ペロン・フロベニウスの定理

させて${\displaystyle A=(a_{ij})}$になる${\displaystyle n\times n}$正行列:${\displaystyle a_{ij}>0}$のために${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$すると、以下の記述が成り立つ。

1. 正の実数rが存在し、これはペロン根またはペロン・フロベニウス固有値（主固有値、主固有値、支配固有値とも呼ばれる）と呼ばれ、rはAの固有値であり、他の任意の固有値λ （複素数である場合もある）の絶対値はrより厳密に小さい、| λ | < rである。したがって、スペクトル半径は${\displaystyle \rho (A)}$はrに等しい。行列係数が代数的である場合、これは固有値がペロン数であることを意味する。
2. ペロン・フロベニウス固有値は単純で、rはAの特性多項式の単純根です。したがって、rに対応する固有空間は一次元です。（左固有空間、すなわちAの転置行列A ^Tの固有空間についても同様です。）
3. 行列Aの固有値rを持つ固有ベクトルv = ( v ₁ ,..., v _n ) ^Tが存在し、 vのすべての成分が正である: A v = rv、v _i > 0 (1 ≤ i ≤ n )。 (同様に、正の左固有ベクトルw が存在する: w ^T A = w ^T r、w _i > 0。) これは文献では、ペロンベクトル、ペロン固有ベクトル、ペロン・フロベニウス固有ベクトル、主固有ベクトル、主固有ベクトル、または支配固有ベクトルとして多くのバリエーションで知られています。 
4. vの正の倍数（それぞれwを除く左固有ベクトル）以外には、正の（さらに非負の）固有ベクトルは存在しない。つまり、他のすべての固有ベクトルは、少なくとも 1 つの負または非実数成分を持たなければならない。
5. ${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }A^{k}/r^{k}=vw^{T}}$ここで、 Aの左および右の固有ベクトルは、w ^T v = 1となるように正規化されています。さらに、行列vw ^Tは、 rに対応する固有空間への射影です。この射影はペロン射影と呼ばれます。 
6. コラッツ・ヴィーラントの公式：すべての非負非ゼロベクトルxに対して、 f ( x ) をx _i ≠ 0となるすべてのiについて取った [ Ax ] _i / x _iの最小値とする。このとき、 fは実数値関数であり、すべての非負非ゼロベクトルxについてその最大値はペロン・フロベニウスの固有値となる。
7. 「最小最大」コラッツ・ヴィーラント公式は、上記と同様の形式をとります。すべての正ベクトルxに対して、g ( x ) をiについて取った[ Ax ] _i / x _iの最大値とします。すると、gは実数値関数となり、すべての正ベクトルxに対する最小値はペロン・フロベニウス固有値となります。
8. バーコフ・ヴァルガの公式： xとyを厳密に正のベクトルとする。すると、 ^{[ 8 ]}$${\displaystyle r=\sup _{x>0}\inf _{y>0}{\frac {y^{\top }Ax}{y^{\top }x}}=\inf _{x>0}\sup _{y>0}{\frac {y^{\top }Ax}{y^{\top }x}}=\inf _{x>0}\sup _{y>0}\sum _{i,j=1}^{n}y_{i}a_{ij}x_{j}/\sum _{i=1}^{n}y_{i}x_{i}.}$$
9. ドンスカー・バラダン・フリードランド公式： p を確率ベクトル、 x を厳密に正のベクトルとする^{。すると、 [ 9 ] [ 10 ]}$${\displaystyle r=\sup _{p}\inf _{x>0}\sum _{i=1}^{n}p_{i}[Ax]_{i}/x_{i}.}$$
10. フィードラーの公式： ^{[ 11 ]}$${\displaystyle r=\sup _{z>0}\ \inf _{x>0,\ y>0,\ x\circ y=z}{\frac {y^{\top }Ax}{y^{\top }x}}=\sup _{z>0}\ \inf _{x>0,\ y>0,\ x\circ y=z}\sum _{i,j=1}^{n}y_{i}a_{ij}x_{j}/\sum _{i=1}^{n}y_{i}x_{i}.}$$
11. ペロン・フロベニウスの固有値は次の不等式を満たす。$${\displaystyle \min _{i}\sum _{j}a_{ij}\leq r\leq \max _{i}\sum _{j}a_{ij}.}$$

