多項式マッピング

代数学において、無限体 k 上のベクトル空間間の多項式写像または多項式写像は、 kに係数を持つ線型関数の多項式である。つまり、次のように書くことができる。 ${\displaystyle P:V\to W}$

${\displaystyle P(v)=\sum _{i_{1},\dots ,i_{n}}\lambda _{i_{1}}(v)\cdots \lambda _{i_{n}}(v)w_{i_{1},\dots ,i_{n}}}$

ここで、 は線形関数で、 はWのベクトルです。たとえば、 の場合、多項式マッピングは と表現できます。ここで、 はV上の（スカラー値の）多項式関数です。（抽象定義の利点は、マッピングが明らかに基底の選択から自由であることです。） ${\displaystyle \lambda _{i_{j}}:V\to k}$${\displaystyle w_{i_{1},\dots ,i_{n}}}$${\displaystyle W=k^{m}}$${\displaystyle P(v)=(P_{1}(v),\dots ,P_{m}(v))}$${\displaystyle P_{i}}$

V、Wが有限次元ベクトル空間であり、代数多様体として見られるとき、多項式写像はまさに代数多様体の射である。

多項式マッピングに関する未解決の基本的な疑問の 1 つは、多項式マッピングが可逆であることの十分性に関する ヤコビアン予想です。

• 多項式関数

• Claudio Procesi (2007) 「リー群：不変量と表現によるアプローチ」、Springer、ISBN  9780387260402。