注文単位

順序単位は、上からすべての要素を境界付けするために使用できる順序付きベクトル空間の要素です。 ^[1]このように（以下の最初の例に示すように）、順序単位は実数の単位要素を一般化します。

HHシェーファーによれば、「解析に現れる順序付きベクトル空間のほとんどは順序単位を持たない」^{[2] 。}

ベクトル空間の順序付け錐に対して、任意の に対してとなるような が存在するとき、元は順序単位（より正確には -順序単位）である（つまり、）。^[3]${\displaystyle K\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle e\in K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \lambda_{x}>0}$${\displaystyle \lambda _{x}ex\in K}$${\displaystyle x\leq _{K}\lambda _{x}e}$

順序錐の順序単位は、代数的内部の要素であり、^{[3]で与えられる。}${\displaystyle K\subseteq X}$${\displaystyle K;}$${\displaystyle \operatorname {core} (K).}$

を実数とすると、単位元は順序単位になります。 ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle K=\mathbb {R} _{+}=\{x\in \mathbb {R} :x\geq 0\},}$${\displaystyle 1}$

とすると、単位要素は順序単位になります。 ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle K=\mathbb {R} _{+}^{n}=\left\{x_{i}\in \mathbb {R} :{\text{ すべての }}i=1,\ldots ,n:x_{i}\geq 0\right\},}$${\displaystyle {\vec {1}}=(1,\ldots ,1)}$

順序付けられた位相ベクトル空間の正の円錐の各内点は順序単位である。^[2]

順序付きTVSの各順序単位は、順序位相の正の円錐の内部にある。^[2]

が実数上の順序付きベクトル空間で順序が1である場合、写像は部分線型関数である。^[4]${\displaystyle (X,\leq )}$${\displaystyle u,}$${\displaystyle p(x):=\inf\{t\in \mathbb {R} :x\leq tu\}}$

がアルキメデスの位数を持つ実数上の順序付きベクトル空間であるとし、によって定義される ミンコフスキー関数は、と呼ばれるノルムである。${\displaystyle (X,\leq )}$${\displaystyle u}$${\displaystyle U=[-u,u].}$ ${\displaystyle p_{U}}$${\displaystyle U,}$${\displaystyle p_{U}(x):=\inf\{r>0:x\in r[-u,u]\},}$順序単位ノルムを満たす。そして、によって決定される閉単位球はつまり、^[4]${\displaystyle p_{U}(u)=1}$${\displaystyle p_{U}}$${\displaystyle [-u,u];}$${\displaystyle [-u,u]=\left\{x\in X:p_{U}(x)\leq 1\right\}.}$

• ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.