リーススペース

数学において、リース空間、格子順序ベクトル空間、またはベクトル格子は、順序構造が格子である部分的に順序付けられたベクトル空間です。

リース空間は、1928 年の論文Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéairesで最初にリース空間を定義したFrigyes Rieszにちなんで名付けられました。

リース空間の応用範囲は広い。リース空間は測度論において重要であり、重要な結果はリース空間の結果の特殊ケースとなる。例えば、ラドン・ニコディムの定理はフロイトエンタールのスペクトル定理の特殊ケースとして成り立つ。リース空間は、ギリシャ系アメリカ人の経済学者で数学者のチャラランボス・D・アリプランティスの研究を通じて数理経済学にも応用されている。

が順序付きベクトル空間（定義により実数上のベクトル空間）であり、が のサブセットである場合、すべての に対して（それぞれ ）である場合、元はの上限（それぞれ）です。の 元は、それが の上限（それぞれ ）である場合、および （それぞれ ）の任意の上限（それぞれ）に対して である場合、の最小の上限または極大（それぞれ ）（より大きい下限または極小）です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle b\in X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle s\leq b}$${\displaystyle s\geq b}$${\displaystyle s\in S.}$${\displaystyle a}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle b}$${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle a\geq b}$

順序付きベクトル格子は、すべての要素のペアが最大値を持つ順序付きベクトル空間 です。 ${\displaystyle E}$

より明確に言えば、順序付きベクトル格子は、任意の に対して次のようになる順序が与えられたベクトル空間です。 ${\displaystyle \,\leq ,\,}$${\displaystyle x,y,z\in E}$

1. 翻訳不変性：意味する${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle x+z\leq y+z.}$
2. 正の同次性：任意のスカラーに対して${\displaystyle 0\leq a,}$ ${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle ax\leq ay.}$
3. 任意のベクトルのペアに対して、次数に関しての上限（ と表記）が存在する。${\displaystyle x,y\in E,}$${\displaystyle x\vee y}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \,(\leq ).\,}$

事前順序は、項目 1 および 2 とともに、それを「ベクトル空間構造と互換性がある」ものにし、事前順序付きベクトル空間を作成します。項目 3 は、事前順序が結合半格子であると述べています。事前順序はベクトル空間構造と互換性があるため、任意のペアにも下限があり、ミート半格子、つまり格子 も作成できることがわかります。${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

順序付きベクトル空間は、次の同等な特性のいずれかを満たす場合にのみ、順序付きベクトル格子になります。 ${\displaystyle E}$

1. 彼らの最高峰は${\displaystyle x,y\in E,}$${\displaystyle E.}$
2. それらの最小値は存在する${\displaystyle x,y\in E,}$${\displaystyle E.}$
3. いかなるものでも、その最小値と最大値は${\displaystyle x,y\in E,}$${\displaystyle E.}$
4. ^任意の[1]が存在する場合${\displaystyle x\in E,}$ ${\displaystyle \sup\{x,0\}}$${\displaystyle E.}$

リース空間またはベクトル格子は、その前順序が半順序である前順序付きベクトル格子です。同様に、それは 順序が格子である順序付きベクトル空間です。

多くの著者はベクトル格子が単に順序付けされたベクトル空間ではなく、部分的に順序付けされたベクトル空間であることを要求しましたが、他の著者はそれが順序付けされたベクトル空間であることのみを要求していることに注意してください。今後は、すべてのリース空間とすべてのベクトル格子が順序付けされたベクトル空間であるが、順序付けされたベクトル格子が必ずしも部分的に順序付けされているとは限らないと仮定します。

が 上の順序付きベクトル空間であり、その正錐（元）が生成する（つまり となる）場合、また任意の または に対して が存在する場合、はベクトル格子である。^[2]${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle C}$${\displaystyle \,\geq 0}$${\displaystyle E=CC}$${\displaystyle x,y\in C}$${\displaystyle \sup\{x,y\}}$${\displaystyle \inf\{x,y\}}$${\displaystyle E}$

