視線速度

観測者に対する目標の視線速度、すなわち視線方向速度とは、2点間のベクトル変位の変化率のことである。これは、目標と観測者間の相対速度を、 2点を結ぶ相対方向、すなわち視線（LOS）にベクトル投影した値として定式化される。

視線速度または距離変化率は、2点間の距離または範囲の時間変化率です。これは符号付きスカラー量であり、相対速度ベクトルを視線方向に投影したスカラー量として定式化されます。言い換えれば、視線速度は視線速度のノルムを符号を法として取った値に等しくなります。^{[ a ]}

天文学では、通常、観測点は地球上の観測者とみなされるため、視線速度は物体が地球から遠ざかる速度（または、負の視線速度の場合は地球に近づく速度）を表す。

微分可能なベクトルが与えられた場合$\displaystyle \mathbf {r} \in \mathbb {R} ^{3}}$観測者に対する目標物の瞬間的な相対位置を定義すること。

観測者に対する目標の瞬間相対速度を次のように定義する。

位置ベクトルの大きさ${\displaystyle \mathbf {r} }$は内積の観点から定義される

量範囲レートは、大きさ（ノルム）の時間微分である。${\displaystyle \mathbf {r} }$次のように表現されます

（２）を（３）に代入すると

${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {d\langle \mathbf {r} ,\mathbf {r} \rangle ^{1/2}}{dt}}}$

連鎖律を用いて右辺の導関数を評価する

${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {1}{2}}{\frac {d\langle \mathbf {r} ,\mathbf {r} \rangle }{dt}}{\frac {1}{r}}}$

${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {1}{2}}{\frac {\langle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}},\mathbf {r} \rangle +\langle \mathbf {r} ,{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\rangle }{r}}}$

（１）を用いると、式は次のようになる。

${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {1}{2}}{\frac {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {r} \rangle +\langle \mathbf {r} ,\mathbf {v} \rangle }{r}}}$

相互性により、^{[ 1 ]}${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {r} \rangle =\langle \mathbf {r} ,\mathbf {v} \rangle }$単位相対位置ベクトルを定義する${\displaystyle {\hat {r}}=\mathbf {r} /{r}}$（またはLOS方向）レンジレートは単純に次のように表されます。

${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {\langle \mathbf {r} ,\mathbf {v} \rangle }{r}}=\langle {\hat {r}},\mathbf {v} \rangle }$

すなわち、相対速度ベクトルを視線方向に投影したものである。

速度方向をさらに定義する${\displaystyle {\hat {v}}=\mathbf {v} /{v}}$相対速度${\displaystyle v=\|\mathbf {v} \|}$、 我々は持っています：

${\displaystyle {\dot {r}}=\langle {\hat {r}},v{\hat {v}}\rangle =v\langle {\hat {r}},{\hat {v}}\rangle }$

ここで、内積は平行ベクトルと反平行ベクトルに対してそれぞれ+1または-1となる。

同時観測者ターゲットには特異点が存在する。${\displaystyle r=0}$この場合、射程速度は定義されません。

天文学では、視線速度はドップラー分光法によって一次近似で測定されることが多い。この方法で得られる量は、重心視線速度または分光視線速度と呼ばれることがある。^{[ 2 ]}しかし、光が天体から観測者に到達するまでに通常かかる長い距離にわたる相対論的および宇宙論的効果のため、この測定値は、対象物と対象物と観測者の間の空間に関する追加の仮定なしには、幾何学的視線速度に正確に変換することはできない。^{[ 3 ]}対照的に、位置天文学的視線速度は、位置天文学的観測（例えば、年周視差の永年変化）によって決定される。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

分光視線速度

放出時に相当な相対視線速度を持つ天体からの光はドップラー効果を受けるため、遠ざかっている天体からは光の周波数が低下し（赤方偏移）、近づいている天体からは周波数が上昇します（青方偏移）。

恒星やその他の遠方の明るい天体の視線速度は、高解像度スペクトルを取得し、既知のスペクトル線の測定波長を実験室での測定波長と比較することで正確に測定できます。視線速度が正であれば、天体間の距離が増加している（または増加していた）ことを示し、視線速度が負であれば、光源と観測者間の距離が減少している（または減少していた）ことを示します。

ウィリアム・ハギンズは1868年に、観測された星の光の赤方偏移に基づいて、太陽に対するシリウスの視線速度を推定しようと試みた。 ^{[ 6 ]}

多くの連星では、軌道運動によって視線速度が数キロメートル毎秒 (km/s) 変動します。これらの星のスペクトルはドップラー効果によって変化するため、分光連星と呼ばれます。視線速度は、星の質量の比や、離心率や軌道長半径などの軌道要素を推定するために使用できます。同じ方法は、恒星の周りの惑星を検出するためにも使用されており、運動の測定によって惑星の公転周期が決定され、結果として得られる視線速度の振幅によって、連星質量関数を使用して惑星の質量の下限を計算できます。視線速度法だけでは下限しか明らかにならない場合があります。なぜなら、視線に対して非常に大きな角度で公転する大きな惑星は、視線上に軌道面を持つはるかに小さな惑星と同じくらい、恒星の半径方向の摂動を与えるからです。この方法で計算された離心率の高い惑星は、実際には円軌道またはほぼ円軌道の共鳴軌道を持つ2惑星系である可能性があると示唆されている。^{[ 7 ] [ 8 ]}

系外惑星の検出

視線速度法による系外惑星の検出は、中心星の軌道を周回する（目に見えない）系外惑星の重力の方向の変化によって、中心星の速度が変動することを利用するものです。星が地球に向かってくるとスペクトルは青方偏移し、地球から遠ざかると赤方偏移します。星のスペクトルを定期的に観測し、その速度を測定することで、系外惑星の影響によって星が周期的に移動しているかどうかを判断できます。

• 固有運動– 星の見かけ上の位置の変化を測る尺度 
• 固有速度– 静止系に対する物体の速度 
• 相対速度– 観測者に対する相対速度 
• 空間速度（天文学）– 星の動きの研究 リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• バイスタティック範囲レート
• ドップラー効果
• 内積
• 軌道決定
• LPスペース

• ホフマン、ケネス・M.、クンツェル、レイ（1971）、『線形代数（第2 版）』、プレンティス・ホール社、ISBN 0135367972
• レンツェ、ジョン；ストーバー、クリストファー；ワイススタイン、エリック・W.「内積」。MathWorld—Wolfram Webリソースより。http ://mathworld.wolfram.com/InnerProduct.html

• 系外惑星探査における視線速度方程式（ドップラー分光法またはウォブル法） 2021年12月2日にWayback Machineにアーカイブされました