これらの性質はすべて、厳密に正の行列だけでなく、原始行列にも適用されます（下記参照）。事実1～7は、Meyer ^{[ 12 ]}第8章のクレーム8.2.11～15（667ページ）および演習8.2.5、7、9（668～669ページ）に記載されています。

左固有ベクトルwと右固有ベクトルvは、成分の合計が 1 に等しくなるように正規化されることがあります。この場合、それらは確率的固有ベクトルと呼ばれることがあります。多くの場合、右固有ベクトルv の合計が 1 になるように正規化されますが、${\displaystyle w^{T}v=1}$。

非負要素を持つ行列への拡張があります。任意の非負行列は正行列の極限として得られるため、非負成分を持つ固有ベクトルの存在が得られます。対応する固有値は非負であり、絶対値において他のすべての固有値以上になります。[ ^{13 ] [ 14 ]ただし}、例では${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)}$最大固有値r = 1 は他の固有値 −1 と同じ絶対値を持つ。一方、${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right)}$最大固有値はr = 0 であり、これは特性多項式の単純根ではなく、対応する固有ベクトル (1, 0) は厳密には正ではありません。

しかし、フロベニウスは非負行列の特別なサブクラス、すなわち既約行列を発見し、それに対しては非自明な一般化が可能であることを明らかにした。このような行列では、絶対値が最大となる固有値は一意ではないかもしれないが、その構造は制御可能であり、次の形式をとる。${\displaystyle \omega r}$、 どこ${\displaystyle r}$は実数の厳密に正の固有値であり、${\displaystyle \omega }$は、行列の周期と呼ばれる正の整数hに対して、1 の複素h'乗根の範囲をとります。${\displaystyle r}$成分はすべて正である（成分が非負である一般的な非負行列とは対照的である）。また、これらの固有値はすべて特性多項式の単純根である。その他の性質については以下で説明する。

Aを既約非負行列とすると、次のようになる。

1. (I+ A ) ^{n −1}は正の行列である。(Meyer ^{[ 12 ]}クレーム 8.3.5 p. 672 )。非負のAの場合、これは十分条件でもある。^{[ 16 ]}
2. ヴィーラントの定理。^{[ 17 ]} | B |< Aならば、ρ ( B )≤ρ ( A )である。等号が成り立つ場合（すなわち、μ=ρ(A)e ^iφがBの固有値である場合）、B = e ^iφ D AD ^{−1となる。ここで、} Dは対角ユニタリ行列である（すなわち、 Dの対角要素はe ^{iΘ _l}に等しく、非対角要素はゼロである）。^{[ 18 ]}
3. あるべき行列A ^qが可約であれば、それは完全に可約である。すなわち、ある置換行列Pに対して、次のことが成り立つ。${\displaystyle PA^{q}P^{-1}={\begin{pmatrix}A_{1}&O&O&\dots &O\\O&A_{2}&O&\dots &O\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\O&O&O&\dots &A_{d}\\\end{pmatrix}}}$ここで、A _iは同じ最大固有値を持つ既約行列である。これらの行列の数dは、 qとhの最大公約数であり、hはAの周期である。^{[ 19 ]}
4. c ( x ) = x ⁿ + c _{k 1} x ^{n-k ₁} + c k ₂ x ^{n-k ₂} + ... + c _{k s} x ^{n-k _s}がAの特性多項式で、_非ゼロ項のみが列挙されている場合、 Aの周期はk ₁、 k ₂、 ... 、 k _sの最大公約数に等しい。^{[ 20 ]}
5. チェザロの平均：${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }1/k\sum _{i=0,...,k}A^{i}/r^{i}=(vw^{T}),}$ここで、 Aの左および右の固有ベクトルは、 w ^T v = 1となるように正規化されています。さらに、行列vw ^Tは、 rに対応するスペクトル射影、ペロン射影です。 ^{[ 21 ]}
6. rをペロン・フロベニウス固有値とすると、( r - A ) の随伴行列は正である。^{[ 22 ]}
7. Aに少なくとも 1 つの非ゼロの対角要素がある場合、 Aは原始行列である。^{[ 23 ]}
8. 0 ≤ A < Bの場合、r _A ≤ r _Bとなります。さらに、Bが既約である場合、不等式は厳密です。r A _< r _B。

