順序付きベクトル空間

数学において、順序付きベクトル空間または半順序付きベクトル空間とは、ベクトル空間演算と互換性のある半順序を備えた実ベクトル空間のことである。

ベクトル空間が与えられた場合${\displaystyle X}$実際の数字を超えて${\displaystyle \mathbb {R} }$そして予約注文${\displaystyle \,\leq \,}$撮影現場で${\displaystyle X,}$そのペア${\displaystyle (X,\leq )}$これは前順序ベクトル空間と呼ばれ、前順序は${\displaystyle \,\leq \,}$ベクトル空間構造と互換性がある${\displaystyle X}$そして電話する${\displaystyle \,\leq \,}$ベクターの予約注文${\displaystyle X}$すべての場合${\displaystyle x,y,z\in X}$そして${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$と${\displaystyle r\geq 0}$以下の2つの公理が満たされている

1. ${\displaystyle x\leq y}$暗示する${\displaystyle x+z\leq y+z,}$
2. ${\displaystyle y\leq x}$暗示する${\displaystyle ry\leq rx.}$

もし${\displaystyle \,\leq \,}$は、ベクトル空間構造と互換性のある部分順序である。${\displaystyle X}$それから${\displaystyle (X,\leq )}$は順序付きベクトル空間と呼ばれ、${\displaystyle \,\leq \,}$は、上のベクトル半順序と呼ばれます。${\displaystyle X.}$ 2 つの公理は、並進と正の相似変換が順序構造と写像の自己同型であることを示唆している。${\displaystyle x\mapsto -x}$は双対順序構造と同型である。順序付きベクトル空間は、加算演算に関して順序付き群である。${\displaystyle x\leq y}$かつその場合に限り${\displaystyle -y\leq -x.}$

サブセット​${\displaystyle C}$ベクトル空間の${\displaystyle X}$すべての実数に対して、円錐と呼ばれる。${\displaystyle r>0,}$${\displaystyle rC\subseteq C}$円錐は、原点を含む場合、尖っていると呼ばれます。円錐${\displaystyle C}$凸であるのは、${\displaystyle C+C\subseteq C.}$空でない任意の錐体族（または凸錐体族）の交わりは、再び錐体（または凸錐体）になります。集合包含関係の下で増加する錐体族（または凸錐体族）の和集合についても同様です。錐体${\displaystyle C}$ベクトル空間において${\displaystyle X}$生成していると言われているのは、${\displaystyle X=CC.}$^{[ 1 ]}

順序付けられたベクトル空間が与えられた場合${\displaystyle X,}$部分集合${\displaystyle X^{+}}$すべての要素${\displaystyle x}$で${\displaystyle (X,\leq )}$満足${\displaystyle x\geq 0}$は、尖った凸円錐（つまり、${\displaystyle 0}$）正の円錐と呼ばれる${\displaystyle X}$そして、${\displaystyle \operatorname {PosCone} X.}$ 正の円錐の要素は正と呼ばれます。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$順序付きベクトル空間の要素である${\displaystyle (X,\leq ),}$それから${\displaystyle x\leq y}$かつその場合に限り$\displaystyle yx\in X^{+}.}$正の円錐は、以下の場合に限り生成されます。${\displaystyle X}$は、​${\displaystyle \,\leq .}$ 任意の尖った凸円錐が与えられた場合${\displaystyle C}$先行順序を定義することができる${\displaystyle \,\leq \,}$の上${\displaystyle X}$これは、ベクトル空間構造と互換性がある。${\displaystyle X}$すべての${\displaystyle x,y\in X,}$それ${\displaystyle x\leq y}$かつその場合に限り${\displaystyle yx\in C;}$ この結果として得られる順序付きベクトル空間の正の錐は${\displaystyle C.}$ したがって、尖った凸錐とベクトル前順序の間には一対一の対応関係がある。${\displaystyle X.}$^{[ 1 ]} もし${\displaystyle X}$が前順序付けされている場合、同値関係を形成できます${\displaystyle X}$定義することによって${\displaystyle x}$と同等${\displaystyle y}$かつその場合に限り${\displaystyle x\leq y}$そして${\displaystyle y\leq x;}$ もし${\displaystyle N}$原点を含む同値類である場合${\displaystyle N}$はベクトル部分空間である${\displaystyle X}$そして${\displaystyle X/N}$は、以下の関係式のもとで順序付けられたベクトル空間である。${\displaystyle A\leq B}$存在する場合に限り${\displaystyle a\in A}$そして${\displaystyle b\in B}$そのため${\displaystyle a\leq b.}$^{[ 1 ]}