部分的に順序付けられたベクトル空間の順序区間は、形式の凸集合である。順序付けられた 実ベクトル空間では、形式のすべての区間は均衡している。^[3] 上記の公理 1 および 2 から、次が成り立ち、次が意味する。 部分集合が順序境界にあるとは、ある順序区間に含まれる場合を言う。^[3]順序付けされたベクトル空間の 順序単位は、集合がを吸収する任意の要素である。^[3]${\displaystyle [a,b]=\{x:a\leq x\leq b\}.}$${\displaystyle [-x,x]}$${\displaystyle x,y\in [a,b]}$${\displaystyle t\in (0,1)}$${\displaystyle tx(1-t)y\in [a,b].}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [-x,x]}$

順序付きベクトル空間上のすべての線型関数の集合で、すべての順序区間を有界集合に写像するものは、の順序境界双対と呼ばれ、 ^[3]で表されます。空間が順序付きである場合、その順序境界双対は、その代数的双対 のベクトル部分空間です。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{b}.}$

ベクトル格子の部分集合は、 と の両方において順序が有界であるような空でない部分集合すべてに対してが存在し、 の要素である場合に順序完全であると 言われる。ベクトル格子が順序完全であるとは、が^[4]の順序完全部分集合である場合に言う。${\displaystyle A}$${\displaystyle E}$${\displaystyle B\subseteq A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle \sup B}$${\displaystyle \inf B}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E.}$

有限次元リース空間はアルキメデスの性質によって完全に分類される。

定理: ^[5]が有限次元のベクトル格子であると仮定する。がアルキメデス順序である場合、それは（ベクトル格子）その正準順序の下で と同型である。 そうでない場合、 がと同型であるような、 を満たす整数が存在する。ここで は正準順序を持ち、は辞書式順序を持ち、これら2つの空間の積は正準積順序を持つ。${\displaystyle X}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 2\leq k\leq n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} _{L}^{k}\times \mathbb {R} ^{n-k}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-k}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{L}^{k}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

同じ結果は無限次元では成り立たない。カプランスキーの例として、有限個の点を除いて連続で、それらの点には2次の極を持つ[0,1]上の関数のベクトル空間Vを考える。この空間は通常の点ごとの比較によって格子順序付けられるが、任意の基数^κに対してℝκと書くことはできない。^[6] 一方、ℝベクトル空間のカテゴリにおけるエピモノ因数分解はリース空間にも当てはまる。つまり、格子順序付けられたすべてのベクトル空間は、ℝκ^の商に実体部分空間を注入する。^[7]

すべてのリース空間は半順序ベクトル空間ですが、すべての半順序ベクトル空間がリース空間であるとは限りません。

の任意の部分集合に対して、上限または下限のいずれかが存在するときはいつでも（その場合は両方とも存在する）であることに注意する。 ^[2] かつ^[2]リース空間内の すべてに対して^[4]${\displaystyle A}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \sup A=-\inf(-A)}$${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle y\geq 0}$${\displaystyle [0,x]+[0,y]=[0,x+y].}$${\displaystyle a,b,x,{\text{ and }}y}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle a-\inf(x,y)+b=\sup(a-x+b,a-y+b).}$

リース空間の任意の元に対して、で表されるの絶対値は^[4]と定義され、これは および を満たす。任意のおよび任意の実数 に対して、 および^{[4] が成り立つ。}${\displaystyle x}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle |x|,}$${\displaystyle |x|:=\sup\{x,-x\},}$${\displaystyle -|x|\leq x\leq |x|}$${\displaystyle |x|\geq 0.}$${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle r,}$${\displaystyle |rx|=|r||x|}$${\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|.}$

ベクトル格子の2つの要素は、格子互いに素である、または の場合に互いに素であるとさ れ、その場合、次のように書きます。2 つの要素が互いに素であるのは、 の場合に限ります。 が互いに素である場合、 となり、任意の要素およびに対して となります。2つの 集合とが互いに素であるのは、および がすべておよびに対して互いに素である場合に限ります。その場合、次のように書きます^{[2] が単独集合である場合、 の代わりに と書きます。任意の集合に対して、互いに素な補集合を 集合 [2 ]}と 定義します 。互いに素な補 集合は常にバンドですが、その逆は一般には成り立ちません。が のサブセットで が存在する場合、がのサブセット格子で から互いに素である場合、 はから互いに素な格子となります^[2]${\displaystyle x{\text{ and }}y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \inf\{|x|,|y|\}=0,}$${\displaystyle x\perp y.}$${\displaystyle x{\text{ and }}y}$${\displaystyle \sup\{|x|,|y|\}=|x|+|y|.}$${\displaystyle x{\text{ and }}y}$${\displaystyle |x+y|=|x|+|y|}$${\displaystyle (x+y)^{+}=x^{+}+y^{+},}$${\displaystyle z,}$ ${\displaystyle z^{+}:=\sup\{z,0\}}$${\displaystyle z^{-}:=\sup\{-z,0\}.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle b\in B,}$${\displaystyle A\perp B.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \{a\}}$${\displaystyle a\perp B}$${\displaystyle \{a\}\perp B.}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle A^{\perp }:=\left\{x\in X:x\perp A\right\}.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x=\sup A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \{x\}.}$

