慣性モーメント

慣性モーメント
フライホイールは、回転運動の速度の変化を滑らかにするために、大きな慣性モーメントを備えています。
一般的な記号	私
SI単位	kg⋅m 2
その他のユニット	lbf·ft·s 2
他の量からの導出	${\displaystyle I={\frac {L}{\omega }}}$
寸法	Ｍ Ｌ２

慣性モーメントは、質量慣性モーメント、角/回転質量、質量の二次モーメント、または最も正確には回転慣性とも呼ばれ、回転軸に対して定義されます。これは、その軸の周りで適用されるトルクと結果として生じる角加速度の比率です。これは、直線運動における質量と同じ役割を果たします。特定の軸の周りの物体の慣性モーメントは、質量と軸に対する質量の分布の両方に依存し、質量と軸からの距離とともに増加します。

これは拡張可能な（加法的）特性です。質点の場合、慣性モーメントは単に質量に回転軸に対する垂直距離の 2 乗を掛けた値です。剛体複合システムの慣性モーメントは、その構成要素であるサブシステムの慣性モーメントの合計です（すべて同じ軸を中心にとった値です）。最も単純な定義は、軸からの距離に対する質量の2 次モーメントです。

平面内で回転するように制約された物体の場合、平面に垂直な軸の周りの慣性モーメント (スカラー値) のみが重要です。3 次元内で自由に回転する物体の場合、モーメントは対称の 3 行 3 列のマトリックスで記述できます。このマトリックスは、互いに垂直な主軸のセットに対して対角線になり、軸の周りのトルクは互いに独立して作用します。

機械工学では、単に「慣性」は「慣性質量」または「慣性モーメント」を指すことが多い。 ^[1]

物体が軸の周りを自由に回転する場合、角運動量を変更するにはトルクを適用する必要があります。任意の角加速度(角速度の変化率) を発生させるために必要なトルクの量は、物体の慣性モーメントに比例します。慣性モーメントは、SI単位ではキログラム メートルの 2 乗 (kg·m ² ) 、ヤードポンド法または米国単位ではポンド フィート秒の 2 乗 (lbf·ft·s ² ) で表されます。

慣性モーメントは、線形運動学における質量(慣性)と同じ役割を回転運動学で果たします。どちらも、物体の運動の変化に対する抵抗を特徴付けます。慣性モーメントは、回転軸の周囲に質量がどのように分布しているかによって決まり、選択した軸によって異なります。点状の質量の場合、ある軸の周りの慣性モーメントは で与えられます。ここで、は軸からの点の距離、 は質量です。拡張された剛体の場合、慣性モーメントは、すべての小さな質量片の合計に、回転軸からの距離の 2 乗を掛けた値になります。規則的な形状と均一な密度の拡張された物体の場合、この合計から、物体の寸法、形状、総質量に応じた簡単な式が生成されることがあります。 ${\displaystyle mr^{2}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle m}$

1673年、クリスティアーン・ホイヘンスは、軸から吊るされた物体の振動に関する研究でこのパラメータを導入しました。この物体は複合振り子として知られています。 ^[2]慣性モーメント（ラテン語で「momentum inertiae」 ）という用語は、レオンハルト・オイラーが1765年に著書「固体の運動は剛体である」で導入し、 ^{[2] [3]}オイラーの第二法則に組み込まれています。

複合振り子の固有振動数は、重力によって振り子の質量に課されるトルクと、慣性モーメントによって定義される加速度に対する抵抗の比から得られる。この固有振動数を単一の質量点からなる単純振り子の固有振動数と比較すると、拡張された物体の慣性モーメントの数学的定式化が得られる。^{[4] [5]}

慣性モーメントは、運動量、運動エネルギー、およびニュートンの剛体運動の法則にも現れ、その形状と質量を組み合わせた物理的パラメータとして表されます。慣性モーメントが平面運動と空間運動で現れる方法には興味深い違いがあります。平面運動では慣性モーメントを定義する単一のスカラーがありますが、空間運動では同じ計算で慣性モーメントの 3 × 3 行列が得られ、これは慣性行列または慣性テンソルと呼ばれます。^{[6] [7]}

回転するフライホイールの慣性モーメントは、機械内で適用されるトルクの変化に抵抗して回転出力を滑らかにするために使用されます。飛行機の縦軸、水平軸、垂直軸周りの慣性モーメントは、翼、昇降舵、方向舵の制御面にかかる操舵力が、飛行機のロール、ピッチ、ヨーの動きにどのような影響を与えるかを決定します。

慣性モーメントは、 断面の質量と、基準軸と断面の重心間の距離の二乗との積として定義されます。

慣性モーメントIは、系の正味角運動量 Lと主軸周りの角速度 ωの比としても定義され、 ^{[8] [9]}、 I = L ω . {\displaystyle I={\frac {L}{\omega }}.}

システムの角運動量が一定であれば、慣性モーメントが小さくなるにつれて、角速度は増加しなければなりません。これは、回転するフィギュアスケート選手が伸ばした腕を引き締めたり、ダイバーが飛び込み中に体を丸めて回転を速くしたりするときに起こります。^{[8] [9] [10] [11] [12] [13] [14]}

物体の形状が変化しない場合、その慣性モーメントは、ニュートンの運動の法則において、物体に加えられたトルク τと主軸の周りの 角加速度 αの比として現れます。つまり、 τ = I α です。{\displaystyle \tau =I\alpha .}

単純な振り子の場合、この定義により、振り子の質量mと支点からの 距離rに関する慣性モーメントIの式は次のようになります。$${\displaystyle I=mr^{2}.}$$

したがって、振り子の慣性モーメントは、物体の質量mと、回転軸までの 距離rによって定義されるその形状、つまり幾何学的形状の両方に依存します。

この簡単な公式を一般化すると、任意の形状の物体の慣性モーメントは、すべての基本質量点dmの合計に、軸kに対する垂直距離rの 2 乗を乗じたものとして定義されます。したがって、任意の物体の慣性モーメントは、その質量の空間分布によって異なります。