行列Aは、非負であり、あるmに対してA ^mが正であり、したがってすべてのk ≥ mに対してA ^kが正である場合に原始的である。原始性をチェックするには、 Aのサイズに応じて、そのような最小のm がどの程度大きくなるかの上限が必要である: ^{[ 24 ]}

• Aがサイズnの非負の原始行列である場合、A ^{n 2  −  2 n  +  2}は正になります。さらに、これは最良の結果です。なぜなら、以下の行列Mの場合、( M ^{n 2 − 2 n +1} ) _{1,1 = 0 であるため、すべての}k < n ² − 2 n + 2に対してM ^{k の}べき乗は正ではないからです。      

${\displaystyle M=\left({\begin{smallmatrix}0&1&0&0&\cdots &0\\0&0&1&0&\cdots &0\\0&0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&0&\cdots &1\\1&1&0&0&\cdots &0\end{smallmatrix}}\right)}$

ペロン・フロベニウスの定理は非負行列には直接適用されません。しかし、任意の可約正方行列A は上三角ブロック形式 (可約行列の標準形として知られています)で表すことができます^{[ 25 ]。}

PAP ⁻¹ =${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}B_{1}&*&*&\cdots &*\\0&B_{2}&*&\cdots &*\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &*\\0&0&0&\cdots &B_{h}\end{smallmatrix}}\right)}$

ここで、Pは置換行列であり、各B _iは既約またはゼロのいずれかである正方行列です。A が非負であれば、 PAP −1 の各ブロックも非負であり、^さらにAのスペクトルはB _iのスペクトルの和集合になります 。

Aの可逆性も調べることができます。 PAP ⁻¹の逆行列(存在する場合) は、B _i ⁻¹の形の対角ブロックを持つ必要があります。したがって、いずれかの B _{i が}可逆でない場合、 PAP ⁻¹もAも可逆ではありません。逆に、D をPAP ⁻¹に対応するブロック対角行列、つまりアスタリスクをゼロにしたPAP ^{−1とします。各}B _{i が}可逆であれば、 Dも可逆であり、 D ⁻¹ ( PAP ⁻¹ ) は単位行列と冪零行列の和に等しくなります。しかし、このような行列は常に可逆です ( N ^k = 0 の場合、1 − Nの逆行列は 1 + N + N ² + ... + N ^{k −1}です)。したがって、PAP ⁻¹とAは両方とも可逆です。

したがって、 Aのスペクトル特性の多くは、定理を既約B _iに適用することによって導き出すことができます。たとえば、ペロン根は ρ( B _i ) の最大値です。非負の成分を持つ固有ベクトルは依然として存在しますが、それらのどれもが正にならない可能性は十分にあります。

行（列）確率行列とは、各行（各列）が非負の実数で構成され、それらの合計が1となる正方行列のことである。このような行列は既約である必要がないため、この定理を直接適用することはできない。

Aが行確率行列である場合、各要素が1である列ベクトルは、固有値1に対応する固有ベクトルであり、上記の注釈によりρ( A )にも相当します。これは単位円上の唯一の固有値ではない可能性があり、関連する固有空間は多次元になる可能性があります。Aが行確率行列かつ既約行列である場合、ペロン射影も行確率行列であり、そのすべての行は等しくなります。