任意の および に対して、これらの要素は両方ともであり、 であることに注意すると、 およびは互いに素であり、 は互いに素な要素の差として一意に表現されます^[2] すべてのおよびに対して^[2]および の場合、 およびの場合 に限り、さらに および の場合に限り、^[2]${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x^{+}:=\sup\{x,0\}}$${\displaystyle x^{-}:=\sup\{-x,0\},}$${\displaystyle \geq 0}$${\displaystyle x=x^{+}-x^{-}}$${\displaystyle |x|=x^{+}+x^{-}.}$${\displaystyle x^{+}}$${\displaystyle x^{-}}$${\displaystyle x=x^{+}-x^{-}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \geq 0.}$${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle \left|x^{+}-y^{+}\right|\leq |x-y|}$${\displaystyle x+y=\sup\{x,y\}+\inf\{x,y\}.}$${\displaystyle y\geq 0}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle x^{+}\leq y.}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle x^{+}\leq y^{+}}$${\displaystyle x^{-}\leq y^{-}.}$

任意のリース空間は分配格子である。つまり、次の同値な^{[注 1]}性質を持つ。^[8]すべての${\displaystyle x,y,z\in X}$

1. ${\displaystyle x\wedge (y\vee z)=(x\wedge y)\vee (x\wedge z)}$
2. ${\displaystyle x\vee (y\wedge z)=(x\vee y)\wedge (x\vee z)}$
3. ${\displaystyle (x\wedge y)\vee (y\wedge z)\vee (z\wedge x)=(x\vee y)\wedge (y\vee z)\wedge (z\vee x).}$
4. ${\displaystyle x\wedge z=y\wedge z}$そして常に暗示する${\displaystyle x\vee z=y\vee z}$${\displaystyle x=y.}$

すべてのリース空間はリース分解性質を持ちます。

リース空間の順序構造に関して、シーケンスまたはネットの収束を定義する意味のある非同等な方法がいくつかあります。リース空間内のシーケンスは、単調減少 (または増加) シーケンスであり、その最小値(最大値)が に存在し、 (または)と表記される場合、単調収束すると言われます。 ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle x}$${\displaystyle E}$${\displaystyle x_{n}\downarrow x}$${\displaystyle x_{n}\uparrow x}$

リース空間内の数列が収束するとは、次のような単調収束数列が存在する場合を言う。${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \left\{p_{n}\right\}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \left|x_{n}-x\right|<p_{n}\downarrow 0.}$

がリース空間の正の元である場合、任意のに対してが存在するとき、その数列はにu一様収束すると言われる。${\displaystyle u}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle x}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \left|x_{n}-x\right|<ru}$${\displaystyle n>N.}$

これらの空間によって提供される追加の構造は、異なる種類のリース部分空間を提供します。リース空間内の各種類の構造のコレクション（たとえば、すべてのイデアルのコレクション）は、分配格子を形成します。

がベクトル格子であるとき、ベクトル部分格子は、すべての に対して がに属するベクトル部分空間である（この上限は に設定されている）。^[4]の部分空間がその標準順序の下でベクトル格子であるが、のベクトル部分格子ではない 場合がある^[4]${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x,y\in F,}$ ${\displaystyle \sup\{x,y\}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

リース空間のベクトル部分空間は、それが実在であるときイデアルと呼ばれます。つまり、 に対して である場合、 であり、 が成り立つことを意味します。^[4] イデアルの任意の集合の共通部分もイデアルであり、 の空でない部分集合を含む最小のイデアルの定義が可能になり、によって生成されるイデアルと呼ばれます。単独体によって生成されるイデアルは主イデアルと呼ばれます。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle E}$${\displaystyle f\in I}$${\displaystyle g\in E,}$ ${\displaystyle |g|\leq |f|}$${\displaystyle g\in I.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E,}$${\displaystyle A.}$

