スティーンコード

Steaneコードは、 1996 年にAndrew Steaneによって導入された量子エラー訂正ツールです。これはCSS コード(Calderbank-Shor-Steane) であり、古典的なバイナリ [7,4,3]ハミング コードを使用して、量子ビット反転エラー (X エラー) と位相反転エラー (Z エラー)の両方を訂正します。Steane コードは、1 つの論理量子ビットを 7 つの物理量子ビットにエンコードし、任意の単一量子ビット エラーを訂正できます。

標準形式のチェックマトリックス は

${\displaystyle {\begin{bmatrix}H&0\\0&H\end{bmatrix}}}$

ここでHはハミング符号の パリティ検査行列であり、次のように与えられる。

${\displaystyle H={\begin{bmatrix}1&0&0&1&0&1&1\\0&1&0&1&0&1&0&1\\0&0&1&0&1&1&1\end{bmatrix}}.}$

Steaneコードは、整数のパラメータを持つコードである量子ハミングコードファミリーの最初のコードです。また、量子カラーコードでもあります。 ${\displaystyle [[7,1,3]]}$${\displaystyle [[2^{r}-1,2^{r}-1-2r,3]]}$${\displaystyle r\geq 3}$

量子誤り訂正コードでは、コード空間は、すべての論理状態が存在する全体的なヒルベルト空間の部分空間です。-量子ビット安定化コードでは、この部分空間を、すべての論理状態を安定化するすべての -量子ビットのパウリ演算子の集合であるパウリ安定化群によって記述できます。安定化形式により、パウリ安定化群を指定して安定化コードのコード空間を定義できます。この指数関数的に大きな群は、その生成元をリストすることで効率的に記述できます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Steane コードは 1 つの論理量子ビットを 7 つの物理量子ビットにエンコードするため、Steane コードのコード空間は- 次元ヒルベルト空間の - 次元サブスペースになります。 ${\displaystyle 2}$${\displaystyle 2^{7}}$

スタビライザー形式では、Steane コードには 6 つのジェネレーターがあります。

${\displaystyle {\begin{aligned}&IIIXXXX\\&IXXIIXX\\&XIXIXIX\\&IIIZZZZ\\&IZZIIZZ\\&ZIZIZIZ.\end{aligned}}}$

上記の各ジェネレータは、7 つの単一量子ビットのパウリ演算のテンソル積であることに注意してください。たとえば、は の省略形であり、つまり、最初の 3 つの量子ビットの恒等式と、最後の 4 つの量子ビットのそれぞれに対するゲートです。テンソル積は、簡潔にするために表記法では省略されることがよくあります。 ${\displaystyle IXXXXXX}$${\displaystyle I\otimes I\otimes I\otimes X\otimes X\otimes X\otimes X}$${\displaystyle X}$

論理ゲートとゲートは ${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{L}&=XXXXXXX\\Z_{L}&=ZZZZZZZ.\end{aligned}}}$

Steaneコードの 論理状態は${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}|0\rangle _{L}=&{\frac {1}{\sqrt {8}}}[|0000000\rangle +|1010101\rangle +|0110011\rangle +| 1100110\rangle \\&+|0001111\rangle +|1011010\rangle +|0111100\rangle +|1101001\rangle ]\\|1\rangle _{L}=&X_{L}|0\rangle _{L}.\end{aligned}}}$

任意のコードステートの形式は次のようになります。 ${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle _{L}+\beta |1\rangle _{L}}$

• Steane, Andrew (1996). 「多重粒子干渉と量子エラー訂正」Proc. R. Soc. Lond. A . 452 (1954): 2551–2577. arXiv : quant-ph/9601029 . Bibcode :1996RSPSA.452.2551S. doi :10.1098/rspa.1996.0136. S2CID  8246615.