一般に、質量mの物体がある場合、特定の回転軸に依存して、軸周りの慣性モーメントが k となるような値で有効 半径kを定義できます。 ここで、kは軸周りの回転半径と呼ばれます。 $${\displaystyle I=mk^{2},}$$

数学的には、単振り子の慣性モーメントは、振り子の支点周りの重力によるトルクと、その支点周りの角加速度の比です。単振り子の場合、これは粒子の質量と支点からの距離の2乗の積であることが分かっています。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle r}$$${\displaystyle I=mr^{2}.}$$

これは次のように表すことができます。単純な振り子の質量にかかる重力は、振り子の運動面に対して垂直な軸の周りにトルクを生成します。ここで、はトルク軸から振り子の質量中心までの距離ベクトルであり、 は質量にかかる正味の力です。このトルクに関連して、弦と質量のこの軸周りの角加速度、があります。質量は円に制限されているため、質量の接線加速度は です。トルク方程式は次のようになります。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$${\displaystyle \mathbf {a} ={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times (m{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} )\\&=m\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right){\boldsymbol {\alpha }}-\left(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}\right)\mathbf {r} \right)\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}=I\alpha \mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}}$$

ここで、 は振り子の平面に垂直な単位ベクトルです。 (最後から2番目のステップでは、との垂直性を持つベクトル三重積展開を使用します。) この量は、ピボットポイントの周りのこの単一の質量の慣性モーメントです。 ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle I=mr^{2}}$

この量は、単純な振り子の角運動量にも現れます。これは、振り子の質量のピボット周りの速度から計算されます。ここで、は、質量のピボットポイント周りの角速度です。この角運動量は 、前の式と同様の導出を使用して 求められます 。${\displaystyle I=mr^{2}}$${\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times \left(m{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \right)\\&=m\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right){\boldsymbol {\omega }}-\left(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\mathbf {r} \right)\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\omega }}=I\omega \mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}}$$

同様に、振り子の質量の運動エネルギーは、振り子が軸の周りを回る速度によって定義され、 $${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\left(mr^{2}\right)\omega ^{2}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}.}$$

これは、量が、質量と物体の形状との組み合わせによって回転慣性を定義する方法であることを示しています。任意の形状の物体の慣性モーメントは、物体内のすべての質量要素の値の合計です。 ${\displaystyle I=mr^{2}}$${\displaystyle mr^{2}}$

複合振り子は、連続した形状の粒子の集合体から形成され、軸を中心に剛体回転する物体である。その慣性モーメントは、それを構成する各粒子の慣性モーメントの合計である。^{[15] [16] : 395–396  [17] : 51–53}複合振り子の固有 振動数( )は、その慣性モーメント に依存し、 ここで は物体の質量、は局所的な重力加速度、 は軸から物体の質量中心までの距離である。この振動周波数を小さな角変位にわたって測定することは、物体の慣性モーメントを測定する効果的な方法である。^{[18] : 516–517}${\displaystyle \omega _{\text{n}}}$${\displaystyle I_{P}}$$${\displaystyle \omega _{\text{n}}={\sqrt {\frac {mgr}{I_{P}}}},}$$${\displaystyle m}$${\displaystyle g}$${\displaystyle r}$

したがって、物体の慣性モーメントを決定するには、物体を都合のよい支点から吊り下げて、目的の慣性モーメントの方向に対して垂直な平面内で自由に振動するようにし、その固有振動数または振動周期 ( ) を測定して、 を取得します。 ここで、は振動周期 (持続時間) です (通常は複数の周期にわたって平均化されます)。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle I_{P}={\frac {mgr}{\omega _{\text{n}}^{2}}}={\frac {mgrt^{2}}{4\pi ^{2}}},}$$${\displaystyle t}$

複合振り子と同じ固有振動数を持つ単振り子は、支点から複合振り子の振動中心と呼ばれる点までの長さを定義します。この点は、打撃中心とも一致します。長さは、 次の 式から決定されます。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$$${\displaystyle \omega _{\text{n}}={\sqrt {\frac {g}{L}}}={\sqrt {\frac {mgr}{I_{P}}}},}$$$${\displaystyle L={\frac {g}{\omega _{\text{n}}^{2}}}={\frac {I_{P}}{mr}}.}$$

時計の「チクタク」と「ドク」の音を出す秒振り子は、左右に振れるのに1秒かかります。これは2秒の周期、つまり振り子の固有振動数です。この場合、振動の中心までの距離は次のように計算できます。 ${\displaystyle \pi \ \mathrm {rad/s} }$${\displaystyle L}$$${\displaystyle L={\frac {g}{\omega _{\text{n}}^{2}}}\approx {\frac {9.81\ \mathrm {m/s^{2}} }{(3.14\ \mathrm {rad/s} )^{2}}}\approx 0.99\ \mathrm {m} .}$$

秒振り子の振動中心までの距離は、局所的な重力加速度の異なる値に対応するために調整する必要があることに注意してください。ケーターの振り子は、この特性を利用して局所的な重力加速度を測定する複合振り子であり、重力計と呼ばれます。

車両や飛行機などの複雑なシステムの垂直軸周りの慣性モーメントは、システムを3点から吊り下げて三本線振り子を形成することで測定できます。三本線振り子は、垂直の重心軸を中心にねじれ振動するように設計された3本のワイヤーで支えられたプラットフォームです。^[19]三本線振り子の振動周期から、システムの慣性モーメントが得られます。^[20]