リース空間のバンドは 、絶対値が実際に-に含まれる内の正の要素の任意の部分集合の最大値である要素に対して、 - という追加の特性を持つイデアルとして定義されます。イデアルは、「任意の部分集合」という語を「可算な部分集合」に置き換えて同様に定義されます。明らかに、すべてのバンドは- イデアルですが、その逆は一般には当てはまりません。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle E}$${\displaystyle f\in E}$${\displaystyle |f|}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$

任意のバンド族の共通部分もまたバンドである。イデアルと同様に、 の空でない部分集合ごとに、その部分集合を含む最小のバンドが存在し、によって生成されるバンドと呼ばれる。 シングルトンによって生成されるバンドは主バンドと呼ばれる。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle E,}$${\displaystyle A.}$

リース空間のバンドは、 のとき射影バンドと呼ばれる。これは、すべての要素が、と の2つの要素の和として一意に表せることを意味する。また、 のとき、の正の線形冪等性、つまり射影 も存在し、${\displaystyle B}$${\displaystyle E=B\oplus B^{\bot },}$${\displaystyle f\in E}$${\displaystyle f=u+v}$${\displaystyle u\in B}$${\displaystyle v\in B^{\bot }.}$${\displaystyle P_{B}:E\to E,}$${\displaystyle P_{B}(f)=u.}$

リース空間内のすべての射影帯の集合はブール代数を形成します。一部の空間には非自明な射影帯がないため (たとえば)、このブール代数は自明である可能性があります。 ${\displaystyle C([0,1])}$

すべての部分集合に上限と下限の両方がある場合、 ベクトル格子は完全です。

ベクトル格子は、上限を持つ各集合に上限があり、下限を持つ各集合に下限がある場合、 デデキント完全です。

順序完備で規則的に並べられたベクトル格子で、その順序双対における正準像が順序完備であるものは極小と呼ばれ、極小型であると言われる。^[4]

サブラティス

が順序付きベクトル空間のベクトル部分空間である場合、の正錐によって誘導される 上の標準順序は、 が適切な場合（つまり の場合）にこの錐が適切である尖った凸錐によって誘導される順序である。^[3]${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C\cap M,}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C\cap (-C)=\varnothing }$

ベクトル格子のサブ格子は、すべての に対してが に属するようなのベクトル部分空間です(重要な点として、この上限は では取られ、 では取られないことに注意)。^[3]が の 場合、形式(ここで)のすべての写像によって定義されるの2 次元ベクトル部分空間は、誘導順序の下ではベクトル格子ですが、のサブ格子ではありません。 ^[5] これは、順序完備なアルキメデスの順序付き位相ベクトル格子であるにもかかわらずです。さらに、この空間のベクトル部分格子が存在し、には空の内部空間がありますが、 には正の線形関数がないため、上の正の線形関数に拡張することはできません^[5]${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x,y\in M,}$ ${\displaystyle \sup _{}{}_{X}(x,y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X=L^{p}([0,1],\mu )}$${\displaystyle 0<p<1,}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t\mapsto at+b}$${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle N\cap C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X.}$

商格子

が正の錐を持つ順序付きベクトル空間のベクトル部分空間であるとします。が正準射影であるとします 。すると、は商空間に正準順序付けを誘導する の錐になります。が の真錐である場合 、は順序付きベクトル空間を にします。 ^[3]が-飽和である 場合、はの正準順序を定義します。 ^[5]は、 が真錐ではない順序付きベクトル空間の例を示している ことに注意してください。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C,}$${\displaystyle \pi :X\to X/M}$${\displaystyle {\hat {C}}:=\pi (C).}$${\displaystyle {\hat {C}}}$${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X/M.}$${\displaystyle {\hat {C}}}$${\displaystyle X/M}$${\displaystyle {\hat {C}}}$${\displaystyle X/M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\hat {C}}}$${\displaystyle X/M.}$${\displaystyle X=\mathbb {R} _{0}^{2}}$${\displaystyle \pi (C)}$