サブセット${\displaystyle C}$ベクトル空間の${\displaystyle X}$凸円錐で、以下の条件を満たす場合、真円錐と呼ばれる。${\displaystyle C\cap (-C)=\{0\}.}$ 具体的に言うと、${\displaystyle C}$が適切な円錐である場合 (1)${\displaystyle C+C\subseteq C,}$（２）${\displaystyle rC\subseteq C}$すべての人々のために${\displaystyle r>0,}$（３）${\displaystyle C\cap (-C)=\{0\}.}$^{[ 2 ]} 空でない任意の真錐族の交わりは、再び真錐となる。各真錐は${\displaystyle C}$実ベクトル空間では、定義することによってベクトル空間に順序を誘導する${\displaystyle x\leq y}$かつその場合に限り${\displaystyle yx\in C,}$さらに、この順序付きベクトル空間の正の錐は${\displaystyle C.}$したがって、適切な凸円錐の間には一対一の対応関係が存在する。${\displaystyle X}$そしてベクトル部分順序${\displaystyle X.}$

全体ベクトル順序付けにより${\displaystyle X}$我々は全順序を意味する${\displaystyle X}$これは、ベクトル空間構造と互換性がある。${\displaystyle X.}$ ベクトル空間上の全ベクトル順序の族${\displaystyle X}$は、集合包含の下で最大となるすべての真の錐の族と一対一で対応します。^{[ 1 ]}実数上のベクトル空間として考えた場合の次元が 1 より大きい場合、 全ベクトル順序はアルキメデス的ではありません。 ^{[ 1 ]}

もし${\displaystyle R}$そして${\displaystyle S}$正の錐を持つベクトル空間の 2 つの順序付け${\displaystyle P}$そして${\displaystyle Q,}$それぞれ、次のように言います。${\displaystyle R}$より細かい​${\displaystyle S}$もし${\displaystyle P\subseteq Q.}$^{[ 2 ]}

順序付きベクトル空間における順序区間は、次の形式の集合である。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}[a,b]&=\{x:a\leq x\leq b\},\\[0.1ex][a,b[&=\{x:a\leq x<b\},\\]a,b]&=\{x:a<x\leq b\},{\text{ or }}\\]a,b[&=\{x:a<x<b\}.\\\end{alignedat}}}$$ 上記の公理1と2から、${\displaystyle x,y\in [a,b]}$そして${\displaystyle 0<t<1}$暗示する${\displaystyle tx+(1-t)y}$に属する${\displaystyle [a,b];}$したがって、これらの順序区間は凸である。部分集合は、ある順序区間に含まれる場合、順序有界で あると言われる。 ^{[ 2 ]} 前順序実ベクトル空間において、${\displaystyle x\geq 0}$すると、次の形式の区間${\displaystyle [-x,x]}$バランスが取れ ている。^{[ 2 ]}順序付きベクトル空間の順序単位は任意の要素で ある。${\displaystyle x}$その集合が${\displaystyle [-x,x]}$吸収する。^{[ 2 ]}

順序付けられたベクトル空間上のすべての線形汎関数の集合${\displaystyle X}$すべての順序区間を境界付き集合に写像するものは、順序境界双対と呼ばれます。${\displaystyle X}$そして、${\displaystyle X^{\operatorname {b} }.}$^{[ 2 ]} 空間が順序付けられている場合、その順序境界双対は、その代数的双対。

サブセット${\displaystyle A}$順序付きベクトル空間の${\displaystyle X}$が空でないすべての部分集合に対してである場合、順序は完全であると呼ばれます。${\displaystyle B\subseteq A}$そのため${\displaystyle B}$順序は制限されている${\displaystyle A,}$両方${\displaystyle \sup B}$そして${\displaystyle \inf B}$存在し、要素である${\displaystyle A.}$順序付きベクトル空間とは${\displaystyle X}$注文は完了しましたか${\displaystyle X}$は、順序が完全な部分集合である。${\displaystyle X.}$^{[ 3 ]}

