サポート（数学）

数学において、実数値関数の台とは、ゼロに写像されない要素を含む関数定義域のサブセットです。 の定義域が位相空間である場合、 の台は、ゼロに写像されないすべての点を含む最小の閉集合として定義されます。 この概念は、数学的解析で広く使用されています。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

が任意の集合を定義域とする実数値関数であるとする。${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X.}$書かれたの集合論的サポートは、がゼロでない の点の集合です${\displaystyle f,}$${\displaystyle \operatorname {supp} (f),}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \operatorname {supp} (f)=\{x\in X\,:\,f(x)\neq 0\}.}$$

の台は、その補集合が0である性質を持つ最小の部分集合である。有限個以外の点に対しては、${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle f}$有限サポート。

集合に追加の構造（たとえば、位相）がある場合、 のサポートは、がその補集合上で適切な意味で消滅するような適切な型の の最小の部分集合として同様に定義されます。 サポートの概念は、 よりも一般的な集合に値を取る関数や、測度や超関数などの他のオブジェクトにも自然に拡張されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

最も一般的な状況は、が位相空間（実数直線や- 次元ユークリッド空間など）であり、が連続実数値（または複素数値）関数である場合に発生します。この場合、${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$、、またはのサポート${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$ の 閉サポートは、が非ゼロであるときのの部分集合の閉包（ に含まれる^{[1][2][3] 。}つまり、 ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \operatorname {supp} (f):=\operatorname {cl} _{X}\left(\{x\in X\,:\,f(x)\neq 0\}\right)={\overline {f^{-1}\left(\{0\}^{\mathrm {c} }\right)}}.}$$

閉集合の交差は閉じているので、は集合論的サポートを含むすべての閉集合の交差である。${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$${\displaystyle f.}$

例えば、が定義される関数である 場合、 のサポート、または の閉サポートは、 が開区間上で非ゼロであり、この集合の閉包が${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1-x^{2}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1\end{cases}}}$$${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [-1,1],}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (-1,1)}$${\displaystyle [-1,1].}$

閉台の概念は通常連続関数に適用されるが、その定義は位相空間上の任意の実数値関数または複素数値関数に対しても意味をなしており、著者によっては(または) が連続であることを要求しないこともある。^[4]${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$

機能位相空間上のコンパクトな台とは、その閉じた台が のコンパクトな部分集合であるが実数直線、または -次元ユークリッド空間である場合、関数がコンパクトな台を持つ場合、そしてその場合のみ、関数は${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$有界サポート、 のサブセットがコンパクトになるのは、それが閉じていて有界である場合に限るためです。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

例えば、上で定義された関数はコンパクトな台を持つ連続関数である。が滑らかな関数である場合、は開集合上で同一であるため、のすべての次数の偏微分もすべて上で同一である。${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle [-1,1].}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \operatorname {supp} (f),}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \operatorname {supp} (f).}$

コンパクトなサポートの条件は、無限遠で消失する条件よりも強いです。たとえば、によって定義される 関数は 、 であるため無限遠で消失しますが、そのサポートはコンパクトではありません。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$$${\displaystyle f(x)\to 0}$${\displaystyle |x|\to \infty ,}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

ユークリッド空間上の実数値でコンパクトにサポートされた滑らかな関数は、バンプ関数と呼ばれます。軟化器は、分布理論で畳み込みを介して滑らかでない（一般化された）関数を近似する滑らかな関数のシーケンスを作成するために使用できるため、バンプ関数の重要な特殊なケースです。

良いケースでは、コンパクトな台を持つ関数は、無限大で消える関数の空間で稠密ですが、この特性は、与えられた例で正当化するためにいくらかの技術的な作業を必要とします。より複雑な例に対する直観として、また極限の言語では、任意のに対して、実数直線上の無限大で消える任意の関数は、 すべての に対して となる適切なコンパクトな部分集合を選択することによって近似できます。ここで、 はの 指示関数です。コンパクトな位相空間上のすべての連続関数は、コンパクトな台を持ちます。これは、コンパクト空間のすべての閉部分集合が実際にコンパクトであるためです。 ${\displaystyle \varepsilon >0,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle \left|f(x)-I_{C}(x)f(x)\right|<\varepsilon }$$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle I_{C}}$${\displaystyle C.}$

がボレル測度を持つ位相測度空間（またはルベーグ測度を備えたのルベーグ可測部分集合など）である場合、通常はほぼどこでも等しい関数が特定されます。その場合、${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \mu }$測定可能な関数の本質的なサポートは、外側のほぼどこでも - となるの閉部分集合として定義されます。同様に、- となる開集合の補集合で^[5]${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f),}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle F.}$${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f)}$${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f):=X\setminus \bigcup \left\{\Omega \subseteq X:\Omega {\text{ is open and }}f=0\,\mu {\text{-almost everywhere in }}\Omega \right\}.}$$

関数の本質的な台は、測度だけでなく にも依存し、閉じた台よりも厳密に小さくなる場合があります。たとえば、が無理数上および有理数上であり、ルベーグ測度を備えたディリクレ関数である場合、 の台は区間全体になりますが、 の本質的な台は空です。これは、がほぼすべての点でゼロ関数に等しいためです。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle f,}$${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [0,1],}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