断面二次モーメントは断面二次モーメントとも呼ばれ、その物理的な意味は質量慣性モーメントとはまったく異なります。これらの計算は、梁や柱の構造設計のために土木工学でよく使用されます。断面積は、x軸の垂直モーメントとy軸の水平モーメントについて計算されます。 高さ（h）と幅（b）は、円を除いて線形の測定値であり、円は実質的に半幅から導出されます。 ${\displaystyle I_{xx}}$${\displaystyle I_{yy}}$
${\displaystyle r}$

1. 四角：${\displaystyle I_{xx}=I_{yy}={\frac {b^{4}}{12}}}$
2. 長方形: そして;${\displaystyle I_{xx}={\frac {bh^{3}}{12}}}$${\displaystyle I_{yy}={\frac {hb^{3}}{12}}}$
3. 三角： ${\displaystyle I_{xx}={\frac {bh^{3}}{36}}}$
4. 円形: ${\displaystyle I_{xx}=I_{yy}={\frac {1}{4}}{\pi }r^{4}={\frac {1}{64}}{\pi }d^{4}}$

物体の軸周りの慣性モーメントは、物体内のすべての粒子についての合計で計算されます。ここで、は指定された軸に対する垂直距離です。拡張された物体の運動の研究で慣性モーメントがどのように発生するかを確認するには、点質点の剛体集合体を考慮すると便利です。（この式は、慣性モーメントを完全には説明できないことを理解すれば、主軸以外の軸にも使用できます。^[22]） ${\displaystyle mr^{2}}$${\displaystyle r}$

回転軸上の最も近い点であるピボットポイントからの距離にある質量体の集合体の運動エネルギーを考えてみましょう。これは個々の質量体の運動エネルギーの合計です。 ^{[18] : 516–517  [23] : 1084–1085  [23] : 1296–1300}${\displaystyle N}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle P}$

$${\displaystyle E_{\text{K}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}\left(\omega r_{i}\right)^{2}={\frac {1}{2}}\,\omega ^{2}\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.}$$

これは、物体の慣性モーメントが各項の合計であることを示しています。 ${\displaystyle mr^{2}}$$${\displaystyle I_{P}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.}$$

したがって、慣性モーメントは、回転軸の周りの粒子の質量と分布を組み合わせた物理的特性です。同じ物体の異なる軸を中心に回転すると、異なる慣性モーメントが生じることに注意してください。

指定された軸の周りを回転する連続体の慣性モーメントは、点粒子が無限にあることを除いて、同じ方法で計算されます。したがって、合計の制限はなくなり、合計は次のように表されます。 $${\displaystyle I_{P}=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}}$$

別の式では、合計を積分に置き換えます。 $${\displaystyle I_{P}=\iiint _{Q}\rho (x,y,z)\left\|\mathbf {r} \right\|^{2}dV}$$

ここで、関数 は 各点 における質量密度を与え、は回転軸に垂直で回転軸上の点から固体内の点まで伸びるベクトルであり、積分は物体 の体積にわたって評価されます。平面の慣性モーメントも同様で、質量密度が面積質量密度に置き換えられ、積分はその面積にわたって評価されます。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle Q}$

断面二次モーメントに関する注記：平面内を移動する物体の慣性モーメントと梁の断面の二次モーメントは混同されることが多い。断面の形状を持つ物体の慣性モーメントは、断面に垂直な - 軸周りのこの領域の二次モーメントに密度を加重した値である。これは断面の極モーメントとも呼ばれ、 - 軸と -軸周りの二次モーメントの合計である。^[24]梁の応力は、荷重に応じて- 軸または- 軸周りの断面積の二次モーメントを使用して計算される。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

細い棒の端に薄い円盤が取り付けられ、棒のもう一方の端にある支点を中心に振動する複合振り子の慣性モーメントは、細い棒と薄い円盤のそれぞれの質量中心の慣性モーメントの計算から始まります。^[23]

• 一定の断面積と密度を持ち、長さが質量中心を通る垂直軸の周りの細い棒の慣性モーメントは積分によって決まります。 ^{[23] ：1301}軸を棒に 合わせ、原点を棒の中心に置き、棒の質量はどこにあるか。${\displaystyle s}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle x}$$${\displaystyle I_{C,{\text{rod}}}=\iiint _{Q}\rho \,x^{2}\,dV=\int _{-{\frac {\ell }{2}}}^{\frac {\ell }{2}}\rho \,x^{2}s\,dx=\left.\rho s{\frac {x^{3}}{3}}\right|_{-{\frac {\ell }{2}}}^{\frac {\ell }{2}}={\frac {\rho s}{3}}\left({\frac {\ell ^{3}}{8}}+{\frac {\ell ^{3}}{8}}\right)={\frac {m\ell ^{2}}{12}},}$$${\displaystyle m=\rho s\ell }$
• 一定の厚さ、半径、密度の薄い円板の、中心を通り面に対して垂直な軸（回転対称軸 に平行）の周りの慣性モーメントは積分によって決定されます。^{[23] : 1301  [検証失敗]}軸を円板の軸に 合わせ、体積要素を と定義すると、 はその質量になります。${\displaystyle s}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle z}$${\displaystyle dV=sr\,dr\,d\theta }$$${\displaystyle I_{C,{\text{disc}}}=\iiint _{Q}\rho \,r^{2}\,dV=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{R}\rho r^{2}sr\,dr\,d\theta =2\pi \rho s{\frac {R^{4}}{4}}={\frac {1}{2}}mR^{2},}$$${\displaystyle m=\pi R^{2}\rho s}$
• 複合振り子の慣性モーメントは、棒と円盤の慣性モーメントをピボット ポイントの周りに加えることで、次のように得られます。ここで、は振り子の長さです。慣性モーメントを質量中心から振り子のピボット ポイントに移動するために、平行軸定理が使用されていることに注意してください。${\displaystyle P}$$${\displaystyle I_{P}=I_{C,{\text{rod}}}+M_{\text{rod}}\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}+I_{C,{\text{disc}}}+M_{\text{disc}}(L+R)^{2},}$$${\displaystyle L}$

