デュアルナンバー

代数学において、双対数は19世紀に初めて導入された二次代数である。双対数は $a$ $+$ $bε$ の形の式であり、 $a$ と $b$ は実数、 $ε$ はを満たす記号である。 $\displaystyle \varepsilon ^{2}=0}$ と $\varepsilon \neq 0$ 。

2 個の数は、構成要素ごとに加算し、式で乗算することができます。

(a+b\varepsilon )(c+d\varepsilon )=ac+(ad+bc)\varepsilon ,

$これは、 ε 2 = 0$ という性質と、乗算が双線形演算であるという事実から導かれる。

双対数は実数体上の2次元可換代数であり、アルティン局所環でもある。これらは、非零の冪零元を持つ環の最も単純な例の一つである。

歴史

双対数は 1873 年にウィリアム・クリフォードによって導入され、20 世紀初頭にはドイツの数学者エドゥアルト・シュトゥディによって、空間内の 2 つのねじれ線の相対位置を測定する双対角を表すために使用されました。シュトゥディは双対角を $θ + dε$ と定義しました。ここで $θ$ は 3 次元空間における 2 つの線の方向間の角度であり、 $d は$ それらの間の距離です。n $次元$ への一般化であるグラスマン数は、 19 世紀後半にヘルマン・グラスマンによって導入されました。

現代的な定義

現代代数学において、双対数の代数は、実数上の多項式環の商として定義されることが多い。 $(\mathbb {R} )$ 不定数の二乗によって生成される主イデアルによって、^[¹^]すなわち

\displaystyle \mathbb {R} [X]/\left\langle X^{2}\right\rangle .}

また、 1次元ベクトル空間の外部代数として定義することもできます。 $\varepsilon$ その基本要素として。

分割

双数除算は、分母の実部（以下の式では $c ）が$ ゼロでない場合に定義されます。除算のプロセスは複素数の除算に類似しており、分母にその共役を掛けて非実部を打ち消します。

したがって、次の形式の式を評価するには

{\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon }}

分子と分母に分母の共役複素数を掛けます。

{\begin{aligned}{\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon }}&={\frac {(a+b\varepsilon )(c-d\varepsilon )}{(c+d\varepsilon )(c-d\varepsilon )}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -bd\varepsilon ^{2}}{c^{2}+cd\varepsilon -cd\varepsilon -d^{2}\varepsilon ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -0}{c^{2}-0}}\\[5pt]&={\frac {ac+\varepsilon (bc-ad)}{c^{2}}}\\[5pt]&={\frac {a}{c}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}}}\varepsilon \end{aligned}}

一方、 $c$ がゼロで $d$ がゼロでない場合、方程式は次のようになります。

{a+b\varepsilon =(x+y\varepsilon )d\varepsilon }={xd\varepsilon +0}

$aが$ ゼロでない場合、解は存在しない。
$それ以外の場合は、 ⁠ b / d ⁠ + yε$ の形の任意の双対数によって解決されます。

これは、「商」の非実数部分が任意であることを意味するため、純粋に非実数である双対数に対しては除算は定義されない。実際、それらは（自明なことに）零因子であり、双対数の結合代数（したがって環）のイデアルを形成することは明らかである。

行列表現

双数 $a+b\varepsilon$ 正方行列で表すことができる ${\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}$ この表現では、行列は ${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$ ゼロ行列の二乗は、双対数に対応します。 $\varepsilon$ 。

一般的に、もし $\varepsilon$ が冪零行列である場合、B = { x I + y $\varepsilon$ : x, y実数} は双対数の代数と同型な部分代数です。2x2 実数行列 M(2, R )の場合、 $\varepsilon$ は、次の形式の任意の行列として考えることができます。 ${\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}$ ただし、p = a ² + bc = 0 とする。

双対数は、M(2, R ) における実数 2 代数の 3 つの同型類の 1 つです。p > 0 の場合、部分代数Bは分裂複素数と同型であり、p < 0 の場合、Bは複素平面と同型です。

