デグルート学習

デグルート学習は、経験則型の社会的学習プロセスを指します。このアイデアは、アメリカの統計学者モリス・H・デグルートによって一般的な形で発表されました。^[1]その先行例は、ジョン・RP・フレンチ^[2]とフランク・ハラリー^{[3]によって明確にされました。このモデルは}、物理学、コンピューターサイエンス、そして最も広くはソーシャルネットワークの理論で使用されています。^{[4] [5]}

誰もがある主題について意見を持っているエージェント社会を考えてみましょう。この意見は確率のベクトルで表されます。エージェントは意見を更新できるような新しい情報を得ることはありませんが、他のエージェントとコミュニケーションをとります。エージェント間のつながり（誰が誰を知っているか）と、エージェントが互いの意見に置く重みは信頼行列で表されます。ここで、 はエージェントが自分の意見に置く重みです。したがって、信頼行列は重み付き有向グラフと1 対 1 の関係にあり、の場合にのみ と の間にエッジがあります。信頼行列は確率的 であり、その行は負でない実数で構成され、各行の合計は 1 になります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle p(0)=(p_{1}(0),\dots ,p_{n}(0))}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T_{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle T_{ij}>0}$

正式には、信念は各期間ごとに更新され、

${\displaystyle p(t)=Tp(t-1)}$

したがって、第 期の意見は、最初の意見と次のように関連しています。 ${\displaystyle t}$

${\displaystyle p(t)=T^{t}p(0)}$

重要な疑問は、長期的には信念が限界に収束し、互いに収束するかどうかである。信頼行列は確率的であるため、マルコフ連鎖理論の標準的な結果を使用して、限界が収束する条件を述べることができる 。

${\displaystyle p(\infty )=\lim _{t\to \infty }p(t)=\lim _{t\to \infty }T^{t}p(0)}$

任意の初期信念に対して存在する。以下のケースはGolubとJackson ^[6] (2010)で扱われている。 ${\displaystyle p(0)\in [0,1]^{n}}$

ソーシャル ネットワーク グラフ (信頼マトリックスによって表される) が強く接続されている場合、信念の収束は次の各プロパティと同等になります。

• で表されるグラフは非周期的である${\displaystyle T}$
• 固有値1に対応するの 一意の左固有ベクトル が存在し、その要素の合計は 1 となり、任意の に対して、 任意の に対して となります。ここで、 はドット積を表します。${\displaystyle s}$${\displaystyle T}$${\displaystyle p\in [0,1]^{n}}$${\displaystyle \left(\lim _{t\to \infty }T^{t}p\right)_{i}=s\cdot p}$${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$${\displaystyle \cdot}$

最後の 2 つの間の同値性は、ペロン-フロベニウスの定理からの直接的な帰結です。

収束的な信念を持つために強く結びついたソーシャル ネットワークを持つ必要はありませんが、制限的な信念の等価性は一般には成立しません。

エージェントのグループが任意の に対して である場合に限り、であると言えます。信念が収束するのは、強く接続され閉じているすべてのノード セット (個人を表す) が非周期的でもある場合のみです。 ${\displaystyle C\subseteq \{1,\dots ,n\}}$${\displaystyle i\in C}$${\displaystyle T_{ij}>0}$${\displaystyle j\in C}$

個人のグループは、何らかの に対して合意に達したと言われます。これは、学習プロセスの結果として、極限において、彼らがその主題に関して同じ信念を持っていることを意味します。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle p_{i}(\infty )=p_{j}(\infty )}$${\displaystyle i,j\in C}$

強く結びついた非周期的なネットワークでは、グループ全体が合意に達します。一般的に、強く結びついた閉じた個人のグループは、非周期的である場合にのみ、すべての初期の信念ベクトルについて合意に達します。たとえば、これらの仮定を満たす 2 つのグループがある場合、グループ内では合意に達しますが、社会レベルでは必ずしも合意に達するとは限りません。 ${\displaystyle C}$

強く結びついた非周期的なソーシャルネットワークを考えてみましょう。この場合、共通の制限的信念は、初期の信念によって決定されます。

${\displaystyle p(\infty )=s\cdot p(0)}$

ここで、 は固有値1に対応するの一意の単位長さの左固有ベクトルです。ベクトルは、合意限界においてエージェントが互いの初期信念にかける重みを示します。 したがって、 が高いほど、個人が合意信念に与える影響が大きくなります。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle T}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle i}$

