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数学において、フィルターまたは順序フィルターとは、半順序集合（poset）の特別な部分集合であり、「大きな」または「最終的な」要素を記述する。フィルターは順序理論や束論だけでなく、位相幾何学にも現れる。フィルターの概念の双対は順序イデアルである。
フィルターの特殊なケースには、拡大できないフィルターである超フィルターがあり、数理論理学における非構成的手法を説明する。
集合上のフィルターは、 1937年にアンリ・カルタンによって導入されました。ニコラ・ブルバキは、著書『一般トポロジー』の中で、 EHムーアとハーマン・L・スミスが1922年に提唱したネットの概念に代わるものとしてフィルターを普及させました。順序フィルターは、包含関係にある冪集合という特定のケースから、任意の半順序集合へとこの概念を一般化したものです。とはいえ、冪集合フィルターの理論は、トポロジーにおける重要な応用などから、それ自体で依然として関心を集めています。
半順序集合（poset）Pを固定します。直感的に言えば、フィルタFは、ある基準を満たすのに十分な大きさの要素からなるPの部分集合です。 [ 1 ]例えば、x ∈ Pの場合、 xより上の要素の集合はフィルタであり、xにおける主フィルタと呼ばれます。（xとyがPの比較不可能な要素である場合、 xにおける主フィルタもyにおける主フィルタも、もう一方のフィルタには含まれません。）
同様に、集合S上のフィルタは、ある特定の対象を含むのに十分な大きさの部分集合を含みます。例えば、S が実数直線で、x ∈ Sである場合、 x を内部に含む集合の族はフィルタであり、xにおける近傍フィルタと呼ばれます。この場合の対象はxよりわずかに大きいですが、直線上の他の特定の点は含まれていません。
上記の考察は、以下の定義における上方閉包の要件の根拠となる。「十分に大きい」オブジェクトは常にさらに大きくすることができる。
他の2つの条件を理解するには、役割を逆転させて、Fをxを見つけるための「位置特定スキーム」として考えてみましょう。この解釈では、ある空間Xを探索し、Fが目標を含むXの部分集合を記述することを期待します。目標はどこかに存在するはずなので、空集合∅はFには含まれません。また、2つの部分集合が両方とも目標を含む場合、Fはそれらの共通領域に「ズームイン」する必要があります。
ウルトラフィルタとは、「完璧な位置特定スキーム」を記述するもので、スキームの各構成要素が新しい情報（「ここを探せ」または「他の場所を探せ」）を提供する。コンパクト性とは、「すべての検索が有益である」、言い換えれば「すべての位置特定スキームが検索結果で終わる」という性質である。
フィルタの一般的な用途は、ある位相空間の「一般的な」要素が満たす特性を定義することです。[ 2 ]このアプリケーションは、「位置特定スキーム」を一般化して、明示的に記述するのが難しい可能性のある点を見つけます。
半順序集合( P、≤ )の 部分集合Fは、次の条件が満たされる場合、フィルタまたは双対イデアルである。 [ 3 ]
Fの 部分集合SがFの基底または基底であるとは、Sの上方閉包（つまり、 Sを含む最小の上方閉包集合）がFと等しい場合をいう。すべてのフィルタは上方閉包であるため、すべてのフィルタはそれ自身の基底となる。
さらに、B ⊆ Pが下向きである場合、B はフィルタである上側集合Fを生成します ( Bはその基底です)。このような集合は、前述のフィルタ基底と同様に、プリフィルタと呼ばれ、F はBによって生成される、または張られると言われます。プリフィルタは、適切なフィルタを生成する場合に限り、適切なフィルタであると言えます。
p ∈ Pが与えられたとき、集合{ x : p ≤ x }はpを含む最小のフィルタであり、↑ pと表記されることもあります。このようなフィルタは主フィルタと呼ばれ、pはFの主要素、またはFを生成する要素であると言われます。
P上の 2 つのプリフィルターをBとCとし、各c ∈ Cに対して、 b ≤ cとなるb ∈ Bが存在するとする。このとき、BはC はCよりも細かい（またはを細分化する）ものであり、同様にCB粗い（またはを粗分化する）ある。細分化は、前フィルタの集合上の前順序C がBも細分化する、BとC同等であると呼ばれる。したがって、前フィルタからフィルタへの移行は、前順序から関連する部分順序への移行の一例である。