自動微分

双対数の応用例の 1 つは自動微分です。任意の多項式

P(x)=p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+\cdots +p_{n}x^{n}

実数係数を持つ関数は、双対数値引数の関数に拡張することができ、

{\begin{aligned}P(a+b\varepsilon )&=p_{0}+p_{1}(a+b\varepsilon )+\cdots +p_{n}(a+b\varepsilon )^{n}\\[2mu]&=p_{0}+p_{1}a+p_{2}a^{2}+\cdots +p_{n}a^{n}+p_{1}b\varepsilon +2p_{2}ab\varepsilon +\cdots +np_{n}a^{n-1}b\varepsilon \\[5mu]&=P(a)+bP'(a)\varepsilon ,\end{aligned}}

どこ $P'$ は、 $P.$

より一般的には、任意の（解析的な）実関数は、テイラー級数を用いて双対数に拡張することができる。

f(a+b\varepsilon )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)b^{n}\varepsilon ^{n}}{n!}}=f(a)+bf'(a)\varepsilon ,

$ε$ の定義により、 $εの 2$ 乗以上の項はすべて自明に $0$ となるため。

これらの関数を双対数上で合成し、その結果における $ε$ の係数を調べることで、合成の導関数を自動的に計算できたことがわかります。

同様の方法は、 $n$ 次元ベクトル空間の外積代数を用いることで、 $n$ 変数多項式にも適用できる。

幾何学

双対数の「単位円」は、 $a = \pm1を満たすものから成ります。なぜなら、これらは$ $z$ $* =$ $a$ $-$ $bε$ である $zz * = 1$ を満たすからです。ただし、次の点に注意してください。

e^{b\varepsilon }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(b\varepsilon \right)^{n}}{n!}}=1+b\varepsilon ,

そのため、 $ε$ 軸に適用される指数マップは「円」の半分しかカバーしません。

$z = a + bε$ とする。a $\neq 0$ かつ $m$ $=$ $⁠$ $b$ $/$ $a$ $⁠$ の場合、 $z$ $=$ $a$ $(1 +$ $mε$ $)$ は双対数 $zの$ 極分解であり、傾き $m$ $は$ その角度部分である。双対数平面における回転の概念は、 $(1 +$ $pε$ $)(1 +$ $qε$ $) = 1 + ($ $p$ $+$ $q$ $)$ $ε$ であるため、垂直せん断写像と同等である。

絶対空間と絶対時間におけるガリレオ変換

\left(t',x'\right)=(t,x){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}\,,

それは

t'=t,\quad x'=vt+x,

静止座標系を速度 $v$ の移動基準系に関連付けます。 1 つの空間次元と時間に沿ったイベントを表す双対数 $t + xε$ では、同じ変換が $1 +$ $vε$ を乗じることで実行されます。

サイクル

2つの双対数 $p$ と $qが与えられたとき、それらは$ $z$ から $p$ と $q$ への直線の傾きの差（「ガリレオ角」）が一定となるような $z$ の集合を決定する。この集合は双対数平面上のサイクルである。直線の傾きの差を一定とする方程式は $z$ の実部に関する二次方程式であるため、サイクルは放物線となる。双対数平面の「周期的回転」は、その射影直線の運動として起こる。Isaak Yaglom ^[²^] : ^92-93によれば、サイクル $Z$ $= {$ $z$ $:$ $y$ $=$ $αx$ $2$ $}$ はせん断の合成の下で不変である^。

x_{1}=x,\quad y_{1}=vx+y

翻訳付き

x'=x_{1}={\frac {v}{2a}},\quad y'=y_{1}+{\frac {v^{2}}{4a}}.