もし${\displaystyle X}$が順序付きベクトル空間である場合、すべての${\displaystyle x,y\in X,}$

• ${\displaystyle x\geq 0}$そして${\displaystyle y\geq 0}$暗示する${\displaystyle x+y\geq 0.}$^{[ 4 ]}
• ${\displaystyle x\leq y}$かつその場合に限り${\displaystyle -y\leq -x.}$^{[ 4 ]}
• ${\displaystyle x\leq y}$そして${\displaystyle r<0}$暗示する${\displaystyle rx\geq ry.}$^{[ 4 ]}
• ${\displaystyle x\leq y}$かつその場合に限り${\displaystyle y=\sup\{x,y\}}$かつその場合に限り${\displaystyle x=\inf\{x,y\}}$^{[ 4 ]}
• ${\displaystyle \sup\{x,y\}}$存在するのは、${\displaystyle \inf\{-x,-y\}}$存在する場合、${\displaystyle \inf\{-x,-y\}=-\sup\{x,y\}.}$^{[ 4 ]}
• ${\displaystyle \sup\{x,y\}}$存在するのは、${\displaystyle \inf\{x,y\}}$存在する場合、すべての${\displaystyle z\in X,}$^{[ 4 ]}
  • ${\displaystyle \sup\{x+z,y+z\}=z+\sup\{x,y\},}$そして
  • ${\displaystyle \inf\{x+z,y+z\}=z+\inf\{x,y\}}$
  • ${\displaystyle x+y=\inf\{x,y\}+\sup\{x,y\}.}$
• ${\displaystyle X}$はベクトル格子であるのは、${\displaystyle \sup\{0,x\}}$すべての人々のために存在する${\displaystyle x\in X.}$^{[ 4 ]}

円錐${\displaystyle C}$生成していると言われているのは、${\displaystyle C-C}$はベクトル空間全体に等しい。^{[ 2 ]} もし${\displaystyle X}$そして${\displaystyle W}$それぞれ正の錐を持つ、非自明な順序付きベクトル空間が2つあります。${\displaystyle P}$そして${\displaystyle Q,}$それから${\displaystyle P}$生成中${\displaystyle X}$集合が${\displaystyle C=\{u\in L(X;W):u(P)\subseteq Q\}}$は適切な円錐です${\displaystyle L(X;W),}$これは、すべての線形写像の空間です。${\displaystyle X}$の中へ${\displaystyle W.}$ この場合、定義される順序は${\displaystyle C}$これは、${\displaystyle L(X;W).}$^{[ 2 ]} より一般的には、${\displaystyle M}$は任意のベクトル部分空間である。${\displaystyle L(X;W)}$そのため${\displaystyle C\cap M}$は真円錐であり、順序は次のように定義される。${\displaystyle C\cap M}$これは、${\displaystyle M.}$^{[ 2 ]}

させて${\displaystyle X}$順序付きベクトル空間である。順序付きベクトル空間とは、${\displaystyle X}$アルキメデスの順序であり、${\displaystyle X}$アルキメデス的であるのは、${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$は、${\displaystyle \{nx:n\in \mathbb {N} \}}$優勢である（つまり、いくつかの${\displaystyle y\in X}$そのため${\displaystyle nx\leq y}$すべての人々のために${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$） それから${\displaystyle x\leq 0.}$^{[ 2 ]} 位相ベクトル空間(TVS) は、順序付きベクトル空間であるならば、その正錐が閉じていれば必ずアルキメデス的である。 ^{[ 2 ]}

順序付きベクトル空間とは${\displaystyle X}$は規則的に順序付けられており、アルキメデス的順序付けであればその順序は規則的である。${\displaystyle X^{+}}$点を区別する${\displaystyle X.}$^{[ 2 ]} この性質により、双対性のツールをうまく利用して順序付きベクトル空間を研究できるほど十分な数の正の線形形式が存在することが保証されます。 ^{[ 2 ]}

