順序位相（関数解析）

数学、特に順序論と関数解析において、順序ベクトル空間の順序位相とは、あらゆる順序区間が有界となる最も細かい局所凸位相ベクトル空間（TVS）位相であり、の順序区間は、およびがに属する形式の集合である^[1]。 ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [a,b]:=\left\{z\in X:a\leq z{\text{ かつ }}z\leq b\right\}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle X.}$

順序位相は、順序位相ベクトル空間の理論で頻繁に使用される重要な位相です。これは、位相が の代数的および順序理論的性質から直接派生するものであり、 が持つ何らかの位相から始まるものではないためです。これにより、この位相と の代数的および順序理論的性質との間に密接な関係を確立することができます。解析で出現する 多くの順序位相ベクトル空間では、その位相は順序位相と同一です。^[2]${\displaystyle (X,\leq ),}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\leq ).}$

上のすべての局所凸位相のうち、すべての位数区間が有界となる位相族は空ではない（ 上の可能な限り粗い位相を含むため）。また、位数位相はこの族の上限である。^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

の部分集合が順序位相における原点の近傍となるのは、それが凸集合であり、 [ ^1]のあらゆる順序区間を吸収する場合 に限る。順序位相における原点の近傍は、必ず吸収集合となる。なぜなら、すべての^{[1]に対して、}${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle [x,x]:=\{x\}}$${\displaystyle x\in X.}$

任意の と に対して、その順序位相（これにより はノルム可能空間になる）を付与する。 のすべての の集合は包含に関して有向であり、 の場合、の自然な包含は連続である。 が実数上の規則的に順序付けられたベクトル空間であり、が の共終的である の正の錐の任意の部分集合（たとえば）の場合、の順序位相により は の帰納的極限である（ここで結合写像は自然な包含である）。^[3]${\displaystyle a\geq 0,}$${\displaystyle X_{a}=\bigcup _{n=1}^{\infty }n[-a,a]}$${\displaystyle X_{a}}$${\displaystyle X_{a}}$${\displaystyle X_{a}\subseteq X_{b}}$${\displaystyle X_{a}}$${\displaystyle X_{b}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle H}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left\{X_{a}:a\geq 0\right\}}$

格子構造は、順序単位の不足を部分的に補うことができます。

特に、が実数上の順序付きフレシェ格子である場合、が上の順序付き位相であることは、の正錐が^[3]の正規錐であることと同値である。${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\tau ).}$

が規則的に順序付けられたベクトル格子である場合、順序付けられた位相は、局所凸ベクトル格子を作成する上で最も細かい局所凸 TVS 位相です。さらに が順序完備である場合、順序付けられた位相は樽型空間であり、 のすべてのバンド分解はこの位相の位相的直和です。^[3] 特に、ベクトル格子の順序が規則的である場合、順序付けられた位相は^[3]上のすべての格子半ノルムの族によって生成されます。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

全体を通して、は順序付きベクトル空間となり、上の順序位相を表す。${\displaystyle (X,\leq )}$${\displaystyle \tau _{\leq }}$${\displaystyle X.}$

• の双対は^[3]の順序制限双対である。${\displaystyle \left(X,\tau _{\leq }\right)}$ ${\displaystyle X_{b}}$${\displaystyle X.}$
• が点を分離する場合（例えば、が正則である場合）、は局所凸TVSである。^[3]${\displaystyle X_{b}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\leq )}$${\displaystyle \left(X,\tau _{\leq }\right)}$
• 2つの順序付きベクトル空間間の各正線型演算子は、それぞれの順序位相に対して連続である。^[3]
• 順序付きTVSの各順序単位は、順序位相の正の円錐の内部にある。^[3]
• 順序付きベクトル空間の順序が正則順序であり、の型の各正の列が順序加算可能であれば、その順序位相は樽型空間に備わっている。^[3]${\displaystyle X}$${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• 順序付きベクトル空間の順序が正則順序であり、すべてのおよびに対して が成り立つ場合、 が順序位相を備えているとき、 の正錐は の正規錐になります。[ 3 ]特に、^の順序位相を備えた の連続双対空間は、順序双対⁺になります。${\displaystyle X}$${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle y\geq 0}$ ${\displaystyle [0,x]+[0,y]=[0,x+y]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• が実数上のアルキメデス順序ベクトル空間で、順序単位を持ち、が上の順序位相を表すとすると、は がノルム可能である順序TVSであり、は 上の最も細かい局所凸TVS位相で、正錐が正規であり、以下は同値である: ^[3]${\displaystyle (X,\leq )}$${\displaystyle \tau _{\leq }}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \left(X,\tau _{\leq }\right)}$${\displaystyle \tau _{\leq }}$${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle \left(X,\tau _{\leq }\right)}$完了です。
2. の各正のシーケンスは、${\displaystyle \ell ^{1}}$順序を加算できます。${\displaystyle X}$

• 特に、がアルキメデス順序ベクトル空間で、順序単位を持つ場合、順序は正則順序であり、^[3]${\displaystyle (X,\leq )}$${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle X_{b}=X^{+}.}$
• がバナッハ空間であり、かつ順序単位を持つ順序ベクトル空間である場合、の位相が順序位相と同一であることと、の正錐が^[3]の正規錐であることは同値である。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
• からへのベクトル格子準同型は、およびにそれぞれの順序位相が与えられているとき、位相準同型である。 ^[4]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

がベクトル格子の立体ベクトル部分空間である場合、の順序位相は^[4]上の順序位相の商である。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$${\displaystyle X/M}$${\displaystyle X.}$

順序付きベクトル空間の有限積の順序位相（この積は標準順序を持つ）は、構成する順序付きベクトル空間の位相積の積位相（それぞれに順序位相が与えられている場合）と同一である。^[3]

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• ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.