固有ベクトルの性質は、 ${\displaystyle s=sT}$

${\displaystyle s_{i}=\sum _{j=1}^{n}T_{ji}s_{j}}$

これは、 の影響力は、に注意を払っているエージェントの影響力の、信頼レベルの重みによる加重平均であることを意味します。したがって、影響力のあるエージェントは、高い影響力を持つ他の個人から信頼されているという特徴があります。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle s_{j}}$${\displaystyle i}$

これらの例はジャクソン^[4]（2008）に掲載されています。

次の信頼マトリックスを持つ 3 人の社会を考えてみましょう。

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}0&1/2&1/2\\1&0&0\\0&1&0\\\end{pmatrix}}}$

したがって、最初の人は他の2人の信念を同等に重視し、2番目の人は最初の人の意見だけを聞き、3番目の人は2番目の人の意見だけを聞く。この社会的信頼構造には限界があり、

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }T^{t}p(0)=\left(\lim _{t\to \infty }T^{t}\right)p(0)={\begin{pmatrix}2/5&2/5&1/5\\2/5&2/5&1/5\\2/5&2/5&1/5\\\end{pmatrix}}p(0)}$

したがって、影響ベクトルは で、コンセンサス信念は です 。つまり、初期の信念とは関係なく、個人は、最初の人および 2 番目の人の初期信念が 3 番目の人の初期信念の 2 倍の影響力を持つというコンセンサスに達します。 ${\displaystyle s=\left(2/5,2/5,1/5\right)}$${\displaystyle 2/5p_{1}(0)+2/5p_{2}(0)+1/5p_{3}(0)}$

前の例を変更して、3 人目も 1 人目の人の話だけを聞くようにすると、信頼マトリックスは次のようになります。

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}0&1/2&1/2\\1&0&0\\1&0&0\\\end{pmatrix}}}$

この場合、任意の ${\displaystyle k\geq 1}$

${\displaystyle T^{2k-1}={\begin{pmatrix}0&1/2&1/2\\1&0&0\\1&0&0\\\end{pmatrix}}}$

そして

${\displaystyle T^{2k}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1/2&1/2\\0&1/2&1/2\\\end{pmatrix}}}$

したがって、存在せず、信念は極限で収束しません。直感的には、1 は 2 と 3 の信念に基づいて更新されますが、2 と 3 は 1 の信念のみに基づいて更新されるため、各期間で信念が入れ替わります。 ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }T^{t}}$

大規模社会、つまり極限において、DeGroot 学習プロセスの結果を調査することが可能です。 ${\displaystyle n\to \infty }$

人々が意見を持つ主題を「真の状態」とする。個人が独立したノイズ信号を持っていると仮定する（上付き文字は時間、議論は社会の大きさを指す）。すべての信頼マトリックスが、制限的な信念が初期の信念とは独立して存在するようなものであると仮定する 。そして、社会のシーケンスは、 ${\displaystyle \mu \in [0,1]}$${\displaystyle p_{i}^{(0)}(n)}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle n}$${\displaystyle T(n)}$${\displaystyle p_{i}^{(\infty )}(n)}$${\displaystyle \left(T(n)\right)_{n=1}^{\infty}}$

${\displaystyle \max _{i\leq n}|p_{i}^{(\infty )}-\mu |{\xrightarrow {\ p\ }}0}$

ここで、 は確率の収束を表します。これは、社会が際限なく成長すれば、時間の経過とともに不確実な主題に関して共通の正確な信念を持つようになることを意味します。 ${\displaystyle {\xrightarrow {\ p\}}$

影響ベクトルの助けを借りれば、知恵の必要十分条件を与えることができる。社会の連鎖が賢明であるのは、次の場合のみである。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\max _{i\leq n}s_{i}(n)=0}$

つまり、最も影響力のある個人の影響力さえも大きな社会の限界内で消え去るとき、社会は賢明である。さらなる特徴づけと例については、GolubとJackson ^[6] (2010)を参照。