解析学では、2つの集合が異なる場合、関数の閉じたサポートではなく、関数の本質的なサポートを使用することがほとんどであるため、単にサポートと書かれることが多い。^{[5] [6]}${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f)}$${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$

がゼロを含む任意の集合である場合、サポートの概念は関数に直ちに一般化 できます。サポートは、単位元がゼロの役割を担う、単位元を持つ任意の代数構造（グループ、モノイド、合成代数など）に対しても定義できます。たとえば、自然数から整数への関数の族は、整数列の無数集合です。サブ族は、有限個の非ゼロ要素のみを持つすべての整数列の可算集合です。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle f:X\to M.}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \left\{f\in \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }:f{\text{ has finite support }}\right\}}$

有限台関数は群環や自由アーベル群などの代数構造を定義する際に用いられる。^[7]

確率論では、確率分布のサポートは、その分布を持つランダム変数の可能な値の集合の閉包として大まかに考えることができます。ただし、位相空間ではなく シグマ代数で定義された一般的な分布を扱う場合は、考慮すべき微妙な点がいくつかあります。

より正式には、が上のランダム変数である場合、のサポートは最小の閉集合であり、${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R_{X}\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle P\left(X\in R_{X}\right)=1.}$

しかし実際には、離散確率変数 のサポートは集合として定義されることが多く、連続確率変数のサポートは集合として定義されます。ここで、は確率密度関数です（集合論的サポート）。^[8]${\displaystyle X}$${\displaystyle R_{X}=\{x\in \mathbb {R} :P(X=x)>0\}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle R_{X}=\{x\in \mathbb {R} :f_{X}(x)>0\}}$${\displaystyle f_{X}(x)}$${\displaystyle X}$

なお、サポートという言葉は確率密度関数の尤度の対数を指すこともある。 ^[9]

実数直線上のディラックのデルタ関数などの分布の台についても議論することができます。その例では、点 を含まない台を持つ滑らかな関数であるテスト関数を考えることができます。 ( に線型関数として適用された分布)はそのような関数に対してであるため、 の台は のみであると言えます。実数直線上の測度 (確率測度を含む) は分布の特殊なケースであるため、測度の台についても同様です。 ${\displaystyle \delta (x)}$${\displaystyle F,}$${\displaystyle 0.}$${\displaystyle \delta (F)}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle F}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \{0\}}$

が超関数で、がユークリッド空間の開集合で、のサポートがに含まれるすべてのテスト関数に対して が となると仮定する。すると は上で消えると言われる。さて、 が任意の開集合族上で消える場合、 でサポートされている任意のテスト関数に対してのサポートのコンパクト性と 1 の分割に基づく簡単な議論によって となることも示される。したがって、のサポートを が消える最大の開集合の補集合として定義できる。たとえば、ディラックデルタのサポートは${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle f(\phi )=0.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U_{\alpha }}$${\displaystyle \phi }$${\textstyle \bigcup U_{\alpha },}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle f(\phi )=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \{0\}.}$

特にフーリエ解析では、分布の特異サポート。これは、分布が滑らかな関数にならない。

たとえば、ヘヴィサイドの階段関数のフーリエ変換は、定数倍まで、 を除いて(関数)と見なすことができます。 は明らかに特別な点ですが、分布の変換には特異な台があると言った方が正確です。 を含む台を持つテスト関数との関係で関数として正確に表現することはできません。 は、コーシーの主値不定積分 の適用として表現できます。${\displaystyle 1/x}$${\displaystyle x=0.}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle 0.}$

複数の変数を持つ分布の場合、特異サポートにより波面集合を定義し、数学的解析の観点からホイヘンスの原理を理解することができます。特異サポートは、分布を「乗算」する試みなど、分布理論に特有の現象を理解するためにも使用できます (ディラックのデルタ関数の二乗は失敗します。基本的に、乗算される分布の特異サポートは互いに素でなければならないためです)。

抽象的な概念層理論に適した位相空間 上の台の族は、アンリ・カルタンによって定義されましたポアンカレ双対性を多様体に拡張すると、「コンパクトな台」という概念が双対性の片側に自然に入ります。たとえば、アレクサンダー・スパニエ・コホモロジー。 ${\displaystyle X,}$

Bredon 著『Sheaf Theory』（第 2 版、1997 年）では、これらの定義が示されています。の閉じた部分集合の族は、下向きに閉じており、有限和で閉じている場合、サポートの族です。その範囲は、上の和です。さらに、内の任意の は、部分空間位相とともに、パラコンパクト空間であり、内に近傍が存在することも満たす、パラコンパクト化するサポートの族です。が局所コンパクト空間である場合(ハウスドルフと仮定) 、すべてのコンパクト部分集合の族はさらなる条件を満たし、パラコンパクト化します。 ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Phi .}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle X}$

• 有界関数 – 値の集合が有界である数学関数
• バンプ機能 – スムーズかつコンパクトにサポートする機能
• モジュールのサポート
• ティッチマーシュ畳み込み定理

• ルディン、ウォルター(1991)。関数解析。国際純粋・応用数学シリーズ。第 8 巻 (第 2 版)。ニューヨーク、NY: McGraw - Hill Science/Engineering/ Math。ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.