順序付きベクトル空間は、すべての要素に対して が成り立つ場合にベクトル格子と呼ばれる。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y,}$至高​${\displaystyle \sup(x,y)}$そして、${\displaystyle \inf(x,y)}$存在する。^{[ 2 ]}

全体を通して${\displaystyle X}$正の錐を持つ順序付きベクトル空間である${\displaystyle C.}$

部分空間

もし${\displaystyle M}$はベクトル部分空間である${\displaystyle X}$すると、${\displaystyle M}$誘発される${\displaystyle X}$の正の円錐${\displaystyle C}$これは、尖った凸円錐によって誘導される部分順序です。${\displaystyle C\cap M,}$この円錐が適切な場合${\displaystyle C}$適切です。^{[ 2 ]}

商空間

させて${\displaystyle M}$順序付きベクトル空間のベクトル部分空間である${\displaystyle X,}$${\displaystyle \pi :X\to X/M}$を正準射影とし、${\displaystyle {\hat {C}}:=\pi (C).}$ それから${\displaystyle {\hat {C}}}$円錐は${\displaystyle X/M}$これは商空間上に正準順序を誘導する${\displaystyle X/M.}$ もし${\displaystyle {\hat {C}}}$は適切な円錐です${\displaystyle X/M}$それから${\displaystyle {\hat {C}}}$作る${\displaystyle X/M}$順序付きベクトル空間へ。^{[ 2 ]} もし${\displaystyle M}$は${\displaystyle C}$飽和状態${\displaystyle {\hat {C}}}$の正準順序を定義する${\displaystyle X/M.}$^{[ 1 ]} 注意してください${\displaystyle X=\mathbb {R} _{0}^{2}}$順序付きベクトル空間の例を示します。${\displaystyle \pi (C)}$これは適切な円錐ではありません。

もし${\displaystyle X}$は位相ベクトル空間（TVS）でもあり、各近傍について${\displaystyle V}$起源の${\displaystyle X}$近隣地域が存在する${\displaystyle U}$原点の${\displaystyle [(U+N)\cap C]\subseteq V+N}$それから${\displaystyle {\hat {C}}}$は商位相の正規錐である。^{[ 1 ]}

もし${\displaystyle X}$は位相ベクトル格子であり、${\displaystyle M}$は閉じた固体副格子である${\displaystyle X}$それから${\displaystyle X/L}$は位相ベクトル格子でもある。^{[ 1 ]}

製品

もし${\displaystyle S}$任意の集合であれば空間${\displaystyle X^{S}}$すべての機能から${\displaystyle S}$の中へ${\displaystyle X}$正円錐によって正統的に順序付けられている${\displaystyle \left\{f\in X^{S}:f(s)\in C{\text{ for all }}s\in S\right\}.}$^{[ 2 ]}

仮に${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$は順序付けられたベクトル空間の族であり、正の錐は${\displaystyle X_{\alpha }}$は${\displaystyle C_{\alpha }.}$ それから${\textstyle C:=\prod _{\alpha }C_{\alpha }}$は尖った凸円錐です${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha },}$これは、${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha };}$${\displaystyle C}$すべてが適切な円錐である場合${\displaystyle C_{\alpha }}$それらは適切な円錐である。^{[ 2 ]}

代数的直和

代数直和${\textstyle \bigoplus _{\alpha }X_{\alpha }}$の${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$はベクトル部分空間である${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$これは、${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }.}$^{[ 2 ]} もし${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$順序付きベクトル空間の順序付きベクトル部分空間である${\displaystyle X}$それから${\displaystyle X}$は、これらの部分空間の順序付き直和であり、正準代数同型が${\displaystyle X}$に${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$（標準積順序との）は順序同型である。^{[ 2 ]}