この定理は代数的グラフ理論において特に有用である。非負のn正方行列の「基底グラフ」は、頂点が 1, ..., nと弧ijを持つグラフであり、A _ij ≠ 0の場合に限る。このような行列の基底グラフが強連結である場合、行列は既約であり、したがってこの定理が適用される。特に、強連結グラフの隣接行列は既約である。^{[ 26 ] [ 27 ]}

この定理は有限マルコフ連鎖の理論において自然な解釈を持ちます（これは、連鎖の遷移行列を用いて定式化された、既約有限マルコフ連鎖の定常分布への収束の行列理論的等価物です。例えば、有限型のサブシフトに関する記事を参照してください）。

より一般的には、非負コンパクト演算子の場合にも拡張でき、これは多くの点で有限次元行列に似ています。これらは物理学では一般的に転送演算子、または時にはRuelle–Perron–Frobenius演算子（David Ruelleにちなんで）という名前で研究されています。この場合、最大の固有値は力学系の熱力学的平衡に対応し、小さな固有値は平衡状態にない系の崩壊モードに対応します。したがって、この理論は、点集合トポロジーの観点から調べると、可逆的で決定論的な力学過程のように見えるものの中に時間の矢を発見する方法を提供します。^{[ 28 ]}

Aが正（またはより一般的には原始）行列である場合、他のすべての固有値よりも絶対値​​が厳密に大きい実正固有値r（ペロン・フロベニウス固有値またはペロン根）が存在するため、rはAのスペクトル半径である。

この記述は、Aの周期hと同じ絶対値を持つ固有値rを持つ一般的な非負既約行列には当てはまりません。

正の行列（より一般的には既約非負の行列）Aの場合、支配的な固有ベクトルは実数で厳密に正である（非負のAの場合はそれぞれ非負である）。

これはべき乗法を用いて証明できます。べき乗法とは、十分一般的な（以下の意味で）行列Aに対して、ベクトル列 b _{k +1} = Ab _k / | Ab _k | が最大固有値を持つ固有ベクトルに収束するというものです。（初期ベクトルb ₀は、ある測度ゼロ集合を除いて任意に選択できます。）非負ベクトルb ₀から始めると、非負ベクトル列b _kが生成されます。したがって、極限ベクトルも非負です。べき乗法により、この極限ベクトルはAの支配的な固有ベクトルとなり、主張が証明されます。対応する固有値は非負です。

証明にはさらに2つの論点が必要である。まず、べき乗法は、最大固有値と同じ絶対値を持つ固有値が複数存在しない行列に対して収束する。これは前の節の論点で保証されている。

第二に、既約行列の場合に固有ベクトルのすべての成分が厳密に正であることを保証するためである。これは、独立した興味深い事実である以下のことから導かれる。

補題：正の（またはより一般的には既約非負の）行列Aと、Aの任意の非負の固有ベクトルvが与えられたとき、v は必ず厳密に正であり、対応する固有値も厳密に正である。

証明。非負行列の既約性の定義の1つは、すべてのインデックスi,jに対して、( A ^m ) _ijが厳密に正となるm が存在することです。非負の固有ベクトルvが与えられ、その成分の少なくとも 1 つ、例えばi番目の成分が厳密に正であるとすると、対応する固有値は厳密に正になります。実際、( A ⁿ ) _ii >0 となるnが与えられているので、 r ⁿ v _i = A ⁿ v _i ≥ ( A ⁿ ) _ii v _i >0 となります。したがって、rは厳密に正です。固有ベクトルは厳密に正です。次に、( A ^m ) _ji >0となるmが与えられているので、 r ^m v _j = ( A ^m v ) _j ≥ ( A ^m ) _ji v _i >0 となります。したがって、 v _jは厳密に正であり、つまり、固有ベクトルは厳密に正です。

