順序拘束双対

数学、特に順序理論と関数解析において、順序ベクトル空間の順序上界のある双対は、形式の集合である順序区間を有界集合に写像するその上のすべての線型関数の集合である。 ^[1]の 順序上界のある双対はと表記される。この空間は順序位相ベクトル空間 の理論において重要な役割を果たす。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [a,b]:=\{x\in X:a\leq x{\text{ かつ }}x\leq b\},}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\operatorname {b} }.}$

の順序が制限された双対の元は、次を意味する場合、正と呼ばれます。順序が制限された双対の正の元は、と呼ばれる 順序を誘導する円錐を形成します。${\displaystyle g}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle \operatorname {Re} (f(x))\geq 0.}$${\displaystyle X^{\operatorname {b} }}$正準順序付け。 が順序付きベクトル空間で、その正錐が生成する（つまり）場合、正準順序付けを持つ順序が制限された双対は順序付きベクトル空間である。^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X=CC}$

順序付きベクトル空間の順序が制限された双対には、その順序付き双対が含まれます。^[1]順序付きベクトル空間 の正の錐が生成的であり、すべての正の錐に対して である場合、順序付き双対は順序が制限された双対に等しく、その標準順序付けの下で順序完備なベクトル格子になります。^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [0,x]+[0,y]=[0,x+y],}$

がベクトル格子で、が上の順序有界線型形式であるとすると、すべての^[1] に対して${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle x\in X,}$

1. ${\displaystyle \sup(f,g)(|x|)=\sup\{f(y)+g(z):y\geq 0,z\geq 0,{\text{ および }}y+z =|x|\}}$
2. ${\displaystyle \inf(f,g)(|x|)=\inf\{f(y)+g(z):y\geq 0,z\geq 0,{\text{ および }}y+z =|x|\}}$
3. ${\displaystyle |f|(|x|)=\sup\{f(yz):y\geq 0,z\geq 0,{\text{ および }}y+z=|x|\}}$
4. ${\displaystyle |f(x)|\leq |f|(|x|)}$
5. およびが格子分離している場合、および が実数の場合、それぞれに対して分解が存在する。${\displaystyle f\geq 0}$${\displaystyle g\geq 0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle r>0,}$${\displaystyle x=a+b}$${\displaystyle a\geq 0,b\geq 0,{\text{ および }}f(a)+g(b)\leq r.}$

• 代数的双対空間 – 数学において、線型形式のベクトル空間リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 連続双対空間 – 数学では、線型形式のベクトル空間リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 双対空間 – 数学では、線型形式のベクトル空間
• 順序双対（関数解析）

• ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.