がベクトル格子で がの立体ベクトル部分空間である場合、の標準順序が定義され、その下ではベクトル格子であり、標準写像はベクトル格子準同型である。さらに、が順序完備でが の帯である場合、は^[5]と同型である。 また、 が立体である場合、の順序位相は^[5]上の順序位相の商である。${\displaystyle X}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\hat {C}}}$${\displaystyle X/M}$${\displaystyle L/M}$${\displaystyle \pi :X\to X/M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X/M}$${\displaystyle M^{\bot }.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X/M}$${\displaystyle X.}$

が位相ベクトル格子であり、がの閉じた立体部分格子である場合、も位相ベクトル格子である。^[5]${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X/L}$

製品

が任意の集合である場合、からへのすべての関数の空間は適切な錐によって標準的に順序付けられる^[3]${\displaystyle S}$${\displaystyle X^{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left\{f\in X^{S}:f(s)\in C{\text{ for all }}s\in S\right\}.}$

が順序付きベクトル空間の族であり、 の正の錐がであるとする と、 は の尖った凸錐であり、 上の標準順序を決定する。がすべて真錐であれば は真錐である。^[3]${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$${\displaystyle X_{\alpha }}$${\displaystyle C_{\alpha }.}$${\displaystyle C:=\prod _{\alpha }C_{\alpha }}$${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha },}$${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C_{\alpha }}$

代数的直和

の代数的直和は、 ^[3]から継承された標準的な部分空間順序が与えられた のベクトル部分空間です。 が順序付きベクトル空間の順序付きベクトル部分空間である 場合、 の標準的な代数的同型 (標準的な積の順序を持​​つ) が順序同型 である場合、 はこれらの部分空間の順序付き直和です。 [ 3 ^]${\displaystyle \bigoplus _{\alpha }X_{\alpha }}$${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }.}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$

ベクトル空間内の錐は、がベクトル空間全体に等しいとき、生成的であると言われる。 ^[3]とがそれぞれ正の錐を持つ2つの非自明な順序付きベクトル空間である 場合、が で生成的であることは、集合が の真錐であり、 が から へのすべての線型写像の空間である場合に限る 。この場合、 によって定義される順序は、^[3]の標準順序と呼ばれる。 より一般的には、が真錐である の任意のベクトル部分空間である場合、 によって定義される順序は、^[3]の標準順序と呼ばれる。${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C-C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle W}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q,}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C=\{u\in \operatorname {L} (X;W):u(P)\subseteq Q\}}$${\displaystyle \operatorname {L} (X;W),}$${\displaystyle X}$${\displaystyle W.}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \operatorname {L} (X;W).}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {L} (X;W)}$${\displaystyle C\cap M}$${\displaystyle C\cap M}$${\displaystyle M.}$

2つの順序付きベクトル空間と間の線型写像で、それぞれ正の錐とを持つものは、次式の ように正と呼ばれます。と が順序完備のベクトル格子であり、がから へのすべての正の線型写像の集合である場合、の部分空間はその標準順序の下で順序完備ベクトル格子です。さらに、の順序区間を の順序区間に写す線型写像を正確に含みます^[5]${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle u(C)\subseteq D.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle M:=H-H}$${\displaystyle \operatorname {L} (X;Y)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$

順序付きベクトル空間上の線型関数は、次が成り立つとき正と呼ばれます。 によって表される ベクトル空間上のすべての正線型形式の集合は、の極に等しい円錐です。順序付きベクトル空間の 順序双対は、によって定義されるによって表される集合です。 ただし、集合の等式が成り立たない順序付きベクトル空間も存在します。^[3]${\displaystyle f}$${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle f(x)\geq 0.}$${\displaystyle C^{*},}$${\displaystyle -C.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{+},}$${\displaystyle X^{+}:=C^{*}-C^{*}.}$${\displaystyle X^{+}\subseteq X^{b},}$

とが正の錐を持つ順序付きベクトル格子であり、が写像であるとする。 が線型であり、以下の同値な条件のいずれかが成立する場合、 は順序付きベクトル格子準同型である: ^{[9] [5]}${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$