標準ボディ形状の慣性モーメントの公式のリストは、より単純な形状のボディのアセンブリとして複雑なボディの慣性モーメントを取得する方法を提供します。平行軸定理は、個々のボディの基準点をアセンブリの基準点にシフトするために使用されます。

もう1つの例として、質量中心を通る軸の周りの一定密度の固体球の慣性モーメントを考えてみましょう。これは、考慮する軸に沿って中心を持つ球を形成できる薄い円板の慣性モーメントを合計することによって決定されます。球の表面が式^{[23]で定義されている場合：1301} $${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},}$$

すると、-軸に沿った断面における円板の半径の2乗は ${\displaystyle r}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$$${\displaystyle r(z)^{2}=x^{2}+y^{2}=R^{2}-z^{2}.}$$

したがって、球の慣性モーメントは、軸に沿った円板の慣性モーメントの合計です。 ここで、は球の質量です。 ${\displaystyle z}$$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{C,{\text{sphere}}}&=\int _{-R}^{R}{\tfrac {1}{2}}\pi \rho r(z)^{4}\,dz=\int _{-R}^{R}{\tfrac {1}{2}}\pi \rho \left(R^{2}-z^{2}\right)^{2}\,dz\\[1ex]&={\tfrac {1}{2}}\pi \rho \left[R^{4}z-{\tfrac {2}{3}}R^{2}z^{3}+{\tfrac {1}{5}}z^{5}\right]_{-R}^{R}\\[1ex]&=\pi \rho \left(1-{\tfrac {2}{3}}+{\tfrac {1}{5}}\right)R^{5}\\[1ex]&={\tfrac {2}{5}}mR^{2},\end{aligned}}}$$${\textstyle m={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho }$

機械システムが固定された平面と平行に動くように制約されている場合、システム内の物体の回転はこの平面と平行な軸の周りで発生します。この場合、このシステム内の質量の慣性モーメントは、極慣性モーメントと呼ばれるスカラーです。極慣性モーメントの定義は、運動量、運動エネルギー、および粒子の剛体の平面運動に関するニュートンの法則を考慮することで得られます。^{[15] [18] [25] [26]}${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$

粒子のシステム が剛体に組み立てられる場合、システムの運動量は、基準点 に対する位置と絶対速度で表すことができます。 ここで、はシステムの角速度、は の速度です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \mathbf {r} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ,\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\mathbf {V} ={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} ,\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$${\displaystyle \mathbf {V} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$

平面運動の場合、角速度ベクトルは運動平面に垂直な単位ベクトルに沿って向きます。基準点から点までの単位ベクトルと単位ベクトルを導入すると、 ${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {e}} _{i}&={\frac {\Delta \mathbf {r} _{i}}{\Delta r_{i}}},\quad \mathbf {\hat {k}} ={\frac {\boldsymbol {\omega }}{\omega }},\quad \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i},\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} =\omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {V} =\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \end{aligned}}}$$

これは、平面内を移動する粒子の剛体システムの相対位置ベクトルと速度ベクトルを定義します。

外積に関する注意: 物体が地面と平行に動く場合、物体のすべての点の軌道はこの地面と平行な平面上にあります。つまり、物体が回転する場合は、必ずこの平面に垂直な軸を中心に回転します。平面運動は、回転軸が点として現れるように、この地面に投影されて表現されることがよくあります。この場合、物体の角速度と角加速度はスカラーであり、回転軸に沿ったベクトルであるという事実は無視されます。これは通常、このトピックの導入で好まれます。しかし、慣性モーメントの場合、質量と形状の組み合わせは外積の幾何学的特性から恩恵を受けます。このため、平面運動に関するこのセクションでは、物体の角速度と角加速度は地面に垂直なベクトルであり、外積の演算は空間剛体運動の研究で使用されるものと同じです。

剛体粒子系の平面運動の角運動量ベクトルは^{[15] [18]で与えられる。} $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right)\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\right)\omega \mathbf {\hat {k}} +\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\right)\times \mathbf {V} .\end{aligned}}}$$

質量の中心 を基準点として ${\displaystyle \mathbf {C} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ,\\\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}&=0,\end{aligned}}}$$

そして質量中心に対する慣性モーメントを次のように 定義する。${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$$${\displaystyle I_{\mathbf {C} }=\sum _{i}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2},}$$

すると角運動量の式は^{[23]のように簡略化される：1028} $${\displaystyle \mathbf {L} =I_{\mathbf {C} }\omega \mathbf {\hat {k}} .}$$

剛体システムの動きに垂直で質量の中心を通る軸の周りの慣性モーメントは、極慣性モーメントとして知られています。具体的には、軸（または極）からの直交距離に関する 質量の 2 番目のモーメントです。${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$

角運動量が一定であれば、慣性モーメントが減少すると角速度が増加します。フィギュア スケーターは腕を引き締めることで慣性モーメントを変更できます。したがって、腕を伸ばしたスケーターが達成した角速度は、腕を引き締めると慣性モーメントが減少するため、角速度が大きくなります。ただし、フィギュア スケーターは剛体ではありません。

平面内を運動する剛体粒子系の運動エネルギーは^{[15] [18]で与えられる。} $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i},\\&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right)\cdot \left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right),\\&={\frac {1}{2}}\omega ^{2}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\mathbf {\hat {t}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {t}} _{i}\right)+\omega \mathbf {V} \cdot \left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .\end{aligned}}}$$

参照点をシステムの質量中心とすると、第2項はゼロになり、慣性モーメントを導入すると、運動エネルギーは^{[23]で与えられる：1084}${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$ $${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}I_{\mathbf {C} }\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .}$$

慣性モーメントとは、物体の 慣性極モーメントのことです。${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$