• 通常の順序付けを持つ実数は、完全順序付きベクトル空間を形成する。すべての整数に対して${\displaystyle n\geq 0,}$ユークリッド空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$辞書式順序を持つ実数上のベクトル空間とみなすと、順序がアルキメデス的であるような順序付きベクトル空間が形成されるのは、${\displaystyle n=1}$[ ^{4 ]​}
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$は、${\displaystyle \,\leq \,}$関係は、以下のいずれかの方法で定義されます（強さの昇順、つまりペアの集合の減少順）。
  • 辞書順：${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$かつその場合に限り${\displaystyle a<c}$または${\displaystyle (a=c{\text{ and }}b\leq d).}$これは全順序です。正の錐は次のように与えられます。${\displaystyle x>0}$または${\displaystyle (x=0{\text{ and }}y\geq 0),}$すなわち、極座標では、角度座標がを満たす点の集合は${\displaystyle -\pi /2<\theta \leq \pi /2,}$起源とともに。
  • ${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$かつその場合に限り${\displaystyle a\leq c}$そして${\displaystyle b\leq d}$（2 部を注文する${\displaystyle \mathbb {R} }$と${\displaystyle \leq }$これは半順序です。正の錐は次のように与えられます。${\displaystyle x\geq 0}$そして${\displaystyle y\geq 0,}$つまり、極座標では${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2,}$起源とともに。
  • ${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$かつその場合に限り${\displaystyle (a<c{\text{ and }}b<d)}$または${\displaystyle (a=c{\text{ and }}b=d)}$（2 つのコピーの直接積の反射閉包${\displaystyle \mathbb {R} }$「<」付き。これも半順序です。正の錐は次のように与えられます。${\displaystyle (x>0{\text{ and }}y>0)}$または${\displaystyle x=y=0),}$つまり、極座標では、${\displaystyle 0<\theta <\pi /2,}$起源とともに。

2 次のみが、${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$閉じている。位相空間における部分順序を参照のこと。

3次の場合、2次元の「区間」${\displaystyle p<x<q}$これらは位相を生成する開集合である。

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$は、${\displaystyle \,\leq \,}$関係は同様に定義される。例えば、上述の2次関係の場合：
  • ${\displaystyle x\leq y}$かつその場合に限り${\displaystyle x_{i}\leq y_{i}}$のために${\displaystyle i=1,\dots ,n.}$
• リース空間とは、順序によって格子が生じる順序付きベクトル空間である。
• 連続関数の空間${\displaystyle [0,1]}$どこ${\displaystyle f\leq g}$かつその場合に限り${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$すべての人々のために${\displaystyle x}$で${\displaystyle [0,1].}$
• させて${\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}(\mathbb {R} )}$対称性を表す${\displaystyle n\times n}$実数成分を持つ行列。ローヴナー次数${\displaystyle \preccurlyeq }$2つの対称行列について${\displaystyle A,B\in {\mbox{Sym}}_{n}(\mathbb {R} )}$定義される${\displaystyle A\preccurlyeq B\Leftrightarrow B-A}$は正定値半正定値行列です。定義により、その正定値錐はすべての正定値行列の集合です。さらに、対称行列に適用されるスペクトル定理により、この錐が生成行列であることが証明されます。

• 順序位相（関数解析）– 順序付きベクトル空間の位相 
• 順序付き体– 順序構造を持つ代数的オブジェクト 
• 順序付きグループ– 互換性のある部分順序を持つグループリダイレクト先の短い説明を表示するページ 
• 指輪を注文しました
• 順序付き位相ベクトル空間
• 半順序空間– 半順序位相空間 
• 積順序– 順序理論における構成 
• リース空間– 格子状に順序付けられた、部分的に順序付けられたベクトル空間 
• 位相ベクトル格子
• ベクトル格子– 部分的に順序付けられたベクトル空間、格子として順序付けられるリダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 

• Aliprantis, Charalambos D ; Burkinshaw, Owen (2003). Locally solid Riesz spaces with applications to economics (Second  ed.). Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3408-8。
• ブルバキ、ニコラ；数学の基礎：位相ベクトル空間；ISBN 0-387-13627-4。
• ナリチ、ローレンス；ベッケンシュタイン、エドワード（2011）。位相ベクトル空間。純粋および応用数学（第2 版）。フロリダ州ボカラトン：CRC Press。ISBN 978-1584888666OCLC 144216834。​ 
• シェーファー、ヘルムート・H. ; ウォルフ、マンフレッド・P. (1999).位相ベクトル空間. GTM . 第 8巻（第2 版）. ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135​​ 
• ウォン（1979）。シュワルツ空間、核空間、テンソル積。ベルリン・ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 3-540-09513-6OCLC 5126158。​