力学における応用

双対数は、力学、特に運動学的合成において応用されています。たとえば、双対数を使用すると、回転関節のみを含む4節球面リンク機構の入出力方程式を、4節空間機構（回転関節、回転関節、回転関節、円筒形）に変換できます。双対化された角度は、基本部分である角度と、長さの単位を持つ双対部分から構成されます。^{[ 3 ]}詳細については、スクリュー理論を参照してください。

代数幾何学

現代代数幾何学において、体上の双対数は $k$ （つまり指輪のこと） $k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2})$ ) は、点の接ベクトルを定義するために使用できます。 $k$ -スキーム。^{[ 4 ]}この分野は $k$ 本質的に選択できるため、単にスキームの接ベクトルについて語ることが可能になります。これにより、微分幾何学の概念を代数幾何学に導入することができます。

詳細には、双対数の環は「点の1次近傍」上の関数の環と考えることができます。つまり、 $k$ -スキーム $\operatorname {Spec} (k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2}))$ [ ⁴^]次に^、 $k$ -スキーム $X$ 、 $k$ この計画の各点は地図と1対1で対応している。 $\operatorname {Spec} k\to X$ 接線ベクトルはマップと1対1で対応している $\operatorname {Spec} (k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2}))\to X$ 。

その分野 $k$ 上記は本質的に剰余体として選択できる。すなわち： $x$ 計画に基づいて $S$ 茎について考えてみましょう $S_{x}$ 注目してください $S_{x}$ は、一意の極大イデアルを持つ局所環であり、それはと表記される。 ${\mathfrak {m}}_{x}$ .そして、そのまま $k=S_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}$ 。

一般化

この構成はより一般的に実行できます。可換環 $Rに対して、$ $R$ 上の双対数を多項式環 $R$ $[$ $X$ $]$ とイデアル $($ $X$ $2$ $)$ の商として定義できます。この場合、 $X$ の像は二乗がゼロになり、上記の要素 $εに対応します。$

ゼロ平方の要素の任意のモジュール

双対数にはより一般的な構成法がある。可換環が与えられた場合 $R$ そしてモジュール $M$ リングがあります $R[M]$ 双数環と呼ばれるもので、以下の構造を持つ。

それは $R$ -モジュール $R\oplus M$ 乗算は次のように定義される $(r,i)\cdot \left(r',i'\right)=\left(rr',ri'+r'i\right)$ のために $r,r'\in R$ そして $i,i'\in I.$

双対数の代数は、 $M=R$ そして $\varepsilon =(0,1).$

スーパースペース

双対数は物理学において応用されており、超空間の最も単純な非自明な例の一つを構成している。言い換えれば、双対数は生成元が一つだけの超数である。超数は、この概念を $n個の$ 異なる生成元 $ε$ に一般化したもので、各生成元εは互いに反可換であり、 $n$ は無限大になる可能性がある。超空間は、複数の可換次元を許容することで、超数をわずかに一般化したものである。

物理学に双対数を導入する動機は、フェルミオンのパウリの排他原理に由来する。ε $に$ 沿った方向は「フェルミオン」方向と呼ばれ、実数成分は「ボソン」方向と呼ばれる。フェルミオン方向は、フェルミオンがパウリの排他原理に従うという事実からこの名前が付けられている。座標の交換によって量子力学的波動関数は符号が反転し、2 つの座標が近づくと消滅する。この物理的考え方は、代数関係 $ε$ $2$ $= 0$ によって捉えられる。

投影線

双対数上の射影直線の概念は、グリュンヴァルト^{[ 5 ]}とコッラード・セグレ^[⁶^]によって提唱された。

リーマン球面が複素射影直線を閉じるために無限遠点に北極点を必要とするのと同様に、無限遠点に直線が存在することで双対数の平面を円筒に閉じることができる。^[²^]^：^149-153

$D を双対数$ $x + yε$ の環とし、U $を$ $x \neq 0$ の部分集合とする。このとき、 $Uは$ $D$ の単元群である。B $= {($ $a$ $,$ $b$ $)$ $\in$ $D$ $\times$ $D$ $:$ $a$ $\in U または$ $b$ $\in U}$ とする。B上に次のように関係が定義される。 $($ $a$ $,$ $b$ $) ~ ($ $c$ $,$ $d$ $)とは、$ $ua$ $=$ $c$ かつ $ub$ $=$ $d$ となる $U$ の $u$ が存在する場合である。この関係 $は$ 実際には同値関係である。D $上$ の射影直線の点は、この関係のもとで $B$ における同値類である。P $($ $D$ $) =$ $B$ $/~ 。これらは$ 射影座標 $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ で表される。