ニュートンの剛体粒子系に対する法則は、基準点における合力とトルクで表すことができ、 ^{[15] [18]}となる。 ここで、は各粒子の軌道を表す。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$${\displaystyle \mathbf {R} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {A} _{i},\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}\Delta \mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {A} _{i},\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$

剛体の運動学では、基準粒子の位置と加速度、および剛体粒子系の 角速度ベクトルと角加速度ベクトルに基づいて、粒子の加速度の式が次のように表されます。${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$$${\displaystyle \mathbf {A} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {A} .}$$

平面運動に制限されているシステムの場合、角速度ベクトルと角加速度ベクトルは運動面に対して垂直に向いており、この加速度方程式は単純化されます。この場合、加速度ベクトルは、基準点から点への単位ベクトルと単位ベクトルを導入することで単純化できます。 ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} _{i}&=\alpha \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}-\omega \mathbf {\hat {k}} \times \omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} \\&=\alpha \Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}-\omega ^{2}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} .\end{aligned}}}$$

これにより、システムにかかるトルクは次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \left(\alpha \Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}-\omega ^{2}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} \right)\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\right)\alpha \mathbf {\hat {k}} +\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\right)\times \mathbf {A} ,\end{aligned}}}$$

ここで、 はすべての粒子の平面に垂直な単位ベクトルです。 ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {e}} _{i}=\mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} }$${\displaystyle P_{i}}$

質量中心を 基準点として、質量中心に対する慣性モーメントを定義すると、結果として生じるトルクの式は次のように簡略化される^{[23] ：1029}${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=I_{\mathbf {C} }\alpha \mathbf {\hat {k}} .}$$

スカラー慣性モーメントは、粒子系が3次元空間で運動する剛体に組み立てられるときに、行列の要素として現れる。この慣性行列は、粒子の剛体系の角運動量、運動エネルギー、および結果として生じるトルクの計算に現れる。^{[4] [5] [6] [7] [27]}

粒子のシステム が、固定された基準フレームに対する速度 で座標 に配置されているとします。(移動する可能性のある) 基準点 の場合、相対位置は で 、(絶対) 速度は です 。 ここではシステムの角速度、 はの速度です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {R} }$$${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} }$$$${\displaystyle \mathbf {v} _{i}={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {R} }}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$${\displaystyle \mathbf {V_{R}} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$

外積は、最初のオペランドと演算子をの要素から構成される歪対称行列 に結合することによって、行列の乗算として同等に記述できることに注意します。 ${\displaystyle \left[\mathbf {b} \right]}$${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{x},b_{y},b_{z})}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} \times \mathbf {y} &\equiv \left[\mathbf {b} \right]\mathbf {y} \\\left[\mathbf {b} \right]&\equiv {\begin{bmatrix}0&-b_{z}&b_{y}\\b_{z}&0&-b_{x}\\-b_{y}&b_{x}&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

慣性行列は角運動量を考慮して構築され、物体の基準点は質量中心に選ばれます。^{[4] [7]}ここで、 ( ) を含む項の合計は質量中心の定義によりゼロになります。 ${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {R} }\right)\\&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left(\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {V} _{\mathbf {R} }\right),\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbf {V_{R}} }$${\displaystyle =\mathbf {C} }$

次に、相対位置ベクトル から得られる歪対称行列を使用して を定義できます。 ここで、 によって定義される は 、質量中心 を基準として測定された粒子の剛体系の対称慣性行列です。 ${\displaystyle [\Delta \mathbf {r} _{i}]}$${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} }$$${\displaystyle \mathbf {L} =\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }},}$$${\displaystyle \mathbf {I_{C}} }$$${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2},}$$${\displaystyle \mathbf {C} }$

剛体粒子系の運動エネルギーは、系の質量中心と慣性モーメントの行列で表すことができます。粒子系を速度の座標に配置すると、運動エネルギーは^{[4] [7]}となり、 ここで は質量中心に対する粒子の位置ベクトルです。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ $${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right),}$$${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} }$

この式を展開すると3つの項が得られる。 $${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right).}$$

質量の中心は で定義されるので 、この式の2番目の項はゼロです。歪対称行列を導入すると、運動エネルギーは ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}=0}$${\displaystyle [\Delta \mathbf {r} _{i}]}$$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\cdot \left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }.\end{aligned}}}$$

したがって、粒子の剛体系の運動エネルギーは、 が質量中心に対する慣性行列であり、 が 総質量である、 によって与えられます。 $${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} _{\mathbf {C} }^{2}.}$$${\displaystyle \mathbf {I_{C}} }$${\displaystyle M}$

慣性行列は、ニュートンの第2法則を剛体粒子集合体に適用する際に現れる。このシステムで生じるトルクは、^{[4] [7]} で、 ここで は粒子の加速度である。剛体の運動学では、基準点の位置と加速度、および剛体システムの角速度ベクトルと角加速度ベクトルによって、粒子の加速度の式が次のように得られる。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {r_{i}} -\mathbf {R} \right)\times m_{i}\mathbf {a} _{i},}$$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {R} }}$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+{\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)+\mathbf {A} _{\mathbf {R} }.}$$

質量中心を基準点として、交差積を表す歪対称行列を導入すると、 ${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]=\left[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} \right]}$${\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} )\times }$$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}}$$

計算では、 以下の証明に示すように、 三重クロス積のヤコビ恒等式 から得られる恒等式を使用します。$${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)=0,}$$

したがって、粒子の剛体システムにかかる合成トルクは、 質量中心に対する慣性行列 によって与えられます。$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }},}$$${\displaystyle \mathbf {I_{C}} }$

物体の慣性行列は基準点の選択に依存する。質量中心に対する慣性行列と他の点に対する慣性行列の間には有用な関係がある。この関係は平行軸定理と呼ばれる。^{[4] [7]}${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$