歴史的に、フィルタは任意の半順序の前に順序理論的な束に一般化されました。束の場合、下方向は有限の交わりによる閉包として記述できます。すべてのx、y ∈ Fに対して、 x ∧ y ∈ Fが成り立ちます。[ 3 ]
線形（超）フィルタとは、与えられたベクトル空間のベクトル部分空間の格子上の（超）フィルタであり、包含関係によって順序付けられている。具体的には、ベクトル空間X上の線形フィルタとは、 A、B ∈ Bであり、CがAを含むXのベクトル部分空間である場合、A ∩ B ∈ BかつC ∈ Bとなるような、 Xのベクトル部分空間の族Bのことである。[ 5 ]
線形フィルタは、{0}を含まない場合に適切である。[ 5 ]
集合Sが与えられたとき、冪集合P ( S )は集合包含によって部分的に順序付けられます。この半順序集合上のフィルタは、用語の濫用として、しばしば単に「 S上のフィルタ」と呼ばれます。このような半順序集合の場合、下方向と上方向の閉包は次のように簡略化されます。[ 4 ]
適切な[ 7 ]または非退化[ 8 ]フィルタとは、 ∅を含まないフィルタであり、これら3つの条件（非退化を含む）は、アンリ・カルタンによるフィルタの元の定義である。[ 9 ] [ 10 ]集合上のフィルタが適切であることを要求するのは一般的であるが、普遍的ではない（半順序集合フィルタに対する立場に関わらず）。我々は再びこの慣習を避けることにする。
集合に対する事前フィルタは、 ∅を含まない場合に限り適切である。
P ( S )の任意の部分集合Tに対して、 Tを含む最小のフィルタFが存在する。プリフィルタと同様に、Tは F を生成する、またはFを張ると言われる。Fの基底は、Tのすべての有限な共通部分の集合Uである。F (したがってU ) が適切な場合、集合Tはフィルタ部分基底と呼ばれる。
集合上の適切なフィルターは、有限の交差特性を持つ。
もし、 それから不適切なフィルターのみを許可する。
フィルタの要素の共通部分が空集合である場合、そのフィルタは自由フィルタと呼ばれる。適切な主フィルタは自由フィルタではない。
フィルタの有限個の要素の共通部分も要素であるため、有限集合上の適切なフィルタは自由ではなく、実際、すべての要素の共通部分によって生成される主フィルタは自由です。しかし、無限集合上の非主フィルタは必ずしも自由ではありません。フィルタが自由であるのは、フレシェフィルタを含む場合のみです（ § 例を参照）。
この記事の冒頭の画像は、有限半順序集合P ({1, 2, 3, 4})上のフィルタの簡単な例を示しています。
ℝ → ℝ を、 ℝ上の実数値関数の空間に、点ごとの比較によって部分的に順序付けします。すると、「無限大で大きい」関数の集合は、はℝ → ℝ上のフィルターです。定義域をコンパクト化し、終域を完備化することで、この構成をかなり一般化できます。Xが特別な部分集合Sを持つ集合であり、Y が特別な要素mを持つ半順序集合である場合、{ f : f | S ≥ m }はX → Yのフィルターです。
集合{ { k : k ≥ N } : N ∈ ℕ }はP (ℕ)のフィルタである。より一般的に、D が任意の有向集合である場合、はP ( D )のフィルタであり、テールフィルタと呼ばれます。同様に、任意のネット{ x α } α ∈ Αは、事象フィルタ{ { x β : α ≤ β } : α ∈ Α }を生成します。テールフィルタは、x α = αの事象フィルタです。
無限集合X上のフレシェフィルターは ( X , μ )が測度空間である場合、集合{ A : μ ( X ∖ A ) = 0 }はフィルタです。μ ( X ) = ∞の場合、{ A : μ ( X ∖ A ) < ∞ }もフィルタです。フレシェフィルタは、μが計数測度である場合です。
非可算共終点を持つ順序数aが与えられたとき、 aの部分集合は、aの順序位相で閉じているがネット理論的極限がaである場合、クラブと呼ばれます。a のクラブとその上位集合は、フィルターを形成します。クラブフィルター♣ ( a )です。