この節では、ペロン・フロベニウス固有値が行列の特性多項式の単純根であることを証明します。したがって、ペロン・フロベニウス固有値 rに関連付けられた固有空間は一次元です。ここでの議論は Meyer の議論とほぼ同じです。^{[ 12 ]}

rに対応する厳密に正の固有ベクトルvと、同じ固有値を持つ別の固有ベクトルwが与えられている。(ベクトルvとw は実数に選ぶことができる。なぜならAとrはどちらも実数であり、 Arの零空間の基底は実数ベクトルで構成されているからである。) wの成分の少なくとも 1 つが正であると仮定する (そうでない場合はwに −1 を掛ける)。u =v- α wが非負となるような最大可能なαが与えられた場合、 uの成分の 1 つがゼロである。そうでない場合はαは最大ではない。ベクトルuは固有ベクトルである。これは非負であるため、前のセクションで説明した補題により、非負性は任意の固有ベクトルの厳密な正性を意味する。一方、上記のように、uの成分の少なくとも 1 つはゼロである。矛盾はw が存在しないことを意味する。

ケース: ペロン・フロベニウス固有値rおよび同じ絶対値を持つ他のすべての固有値に対応するジョルダンブロックは存在しません。

ジョルダンブロックが存在する場合、無限大ノルム (A/r) ^k _{∞ は}k → ∞で無限大に収束しますが、これは正の固有ベクトルの存在と矛盾します。

r = 1、つまりA/rとします。vをペロン・フロベニウスの厳密に正の固有ベクトルとすると、Av=vとなり、次のようになります。

${\displaystyle \|v\|_{\infty }=\|A^{k}v\|_{\infty }\geq \|A^{k}\|_{\infty }\min _{i}(v_{i}),~~\Rightarrow ~~\|A^{k}\|_{\infty }\leq \|v\|/\min _{i}(v_{i})}$ したがって、‖ A ^k ‖ _{∞はすべての}kに対して有界です。これは、ペロン・フロベニウス固有値よりも絶対値​​が大きい固有値は存在しないという別の証明となります。また、絶対値が 1 に等しい固有値 (特にペロン・フロベニウス固有値) に対してジョルダンブロックが存在するという仮定にも矛盾します。なぜなら、ジョルダンブロックが存在するということは、‖ A ^k ‖ _∞が有界でないことを意味するからです。2 × 2 行列の場合:

${\displaystyle J^{k}={\begin{pmatrix}\lambda &1\\0&\lambda \end{pmatrix}}^{k}={\begin{pmatrix}\lambda ^{k}&k\lambda ^{k-1}\\0&\lambda ^{k}\end{pmatrix}},}$

したがって、‖ J ^k ‖ _∞ = | k + λ | (| λ | = 1 の場合) となり、k が無限大に近づくと、 J k も無限大に近づきます。J ^k = C ⁻¹ A ^k Cなので、A ^k ≥ J ^k / ( C ⁻¹ C ) となり、A k も無限大に近づきます。結果として生じる矛盾は、対応する固有値に対してジョルダンブロックが存在しないことを意味します。

上記の2つの主張を組み合わせると、ペロン・フロベニウス固有値rは特性多項式の単純根であることがわかる。非原始行列の場合、rと同じ絶対値を持つ他の固有値が存在する。それらについても同じ主張が成り立つが、より多くの作業が必要となる。

正の（またはより一般的には既約非負行列）Aが与えられた場合、ペロン・フロベニウス固有ベクトルは、 Aの唯一の（定数倍を除いて）非負固有ベクトルである。

他の固有ベクトルは、異なる固有値に対応する固有ベクトルはある意味で直交しているため、負または複素成分を含まなければなりませんが、2 つの正の固有ベクトルは直交できないため、同じ固有値に対応する必要がありますが、ペロン・フロベニウスの固有空間は 1 次元です。

