レスリーマトリックス

レスリー行列は、個体群生態学で非常に人気のある、離散的で年齢構造化された個体群増加モデルであり、パトリック・H・レスリーにちなんで名付けられました。^{[1] [2]}レスリー行列（レスリーモデルとも呼ばれる）は、個体群の増加（および予測される年齢分布）を記述する最もよく知られた方法の1つであり、個体群は移動に対して閉じられており、無制限の環境で増加し、通常は女性である1つの性別のみが考慮されます。

レスリー行列は、生態学において、一定期間にわたる生物の個体群の変化をモデル化するために使用されます。レスリーモデルでは、個体群は年齢クラスに基づいてグループに分けられます。年齢クラスを個体発生段階に置き換えた同様のモデルは、レフコビッチ行列と呼ばれ、^{[3]個体は同じ段階クラスに留まることも、次の段階クラスに移動することもできます。各時間ステップで、個体群は各年齢クラスの要素を持つ}ベクトルで表され、各要素は現在そのクラスにいる個体の数を示します。

レスリー行列は、人口ベクトルの要素と同じ数の行と列を持つ正方行列です。行列の (i,j) 番目のセルは、ステージjの各個体について、次のタイム ステップで年齢クラスiに何人の個体がいるかを示します。各タイム ステップで、人口ベクトルにレスリー行列が乗算され、次のタイム ステップの人口ベクトルが生成されます。

マトリックスを構築するには、母集団から次の情報を把握する必要があります。

• ${\displaystyle n_{x}}$、各年齢階級の個体数（n ） x
• ${\displaystyle s_{x}}$、年齢階級xから年齢階級x+1まで生き残る個体の割合、
• ${\displaystyle f_{x}}$繁殖力は、年齢階級xの母親から生まれた女性の子孫の一人当たりの平均数です。より正確には、次の年齢階級に到達する確率で重み付けされた次の年齢階級で生産される子孫の数として見ることができます。したがって、${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle b_{x+1}}$${\displaystyle f_{x}=s_{x}b_{x+1}.}$

時刻t+1では、単純に前の時刻ステップで生まれたすべての子孫の合計であり、時刻t+1まで生き残る生物は、時刻tで確率 で生き残っている生物であるという観察から、 が得られます。これは、次の行列表現を意味します。 ${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle s_{x}}$${\displaystyle n_{x+1}=s_{x}n_{x}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}n_{0}\\n_{1}\\\vdots \\n_{\omega -1}\\\end{bmatrix}}_{t+1}={\begin{bmatrix}f_{0}&f_{1}&f_{2}&\ldots &f_{\omega -2}&f_{\omega -1}\\s_{0}&0&0&\ldots &0&0\\0&s_{1}&0&\ldots &0&0\\0&0&s_{2}&\ldots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\ldots &s_{\omega -2}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}n_{0}\\n_{1}\\\vdots \\n_{\omega -1}\end{bmatrix}}_{t}}$

人口が到達可能な最高年齢は どこですか。${\displaystyle \omega}$

これは次のように記述できます。

${\displaystyle \mathbf {n} _{t+1}=\mathbf {L} \mathbf {n} _{t}}$

または：

${\displaystyle \mathbf {n} _{t}=\mathbf {L} ^{t}\mathbf {n} _{0}}$

ここで、は時刻tにおける人口ベクトル、 はレスリー行列です。の優勢な固有値は と表記され、人口の漸近的成長率（安定した年齢分布での成長率）を与えます。対応する固有ベクトルは、人口内の各年齢の個体の割合である安定した年齢分布を提供します。これは、重要な割合が変化しない限り、漸近的成長のこの時点で一定のままです。^[4]安定した年齢分布に達すると、人口はの速度で指数関数的に増加します。 ${\displaystyle \mathbf {n} _{t}}$${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda}$

行列の特性多項式はオイラー・ロトカ方程式によって与えられる。

レスリーモデルは離散時間マルコフ連鎖と非常によく似ています。主な違いは、マルコフモデルでは各 に対してとなるのに対し、レスリーモデルではこれらの合計が 1 より大きくなったり小さくなったりする点です。 ${\displaystyle f_{x}+s_{x}=1}$${\displaystyle x}$

この年齢構造化成長モデルは、定常状態、つまり安定した年齢構造と成長率を示唆しています。初期の人口規模、年齢分布に関係なく、人口はこの年齢構造と成長率に漸近する傾向があります。また、摂動後にもこの状態に戻ります。オイラー・ロトカ方程式は、固有の成長率を特定する手段を提供します。安定した年齢構造は、成長率と生存関数（レスリー行列）の両方によって決まります。^[5]たとえば、固有の成長率が大きい人口は、不釣り合いに「若い」年齢構造になります。すべての年齢で死亡率が高い（つまり生存率が低い）人口は、同様の年齢構造になります。 ${\displaystyle N_{0}}$

レスリー行列に相関関係のあるランダム要素がある場合、人口増加率は一般化される。^{[6]重要なパラメータの無秩序性または不確実性を特徴付ける場合、線形}非負ランダム行列 差分方程式を扱うために摂動形式論を使用しなければならない。すると、平均値人口状態ベクトルの長期漸近ダイナミクスを定義する非自明な有効固有値が、有効増加率として表される。この固有値と関連する平均値不変状態ベクトルは、永年多項式の最小の正の根と平均値グリーン関数の剰余から計算できる。このようにして、無秩序性のいくつかのモデルについて、正確な結果と摂動結果を分析できる。

• Kot, M. (2001). 『数理生態学の要素』 ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-00150-1。
• Krebs, CJ (2001)。生態学：分布と生息数の実験的分析（第 5 版）。サンフランシスコ：ベンジャミン・カミングス。
• ポラード、JH (1973)。「H. ベルナルデッリ、PH レスリー、EG ルイスの決定論的理論」。人口増加の数学的モデル。ケンブリッジ大学出版局。37～59 ページ。ISBN 0-521-20111-X。