基準点を基準として測定された剛体粒子系に対して得られる慣性行列を考える。 ${\displaystyle \mathbf {I_{R}} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$$${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right]^{2}.}$$

を剛体の質量の中心と すると、 は質量の中心から基準点へのベクトル です。この式を使用して慣性行列を計算します。 ${\displaystyle \mathbf {C} }$$${\displaystyle \mathbf {R} =(\mathbf {R} -\mathbf {C} )+\mathbf {C} =\mathbf {d} +\mathbf {C} ,}$$${\displaystyle \mathbf {d} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$$${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\left(\mathbf {C} +\mathbf {d} \right)]^{2}=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} \right)-\mathbf {d} ]^{2}.}$$

外積に分配して $${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]^{2}\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]\right)[\mathbf {d} ]+[\mathbf {d} ]\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)[\mathbf {d} ]^{2}.}$$

最初の項は、質量中心に対する慣性行列です。2 番目と 3 番目の項は、質量中心の定義によりゼロになります。最後の項は、システムの合計質量に、から構築された歪対称行列の 2 乗を乗じたものです。 ${\displaystyle \mathbf {I_{C}} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle [\mathbf {d} ]}$${\displaystyle \mathbf {d} }$

結果は平行軸定理であり、 は質量中心から基準点へのベクトルです。 $${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {R} }=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }-M[\mathbf {d} ]^{2},}$$${\displaystyle \mathbf {d} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$

マイナス符号に関する注意: 基準点に対する位置ベクトルの歪対称行列を使用すると、各粒子の慣性行列は という形式になります。これは、平面運動で現れる に似ています。ただし、これを正しく機能させるには、マイナス符号が必要です。このマイナス符号は、の歪対称性特性を使用して、必要に応じて項 に吸収できます。 ${\displaystyle -m\left[\mathbf {r} \right]^{2}}$${\displaystyle mr^{2}}$${\displaystyle m\left[\mathbf {r} \right]^{\mathsf {T}}\left[\mathbf {r} \right]}$${\displaystyle [\mathbf {r} ]}$

方向が単位ベクトルで指定され、点で物体を通過する指定軸の周りの物体のスカラー慣性モーメント は、次の式で表されます。^[7] ここで、は基準点 に対するシステムの慣性モーメント行列、 はベクトル から得られる歪対称行列です。 ${\displaystyle I_{L}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$ $${\displaystyle I_{L}=\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right)\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} ,}$$${\displaystyle \mathbf {I_{R}} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle [\Delta \mathbf {r} _{i}]}$${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} }$

これは次のようにして導かれます。粒子の剛体集合 が座標 を持っているとします。 を参照点 として を選択し、参照点 を通る単位ベクトルによって定義される直線 L の周りの慣性モーメントを計算します。この直線から粒子への垂直ベクトルは、に投影される成分を除去することによってから得られます。 ここで は慣性行列との混同を避けるため単位行列であり、 は直線 に沿った単位ベクトルから形成される外積行列です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {L} (t)=\mathbf {R} +t\mathbf {\hat {k}} }$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$$${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }=\Delta \mathbf {r} _{i}-\left(\mathbf {\hat {k}} \cdot \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\mathbf {\hat {k}} =\left(\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\right)\Delta \mathbf {r} _{i},}$$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$${\displaystyle L}$

このスカラー慣性モーメントを物体の慣性行列に関連付けるには、となる歪対称行列を導入します。すると、が単位ベクトルである ことに注意して恒等式が得られます 。${\displaystyle \left[\mathbf {\hat {k}} \right]}$${\displaystyle \left[\mathbf {\hat {k}} \right]\mathbf {y} =\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {y} }$$${\displaystyle -\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\equiv \left|\mathbf {\hat {k}} \right|^{2}\left(\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\right)=\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}},}$$${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$

垂直ベクトルの大きさの2乗は $${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }\right|^{2}&=\left(-\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left(-\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\Delta \mathbf {r} _{i}\right)\\&=\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\end{aligned}}}$$

この式の簡略化には、点積と外積を入れ替えた三重スカラー積の恒等式を使用します 。積を交換し、 とが直交していることに注目して簡略化します。 $${\displaystyle \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\equiv \left(\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\times \mathbf {\hat {k}} \right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right),}$$${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\\={}&\left(\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\times \mathbf {\hat {k}} \right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\\={}&\left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left(-\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {\hat {k}} \right)\\={}&-\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(\Delta \mathbf {r} _{i}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {\hat {k}} \right)\\={}&-\mathbf {\hat {k}} \cdot \left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\mathbf {\hat {k}} .\end{aligned}}}$$

したがって、方向を通る直線の周りの慣性モーメントは、計算から得られます 。 ここで、は基準点に対するシステムの慣性モーメント行列です。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{L}&=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left|\Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }\right|^{2}\\&=-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {\hat {k}} \cdot \left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right)\mathbf {\hat {k}} \\&=\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbf {I_{R}} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$

これは、慣性行列を使用して、物体内の任意の指定された回転軸の周りの物体の慣性モーメントを計算できることを示しています。

同じ物体でも、回転軸が異なれば、その軸の周りの慣性モーメントも異なります。一般に、物体がすべての軸に対して対称でない限り、慣性モーメントは等しくなりません。慣性モーメントテンソルは、物体のすべての慣性モーメントを 1 つの量でまとめる便利な方法です。慣性モーメントは空間内の任意の点を基準に計算できますが、実用上は質量中心が最も一般的に使用されます。

質点からなる剛体の場合、慣性モーメントテンソルは次のように表される。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle m_{k}}$$${\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\I_{21}&I_{22}&I_{23}\\I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}.}$$

その構成要素は次のように定義される。 $${\displaystyle I_{ij}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(\left\|\mathbf {r} _{k}\right\|^{2}\delta _{ij}-x_{i}^{(k)}x_{j}^{(k)}\right)}$$