Aに対してベクトルyが正となるような固有対 ( λ , y )が存在すると仮定し、 ( r , x ) が与えられているとします。ここでx – はAの左ペロン・フロベニウス固有ベクトル(すなわちA ^Tの固有ベクトル) です。すると、 rx ^T y = ( x ^T A ) y = x ^T ( Ay ) = λx ^T yとなり、またx ^T y > 0 なので、 r = λとなります。ペロン・フロベニウス固有値rの固有空間は一次元であるため、非負の固有ベクトルyはペロン・フロベニウス固有ベクトルの倍数となります。^{[ 31 ]}

正の（またはより一般的には既約な非負行列）Aが与えられたとき、すべての非負非ゼロベクトルxの集合上で関数fを定義します。ここでf(x)は、 x _i ≠ 0となるすべてのiについて取った [ Ax ] _i / x _iの最小値です。このとき、 fは実数値関数であり、その最大値はペロン・フロベニウス固有値rです。

証明では、fの最大値を値Rで表します。証明にはR = rを示す必要があります。ペロン・フロベニウス固有ベクトルv をfに代入すると、f(v) = rとなり、r ≤ Rが成り立ちます。反対の不等式については、任意の非負ベクトルxを考え、ξ=f(x) とします。fの定義から0 ≤ ξx ≤ Ax (成分ごと)が成り立ちます。ここで、ペロン・フロベニウス固有値rに対してAの正の右固有ベクトルw を使用すると、ξ w ^T x = w ^T ξx ≤ w ^T (Ax) = (w ^T A)x = rw ^T xとなります。したがって、f(x) = ξ ≤ rとなり、 R ≤ rが成り立ちます。^{[ 32 ]}

Aを正定値行列（より一般的には原始行列）とし、rをそのペロン・フロベニウス固有値とする。

1. k → ∞の極限A ^k /r ^kが存在し、それをPと表記する。
2. Pは射影演算子です。P 2 = P^であり、Aと可換です。AP = PA。
3. Pの像は一次元であり、ペロン・フロベニウス固有ベクトルvによって張られる(それぞれP ^Tの場合はペロン・フロベニウス固有ベクトルwによってA ^Tの場合)。
4. P = vw ^T、ここでv、wはw ^T v = 1となるように正規化されている。
5. したがって、Pは正演算子である。

したがって、Pはペロン・フロベニウス固有値rのスペクトル射影であり、ペロン射影と呼ばれます。上記の主張は、一般的な非負の既約行列には当てはまりません。

実際、上記の主張（主張5を除く）は、絶対値において他の固有値よりも厳密に大きく、かつ特性多項式の単純根である固有値rが存在するような任意の行列Mに対して有効である。（これらの要件は、上記のような原始行列に対して成り立つ。）

Mが対角化可能であると仮定すると、Mは対角成分に固有値r ₁ , ... , r _nを持つ対角行列と共役になります ( r ₁ = rとします)。行列M ^k / r ^kは (1, ( r ₂ / r ) ^k , ... , ( r _n / r ) ^k ) と共役になり、 k → ∞のとき (1,0,0,...,0) に収束するため、極限が存在します。この方法は、一般的なM ( Mが対角化可能であることを仮定しない場合) にも適用できます。

射影と可換性の性質は、定義の基本的な帰結です。MM k ^/ r ^k = M ^k / r ^k M  ; P ² = lim M ^{2 k} / r ^{2 k} = P。3 番目の事実も基本的です。M ( Pu ) = M lim M ^k / r ^k u = lim rM ^{k +1} / r ^{k +1} uなので、極限を取るとM ( Pu ) = r ( Pu ) となり、Pの像はMのr固有空間にあり、これは仮定により 1 次元です。