埋め込み $D \to P (D)を$ $z \to [z, 1]$ で考えます。すると、 $n$ $2$ $= 0の場合の点$ $[1, n]は$ $P$ $($ $D$ $)$ に含まれますが、埋め込みによるどの点の像でもありません。 $P$ $($ $D$ $)は$ 射影によって円筒に写像されます。直線 ${$ $yε$ $:$ $y$ $\in$ $R$ $}$ 、 $ε$ $2$ $= 0 上の二重数平面に接する円筒を取ります。次に、平面の$ 束の軸として円筒上の反対の直線を取ります。二重数平面と円筒と交差する平面は、これらの曲面間の点の対応を提供します。二重数平面に平行な平面は、二重数上の射影直線上の点 $[1,$ $n$ $]$ 、 $n$ $2$ $= 0に対応します。$

参考文献

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↑ Angeles, Jorge (1998)、「運動学的解析への双対代数の応用」、Angeles, Jorge、Zakhariev, Evtim (編)、『機械システムの計算手法：機構解析、合成、最適化』、NATO ASI シリーズ、第161 巻、Springer Berlin Heidelberg、pp. 3–32、doi : 10.1007/978-3-662-03729-4_1、ISBN 9783662037294
1 2 Shafarevich, Igor R. (2013), "Schemes" , Basic Algebraic Geometry 2 , Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, pp. 35–38 , doi : 10.1007/978-3-642-38010-5_1 , ISBN 978-3-642-38009-92023年12月27日取得
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↑コッラードのセグレ（1912年）。「XL. Le geometrie proiettive nei cami di numeri duali」。オペレ。トリノのアッティデッラレアーレアカデミアデッラサイエンスディトリノ にもあります47。

さらに読む

ウルデリコのベンシベンガ（1946年）。 "Sulla rappresentazione geometaica delle algebre doppie dotate di modulo" [法を伴う二重代数の幾何学的表現について]。ナポリの科学アカデミーとベルレターレのアッティデッラレアーレ。 3 (イタリア語)。2 (7)。MR 0021123。
クリフォード、ウィリアム・キングドン（1873）。「双四元数の予備的概説」。ロンドン数学会紀要。4 ：381–395。
ハーキン、アンソニー A.、ハーキン、ジョセフ B. (2004 年 4 月)。「一般化複素数の幾何学」( PDF)。Mathematics Magazine。77 (2): 118–129。doi : 10.1080/0025570X.2004.11953236。S2CID 7837108。2022年10月9日にオリジナルからアーカイブ(PDF)。
ミラー、ウィリアム、ボーニング、ロシェル（1968）。「ガウス数、放物線数、双曲数」。The Mathematics Teacher。61（4）：377–382。doi ： 10.5951 / MT.61.4.0377。
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[yaglom-2] 1 2ヤグロム、IM（1979）。単純な非ユークリッド幾何学とその物理的基礎。シュプリンガー。ISBN 0-387-90332-1. MR 0520230 .

[3] Angeles, Jorge (1998)、「運動学的解析への双対代数の応用」、Angeles, Jorge、Zakhariev, Evtim (編)、『機械システムの計算手法：機構解析、合成、最適化』、NATO ASI シリーズ、第161 巻、Springer Berlin Heidelberg、pp. 3–32、doi : 10.1007/978-3-662-03729-4_1、ISBN 9783662037294

[:0-4] 1 2 Shafarevich, Igor R. (2013), "Schemes" , Basic Algebraic Geometry 2 , Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, pp. 35–38 , doi : 10.1007/978-3-642-38010-5_1 , ISBN 978-3-642-38009-92023年12月27日取得

[5] グリュンヴァルト、ヨーゼフ (1906)。「幾何学におけるザーレンとアンウェンドゥンの二重構造」。数学のためのモナトシェフ。17 : 81–136。土井: 10.1007/BF01697639。S2CID 119840611。

[6] コッラードのセグレ（1912年）。「XL. Le geometrie proiettive nei cami di numeri duali」。オペレ。トリノのアッティデッラレアーレアカデミアデッラサイエンスディトリノ にもあります47。

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