{yx}(0,0)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f_{y}(\varepsilon ,0)-f_{y}(0,0)}{\varepsilon }}=1.}$

対照的に、y軸に沿ってはx導関数となり、したがって となります。つまり、(0, 0)では混合偏導関数が存在しますが、他のすべての点では対称性が維持されます。 ${\displaystyle f_{x}(0,y)=-y}$${\displaystyle f_{xy}(0,0)=-1}$${\displaystyle f_{yx}\neq f_{xy}}$

上記の関数を極座標で表すと、次のように表すことができます。

${\displaystyle f(r,\,\theta )={\frac {r^{2}\sin {4\theta }}{4}},}$

これは、関数が原点を含む任意の小さなループを 1 周するときに 4 回振動することを示しています。したがって、直感的には、(0, 0) での関数の局所的な動作は二次形式として記述できず、ヘッセ行列は対称ではありません。

一般に、極限操作の交換は交換する必要はない。(0, 0)付近の2つの変数と、

${\displaystyle f(h,\,k)-f(h,\,0)-f(0,\,k)+f(0,\,0)}$

これは、最初にh → 0にし、次に最初にk → 0 にすることに対応します。1次の項を見ると、どちらが最初に適用されるかが問題になることがあります。これにより、2次導関数が非対称である異常な例が構築されます。この種の例は、関数の点ごとの値が問題となる実解析の理論に属します。分布として見ると、2次偏導関数の値は、ルベーグ測度が0である限り、任意の点の集合で変更できます。例ではヘッセ行列は(0, 0)を除くすべての点で対称であるため、シュワルツ分布として見るとヘッセ行列が対称であるという事実と矛盾しません。

1階微分作用素D _{i を}ユークリッド空間上の無限小作用素とみなす。つまり、D _{i は}、ある意味では、x _i軸に平行な1パラメータの並進群を生成する。これらの群は互いに可換であり、したがって無限小生成子も可換である。リー括弧

[ D _i , D _j ] = 0

は、この特性の反映です。言い換えると、ある座標の別の座標に対するリー微分はゼロになります。

クレロー・シュワルツの定理は、あらゆる（または少なくとも2回微分可能な）微分形式に対して、2番目の外導関数がゼロになることを証明するために必要な重要な事実です。これは、 であるため、あらゆる微分可能な完全形式（つまり、何らかの形式 に対してとなる形式）は閉じている（つまり）ことを意味します。^[38]${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)}$${\displaystyle d^{2}\omega :=d(d\omega )=0}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha =d\omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle d\alpha =0}$${\displaystyle d\alpha =d(d\omega )=0}$

18 世紀半ば、微分形式の理論は、平面上の 1 形式、つまり （ここで、と は平面上の関数）の最も単純なケースで初めて研究されました。 1 形式と関数の微分の研究は、1739 年と 1740 年のクレローの論文から始まりました。 その段階では、彼の研究は常微分方程式を解く方法として解釈されていました。 正式には、クレローは、開いた長方形上の 1 形式が閉じていること、つまり の場合、および が円板上の何らかの関数の形式を持つ場合にのみ、であることを示しました。 の解は、コーシーの積分公式で表すことができます。 ${\displaystyle A\,dx+B\,dy}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \omega =A\,dx+B\,dy}$${\displaystyle d\omega =0}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle df}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}A(x,y)\,dx+\int _{y_{0}}^{y}B(x,y)\,dy;}$

一方、 の場合、閉じた性質は恒等式 です。 （現代語では、これはポアンカレの補題の一種です。）^[39]${\displaystyle \omega =df}$${\displaystyle d\omega =0}$${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f=\partial _{y}\partial _{x}f}$

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