敗血症方程式

代数学において、セプティック方程式とは次のような形式の方程式である。

ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h=0,\,

ここで $a \neq0です$ 。

浄化槽の機能は次の形式の機能である。

f(x)=ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h\,

ここで、 $a \neq 0$ です。つまり、これは7 次多項式です。 $a$ $= 0$ の場合、f は6 次関数( $b$ $\neq 0$ )、5 次関数( $b$ $= 0、$ $c$ $\neq 0$ ) などになります。

この方程式は、関数 $f (x) = 0$ と設定することで得られます。

係数 $a$ $、$ $b$ $、$ $c$ $、$ $d$ $、$ $e$ $、$ $f$ $、$ $g$ $、$ $h$ は、整数、有理数、実数、複素数、またはより一般的には任意の体のメンバーのいずれかです。

奇数次であるため、グラフにすると5 次関数や3 次関数に似ていますが、追加の極大値と極小値 (最大 3 つの極大値と 3 つの極小値)が存在する場合があります。6 次関数の導関数は 6 次関数です。

溶解可能な浄化槽

7次方程式の中には根号因数分解で解けるものもありますが、他の分解方程式は解けません。エヴァリスト・ガロアは、与えられた方程式が根号因数分解で解けるかどうかを決定する技術を開発し、それがガロア理論の分野を生み出しました。既約だが解ける分解方程式の例として、解けるド・モアブル五次方程式を一般化して、次の式を得ることができます。

x^{7}+7\alpha x^{5}+14\alpha ^{2}x^{3}+7\alpha ^{3}x+\beta =0\,

、

ここで補助方程式は

y^{2}+\beta y-\alpha ^{7}=0\,

。

$これは、 x$ $=$ $u$ $+$ $v$ 、 $uv$ $+$ $α$ $= 0 、$ および $u$ $7$ $+$ $v$ $7$ $+$ $β$ $= 0$ の間で $u$ と $v を$ 消去することによって分離曲線が得られることを意味します。

すると、セプティックの7つの根は次のように与えられる。

x_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{7}]{y_{1}}}+\omega _{k}^{6}{\sqrt[{7}]{y_ {2}}}

ここで、 $ω k は$ 7 つの 7乗根のいずれかです。このセプティックのガロア群は、位数 42 の最大可解群です。これは、必ずしも素数ではない他の任意の次数 $k$ に簡単に一般化できます。

もう一つの解けるファミリーは、

x^{7}-2x^{6}+(\alpha +1)x^{5}+(\alpha -1)x^{4}-\alpha x^{3}-(\alpha +5)x^{2}-6x-4=0\,

そのメンバーはKlunerの数値体データベースに掲載されています。その判別式は

\Delta =-4^{4}\left(4\alpha ^{3}+99\alpha ^{2}-34\alpha +467\right)^{3}\,

これらの分離群のガロア群は、位数 14 の二面体群です。

一般的な六次方程式は、交代ガロア群または対称ガロア群 $A 7$ または $S 7$ で解くことができます。^[1]このような方程式を解くには、種数3の超楕円関数と関連するシータ関数が必要です。 ^[1]しかし、これらの方程式は、代数方程式の解を研究していた 19 世紀の数学者によって特に研究されませんでした。なぜなら、六次方程式の解は、コンピューターなしでは計算能力の限界に達していたからです。^[1]

セプティック方程式は、2変数の 連続関数を合成することで解が得られるかどうかが明らかではない最も低次の方程式です。ヒルベルトの第13の問題は、7次方程式の一般的な場合にはこれが不可能であるという予想でした。ウラジミール・アーノルドは1957年にこれを解決し、これが常に可能であることを証明しました。^[2] しかし、アーノルド自身は、セプティック方程式の場合、その解が2変数の代数関数を重ね合わせることで得られるかどうかが真のヒルベルト問題であると考えていました。 ^[3] 2023年現在、この問題はまだ未解決です。

ガロア群

根号で解けるセプティック方程式は、次数7の巡回群、次数14の二面体群、次数21または42のメタ巡回群のいずれかのガロア群を持ちます^。[1]
L $(3, 2)$ ガロア群(位数 168)は、ファノ平面の 7 つの「直線」を保存する 7 つの頂点ラベルの順列によって形成されます。^[1]このガロア群 $L$ $(3, 2)$ $を$ 持つセプティック方程式の解には、楕円関数が必要ですが、超楕円関数は必要ありません。 ^[1]
それ以外の場合、分離群のガロア群は、位数 2520 の交代群または位数 5040 の対称群のいずれかになります。

環状五角形または六角形の面積の平方方程式

環状五角形の面積の二乗は、その係数が五角形の辺の対称関数である分離方程式の根である。 ^[4]環状六角形の面積の二乗についても同様である。^[5]

参照

参考文献

^ abcdef R. ブルース・キング（2009年1月16日）「四次方程式を超えて」ビルハウザー、143ページと144ページ、ISBN 9780817648497
^ Vasco Brattka (2007年9月13日)、「コルモゴロフの重ね合わせ定理」、数学におけるコルモゴロフの遺産、Springer、ISBN 9783540363514
^ VI アーノルド、ヒルベルトの重ね合わせ問題から動的システムへ、p. 4
^ Weisstein, Eric W. 「Cyclic Pentagon」 MathWorld--A Wolfram Web Resourceより。[1]
^ Weisstein, Eric W. 「Cyclic Hexagon」 MathWorld--A Wolfram Web Resourceより。[2]

[BeyondQuartic-1] R. ブルース・キング（2009年1月16日）「四次方程式を超えて」ビルハウザー、143ページと144ページ、ISBN 9780817648497

[2] Vasco Brattka (2007年9月13日)、「コルモゴロフの重ね合わせ定理」、数学におけるコルモゴロフの遺産、Springer、ISBN 9783540363514

[3] VI アーノルド、ヒルベルトの重ね合わせ問題から動的システムへ、p. 4

[4] Weisstein, Eric W. 「Cyclic Pentagon」 MathWorld--A Wolfram Web Resourceより。[1]

[5] Weisstein, Eric W. 「Cyclic Hexagon」 MathWorld--A Wolfram Web Resourceより。[2]