前述の構成は次のように一般化されます。任意のクラブCは、 aの (順序位相における)稠密部分集合の集合でもあり、♣( a )はCの各要素と交わります。Cを任意の稠密集合の集合C ̃に置き換えると、「通常」 C ̃の各要素と交わるフィルターが存在し、これを一般フィルターと呼びます。可算C ̃の場合、Rasiowa–Sikorski の補題により、そのようなフィルターが存在することが示されます。「小さい」非可算C ̃の場合、 Martin の公理により、そのようなフィルターの存在を強制することができます。
Pを同型性を法とする有限個の部分順序の集合とする。Pを次のように部分順序付けする。
すると、非原子的な半順序のサブセットがフィルターを形成する。同様に、I がある与えられた可換環上の同型を法とする限定された濃度の単射加群の集合である場合、 I上の半順序は次のようになる。
任意の無限基数κが与えられたとき、 κ未満の要素では生成できないI内のモジュールはフィルターを形成する。
集合X上のすべての均一構造は、 X × X上のフィルタである。
フィルターの双対概念 、すなわち、すべての≤を反転させ、∧を∨に交換することによって得られる概念 は、順序イデアルである。この双対性により、フィルターに関するあらゆる問題は、機械的にイデアルに関する問題に変換でき、またその逆も可能である。特に、素フィルターまたは極大フィルターとは、対応するイデアルが（それぞれ）素または極大であるフィルターのことである。
フィルタが超フィルタであるのは、対応するイデアルが最小である場合に限る。
集合S上のすべてのフィルタFに対して、次のように定義される集合関数 は有限加法性を持つ ――つまり、その用語をやや緩やかに解釈すれば「測度」である。さらに、このように構築された測度は、Fが超フィルターである場合、至るところで定義される。したがって、次の記述はこれは、 φが「ほとんどどこでも」成り立つという主張とある程度類似していると考えることができる。フィルターへの所属に関するこの解釈は、（実際の証明ではなく動機付けのために）数理論理学の一分野であるモデル理論の超積理論で使用されている。
一般的に、位相幾何学や解析学において、フィルターは距離空間における数列の役割と同様に、収束を定義するために用いられる。フィルターは、多様な任意の位相空間において、極限の概念を統一するものである。
フィルタの必要性を理解するには、まずネットという概念から始めましょう。数列は通常、全順序集合である自然数ℕでインデックス付けされます。ネットは、 ℕを任意の有向集合に置き換えることで、数列の概念を一般化したものです。第一可算空間のような特定の位相空間のカテゴリーでは、数列がほとんどの位相特性を特徴づけますが、これは一般には当てはまりません。しかし、ネット（そしてフィルタ）は常にこれらの位相特性を特徴づけます。
フィルタは位相空間Xの外部の集合を一切含まないのに対し、シーケンスやネットは他の有向集合に依存します。このため、 X上のすべてのフィルタの集合は常に集合であり、 X値のすべてのネットの集合は適切なクラスとなります。
位相空間X内の任意の点x は、近傍フィルタまたはシステムN xを定義します。すなわち、 x を内部に含むすべての集合の族です。xの近傍の集合Nは、 N がN x を生成する場合にxにおける近傍基底となります。同様に、S ⊆ X は、 N ∈ Nが存在してN ⊆ Sとなる場合に限り、xの近傍となります。
プリフィルタBが点xに収束する( B → xと表記)のは、 B が近傍フィルタN xを含むフィルタFを生成する場合のみである。具体的には、 xの任意の近傍Uに対して、 V ⊆ UとなるようなV ∈ Bが存在する。より間接的に言えば、B → x は、 B がN x を改良する場合のみであり、この条件では、 xにおける任意の近傍基底がN xを置き換えることができる。明らかに、xにおける任意の近傍基底はxに収束する。
フィルタF (自身を生成する) は、N x ⊆ Fの場合にxに収束する。上記を逆にして近傍フィルタN xを特徴付けることもできる。N xは、 xに収束する各フィルタよりも粗い最も細かいフィルタである。
B → xの場合、x はBの極限（点）と呼ばれます。前置フィルタBは、 Bの各要素がxの各近傍と空でない共通部分を持つ場合に限り、 xにクラスタリングする（またはxをクラスタ点とする）と言われます。すべての極限点はクラスタ点ですが、一般にその逆は成り立ちません。ただし、超フィルタのすべてのクラスタ点は極限点です。