どこ

• ${\displaystyle i}$、、およびの場合、それぞれ1、2 、または 3 に等しい。${\displaystyle j}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \mathbf {r} _{k}=\left(x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},x_{3}^{(k)}\right)}$テンソルが計算される点から質点へのベクトルであり、${\displaystyle m_{k}}$
• ${\displaystyle \delta _{ij}}$クロネッカーのデルタです。

定義により、は対称テンソルであることに注意してください。 ${\displaystyle \mathbf {I} }$

対角要素はより簡潔に次のように記述される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{xx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{yy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{zz}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right),\end{aligned}}}$$

一方、非対角要素は慣性積とも呼ばれ、 $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{xy}=I_{yx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k},\\I_{xz}=I_{zx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k},\\I_{yz}=I_{zy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}.\end{aligned}}}$$

ここで、は物体が x 軸を中心に回転するときの - 軸周りの慣性モーメントを表し、は物体が - 軸を中心に回転するときの - 軸周りの慣性モーメントを表します。 ${\displaystyle I_{xx}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle I_{xy}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

これらの量は、スカラー慣性モーメントと同様に、質量密度関数で記述される分散質量を持つ物体に一般化することができる。 $${\displaystyle \mathbf {I} =\iiint _{V}\rho (x,y,z)\left(\|\mathbf {r} \|^{2}\mathbf {E} _{3}-\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} \right)\,dx\,dy\,dz,}$$

ここで、 はそれらの外積、E ₃は 3×3単位行列、V はオブジェクトを完全に含む空間領域です。 ${\displaystyle \mathbf {r} \otimes \mathbf {r} }$

あるいは、角運動量演算子を 使って次のように書くこともできます。 ${\displaystyle [\mathbf {r} ]\mathbf {x} =\mathbf {r} \times \mathbf {x} }$$${\displaystyle \mathbf {I} =\iiint _{V}\rho (\mathbf {r} )[\mathbf {r} ]^{\textsf {T}}[\mathbf {r} ]\,dV=-\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )[\mathbf {r} ]^{2}\,dV}$$

慣性テンソルは慣性行列と同じように、任意の軸の周りのスカラー慣性モーメントを計算するために使用できます。 ${\displaystyle \mathbf {n} }$$${\displaystyle I_{n}=\mathbf {n} \cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {n} ,}$$

ここで、ドット積は、成分テンソルの対応する要素で取られます。計算によって、慣性項の積、たとえば が得られ 、これは、物体が - 軸の周りを回転するときの - 軸 の周りの慣性モーメントとして解釈できます。 ${\displaystyle I_{12}}$$${\displaystyle I_{12}=\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {e} _{2},}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

2次のテンソルの成分は行列にまとめることができる。慣性テンソルの場合、この行列は次のように表される。 $${\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\[1.8ex]I_{21}&I_{22}&I_{23}\\[1.8ex]I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\[1.8ex]I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\[1.8ex]I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}\\[1ex]-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}\\[1ex]-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\end{bmatrix}}.}$$

剛体力学では、慣性テンソルの成分として、 やなどの、軸、軸を明示的に識別する表記法を使用するのが一般的です。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle I_{xx}}$${\displaystyle I_{xy}}$

SolidWorks、Unigraphics NX/Siemens NX、MSC Adams などの一部の CAD および CAE アプリケーションでは、慣性積に別の規則が使用されています。この規則によると、慣性積の式からマイナス記号が削除され、代わりに慣性マトリックスに挿入されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{xy}=I_{yx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k},\\I_{xz}=I_{zx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k},\\I_{yz}=I_{zy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k},\\[3pt]\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\[1.8ex]I_{21}&I_{22}&I_{23}\\[1.8ex]I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}I_{xx}&-I_{xy}&-I_{xz}\\[1.8ex]-I_{yx}&I_{yy}&-I_{yz}\\[1.8ex]-I_{zx}&-I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}\\[1ex]-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}\\[1ex]-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

慣性データがあっても、どの慣性規則が使用されているかがわからなければ、主軸も持っているかどうかを判断できます。主軸法では、次の 2 つの仮定から慣性行列を作成します。 ${\displaystyle (I_{xx},I_{yy},I_{zz},I_{xy},I_{xz},I_{yz})}$

1. 標準慣性規則が使用されています。${\displaystyle (I_{12}=I_{xy},I_{13}=I_{xz},I_{23}=I_{yz})}$
2. 代替慣性規則が使用されています。${\displaystyle (I_{12}=-I_{xy},I_{13}=-I_{xz},I_{23}=-I_{yz})}$

次に、2 つの行列の固有ベクトルを計算します。固有ベクトルが主軸に平行な行列は、使用されている慣性規則に対応します。

原点を通る回転軸から方向への粒子の距離は であり、 は単位ベクトルである。軸上の慣性モーメントは ${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$${\displaystyle \left|\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right|}$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$$${\displaystyle I=mr^{2}=m\left(\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right)\cdot \left(\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right)=m\left(\mathbf {x} ^{2}-2\mathbf {x} \left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} +\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)^{2}\mathbf {\hat {n}} ^{2}\right)=m\left(\mathbf {x} ^{2}-\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)^{2}\right).}$$

行列転置を使用して方程式を書き直します。

$${\displaystyle I=m\left(\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} -\mathbf {\hat {n}} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {\hat {n}} \right)=m\cdot \mathbf {\hat {n}} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} \cdot \mathbf {E_{3}} -\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {\hat {n}} ,}$$

ここで、E _{3 は}3×3の単位行列です。

これは慣性モーメントのテンソル式につながる。

$${\displaystyle I=m{\begin{bmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\[0.5ex]-yx&x^{2}+z^{2}&-yz\\[0.5ex]-zx&-zy&x^{2}+y^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}n_{1}\\[0.7ex]n_{2}\\[0.7ex]n_{3}\end{bmatrix}}.}$$