Mのr固有ベクトルをvで表す( M ^Tの場合はwで表す)。P の列はvの倍数である。なぜならPの像はvによって張られるからである。同様に、行はwである。したがって、P はあるaに対して(avw ^T )の形をとる。したがって、そのトレースは(aw ^T v)に等しい。射影演算子のトレースはその像の次元に等しい。これは 1 次元以下であることが以前に証明されている。定義から、P はMのr固有ベクトルに同一に作用することがわかる。したがって、これは 1 次元である。したがって、( w ^T v ) = 1 を選択すると、 P = vw ^Tとなる。

任意の非負行列Aに対して、そのペロン・フロベニウス固有値r は次の不等式を満たす。

${\displaystyle r\;\leq \;\max _{i}\sum _{j}a_{ij}.}$

これは非負行列に限ったことではなく、固有値を持つ任意の行列Aに対して${\displaystyle \scriptstyle \lambda }$それは本当だ${\displaystyle \scriptstyle |\lambda |\;\leq \;\max _{i}\sum _{j}|a_{ij}|}$これはゲルシュゴリンの円定理の直接的な帰結である 。しかし、別の証明の方がより直接的である。

任意の行列誘導ノルムは不等式を満たす${\displaystyle \scriptstyle \|A\|\geq |\lambda |}$任意の固有値に対して${\displaystyle \scriptstyle \lambda }$なぜなら、もし${\displaystyle \scriptstyle x}$は対応する固有ベクトルであり、${\displaystyle \scriptstyle \|A\|\geq |Ax|/|x|=|\lambda x|/|x|=|\lambda |}$行列の無限大ノルムは、行和の最大値です。${\displaystyle \scriptstyle \left\|A\right\|_{\infty }=\max \limits _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|.}$したがって、求める不等式は正確には ${\displaystyle \scriptstyle \|A\|_{\infty }\geq |\lambda |}$非負行列Aに適用されます。

もう一つの不等式は次のとおりです。

${\displaystyle \min _{i}\sum _{j}a_{ij}\;\leq \;r.}$

この事実は非負行列に特有のものであり、一般的な行列には同様のものは存在しません。A が正（非負であるだけでなく）であると仮定すると、 Aw = rw となるような正の固有ベクトル w が存在し、 wの最小成分（ w i とします）_は1 です。すると、r = ( Aw ) _i ≥ Aのi行目の数値の合計となります。したがって、最小行合計はrの下限を与え、この観察は連続性によってすべての非負行列に拡張できます。

別の議論方法としては、コラッツ・ヴィーラントの公式を用いる方法がある。ベクトルx  =  (1,  1,  ...,  1) を取ると、すぐに不等式が得られる。

• アブラハム・バーマン、ロバート・J・プレモンズ、『数学における非負行列』、1994年、SIAM。ISBN 0-89871-321-8。
• クリス・ゴッドシル、ゴードン・ロイル著、『代数的グラフ理論』、シュプリンガー、2001年。
• A. グラハム著『非負行列と線形代数における応用トピック』、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ニューヨーク、1987年。
• R.A.ホーン、C.R.ジョンソン著『行列解析』ケンブリッジ大学出版局、1990年
• Bas Lemmens および Roger Nussbaum、「非線形ペロン・フロベニウス理論」、ケンブリッジ数学論文集 189、ケンブリッジ大学出版局、2012 年。
• SP MeynおよびRL Tweedie、『マルコフ連鎖と確率的安定性』、ロンドン：Springer-Verlag、1993年。ISBN 0-387-19832-6（第2版、ケンブリッジ大学出版局、2009年）
• セネタ、E. 『非負行列とマルコフ連鎖』第2版改訂版、1981年、XVI、288ページ、ソフトカバー、シュプリンガー統計シリーズ。（原著はアレン＆アンウィン社、ロンドン、1973年刊行）ISBN 978-0-387-29765-1
• Suprunenko, DA (2001) [1994]、「ペロン・フロベニウスの定理」、数学百科事典、EMS Press（定理の記述の最後にある、A _{j の}位数がn / hであるという主張は誤りです。）
• Varga, Richard S. (2002),行列反復解析(第 2 版), Springer-Verlag。