1. ${\displaystyle u}$格子演算を保存する
2. ${\displaystyle u(\sup\{x,y\})=\sup\{u(x),u(y)\}}$全ての${\displaystyle x,y\in X.}$
3. ${\displaystyle u(\inf\{x,y\})=\inf\{u(x),u(y)\}}$全ての${\displaystyle x,y\in X.}$
4. ${\displaystyle u(|x|)=\sup \left\{u\left(x^{+}\right),u\left(x^{-}\right)\right\}}$全ての${\displaystyle x\in X.}$
5. ${\displaystyle 0=\inf \left\{u\left(x^{+}\right),u\left(x^{-}\right)\right\}}$全ての${\displaystyle x\in X.}$
6. ${\displaystyle u(C)=D}$そして^[5]の固体部分集合である。${\displaystyle u^{-1}(0)}$${\displaystyle X.}$
7. もしそうなら^[1]${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle u(x)\geq 0.}$
8. ${\displaystyle u}$秩序を維持する。^[1]

全単射である順序付きベクトル格子準同型は、順序付きベクトル格子同型です。

2 つのリース空間間の順序付きベクトル格子準同型はベクトル格子準同型と呼ばれ、それが全単射でもある場合はベクトル格子同型と呼ばれます。

が正の円錐を持つベクトル格子上の非ゼロ線形関数である場合、以下は同値です。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$

1. ${\displaystyle u:X\to \mathbb {R} }$は、全射ベクトル格子準同型です。
2. ${\displaystyle 0=\inf \left\{u\left(x^{+}\right),u\left(x^{-}\right)\right\}}$全ての${\displaystyle x\in X.}$
3. ${\displaystyle u\geq 0}$そして、それは${\displaystyle u^{-1}(0)}$${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle u'}$円錐の極端光線を生成する${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X^{*}.}$

円錐の極限光線とは、がゼロでない集合であり、が成り立つとき、あるあるに対して成り立つものである。^[9]${\displaystyle C}$${\displaystyle \{rx:r\geq 0\}}$${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle y\in C}$${\displaystyle x-y\in C}$${\displaystyle y=sx}$${\displaystyle s}$${\displaystyle 0\leq s\leq 1.}$

からへのベクトル格子準同型は、およびにそれぞれの順序位相が与えられているとき、位相準同型である。^[5]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

リース空間が持つ射影特性は数多くあります。リース空間は、すべての（主）バンドが射影バンドである場合に、（主）射影特性を持つと言われます。

いわゆる主包含定理は、以下の追加特性を（主）射影特性に関連付けます。^[10]リース空間は...

• 上界のあるすべての空でない集合に上限がある場合、デデキント完全 (DC) である。
• 上界を持つすべての空でない集合に、同一の上限を持つ可算な部分集合がある場合、超デデキント完全 (SDC) となります。
• デデキント完全とは、上界のあるすべての可算な空でない集合に上限があるということである。${\displaystyle \sigma }$
• および のすべての正の要素のペアに対して、すべての整数 に対して不等式が成り立つ場合は、アルキメデスの性質が成り立ちます。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle nx\leq y}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x=0}$

これらの特性は次のように関連しています。SDC は DC を意味します。DC はデデキント完全性と射影特性の両方を意味します。デデキント完全性と射影特性の両方が別々に主射影特性を意味します。主射影特性はアルキメデス特性を意味します。 ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$

逆の含意はいずれも成り立ちませんが、デデキント完全性と射影特性を組み合わせると DC が意味されます。 ${\displaystyle \sigma }$

• によって定義される点ごとの半順序を持つ位相空間上のコンパクトな台を持つ連続実数値関数の空間で、すべてに対してがリース空間であるもの。これはアルキメデス的であるが、通常、さらなる条件を満たさない限り（たとえば、極端に不連続であるなど） 、主射影特性を持たない。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\leq g}$${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle X}$
• （ほぼどこでも）点ごとの半順序を持つ任意の空間は、デデキント完全なリース空間です。${\displaystyle L^{p}}$
• 辞書式順序を持つ空間は非アルキメデスのリース空間です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

• リース空間は格子順序群である
• あらゆるリース空間は分配格子である

• 凸錐 – 正の線形結合に対して閉じた数学的集合
• 最小値と最大値 – 最大の下限と最小の上限
• 順序付きベクトル空間 – 半順序を持つベクトル空間
• 半順序空間 – 半順序位相空間