複数の粒子の場合、この式が正しいことを確認するには、慣性モーメントが加算されるということを思い出すだけで十分です。

を物体の質量中心で計算した慣性テンソルとし、を物体の変位ベクトルとします。移動した物体の元の質量中心に対する慣性テンソルは次のように求められます。 ここで、 は物体の質量、E ₃は 3 × 3 単位行列、 は外積です。 ${\displaystyle \mathbf {I} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {R} }$$${\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {I} _{0}+m[(\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} )\mathbf {E} _{3}-\mathbf {R} \otimes \mathbf {R} ]}$$${\displaystyle m}$${\displaystyle \otimes }$

物体の回転を表す行列を とする。回転する物体の慣性テンソルは次のように与えられる: ^[28]${\displaystyle \mathbf {R} }$ $${\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {R} \mathbf {I_{0}} \mathbf {R} ^{\textsf {T}}}$$

ニュートンの第2法則における慣性行列の使用は、その成分が慣性フレームに平行な軸を基準として計算され、物体に固定された参照フレームを基準として計算されないことを前提としています。^{[7] [25]}これは、物体が移動すると、慣性行列の成分が時間とともに変化することを意味します。対照的に、物体に固定されたフレームで測定された慣性行列の成分は一定です。

質量中心に対するボディフレームの慣性行列を と表し、慣性フレームに対するボディフレームの向きを回転行列 で定義します。ここで、 ボディ固定座標フレームの ベクトルは慣性フレームの座標を持ちます。すると、慣性フレームで測定されたボディの慣性行列は次のように表されます。 ${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} \mathbf {y} ,}$$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$$${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }=\mathbf {A} \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}.}$$

体が動くと が変化するのに対し、 は一定のままであることに注目してください。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}}$

物体座標系で測定すると、慣性行列は定数の実対称行列となる。実対称行列は回転行列と対角行列の積に固有値分解され、 次 のように表される。${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$$${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}=\mathbf {Q} {\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {Q} ^{\mathsf {T}},}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}={\begin{bmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\end{bmatrix}}.}$$

回転行列の列は物体の主軸の方向を定義し、定数、、は主慣性モーメントと呼ばれます。この結果は、JJシルベスター（1852）によって最初に示され、シルベスターの慣性法則の一種です。^{[29] [30]}慣性モーメントが最も大きい主軸は、図形軸または図形の軸と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle I_{2}}$${\displaystyle I_{3}}$

おもちゃのコマは回転する剛体の一例で、コマという言葉は剛体の種類の名前に使われます。すべての主慣性モーメントが異なる場合、質量の中心を通る主軸は一意に指定され、剛体は非対称コマと呼ばれます。2 つの主モーメントが同じ場合、剛体は対称コマと呼ばれ、対応する 2 つの主軸は一意に選択できません。3 つの主モーメントがすべて同じ場合、剛体は球状コマと呼ばれ(球状である必要はありません)、どの軸も主軸と見なすことができます。つまり、どの軸についても慣性モーメントは同じです。

主軸は、多くの場合、オブジェクトの対称軸と一致します。剛体が の順序の対称軸を持つ場合、つまり、指定された軸を中心に360° / mの回転に対して対称である場合、その軸は主軸です。 のとき、剛体は対称トップです。剛体が互いに平行でも垂直でもない少なくとも 2 つの対称軸を持つ場合、それは球状トップ、たとえば立方体やその他のプラトン立体です。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle m>2}$

車両の動きは、ヨー、ピッチ、ロールの観点から説明されることが多く、これらは通常、3 つの主軸の周りの回転にほぼ相当します。車両が左右対称である場合、主軸の 1 つは、横方向 (ピッチ) 軸と正確に対応します。

この数学的現象の実際の例としては、自動車のタイヤのバランスをとるという日常的な作業が挙げられます。これは基本的に、車輪の質量の分布を調整して、車輪の慣性主軸が車軸と一直線になるようにし、車輪がぐらつかないようにすることを意味します。

回転分子は非対称、対称、球状トップに分類され、回転スペクトルの構造はタイプごとに異なります。

物体座標系における慣性モーメント行列は、ポアンソの楕円体と呼ばれる物体の表面を定義する2次形式です。^[31]主軸に沿った質量中心に対する慣性行列をとれば、表面 または は 物体座標系における楕円体 を定義します。この方程式を の形式で書き表すと、 この楕円体の半主直径は次のように表されることがわかります。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} =1,}$$$${\displaystyle I_{1}x^{2}+I_{2}y^{2}+I_{3}z^{2}=1,}$$$${\displaystyle \left({\frac {x}{1/{\sqrt {I_{1}}}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{1/{\sqrt {I_{2}}}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{1/{\sqrt {I_{3}}}}}\right)^{2}=1,}$$$${\displaystyle a={\frac {1}{\sqrt {I_{1}}}},\quad b={\frac {1}{\sqrt {I_{2}}}},\quad c={\frac {1}{\sqrt {I_{3}}}}.}$$

この楕円体上の点をその大きさと方向 で定義するとします。ここで は単位ベクトルです。すると、慣性行列と方向の軸の周りのスカラー慣性モーメントの間には、上に示した関係から次の式が得られます 。${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} =\|\mathbf {x} \|\mathbf {n} }$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle I_{\mathbf {n} }}$${\displaystyle \mathbf {n} }$$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} =\|\mathbf {x} \|^{2}\mathbf {n} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {n} =\|\mathbf {x} \|^{2}I_{\mathbf {n} }=1.}$$

したがって、慣性楕円体上の 方向の点の大きさは${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {n} }$$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\frac {1}{\sqrt {I_{\mathbf {n} }}}}.}$$

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