メジャー化

数学において、majorization は実数のベクトルの順序付けです。このような 2 つのベクトル に対して、がより下から弱くmajorization (または優位)すると言います。これは通常、次のように 表されます。${\displaystyle \mathbf {x} ,\ \mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} \succ _{w}\mathbf {y} ,}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}x_{i}^{\downarrow }\geq \sum _{i=1}^{k}y_{i}^{\downarrow }}$すべて、${\displaystyle k=1,\,\dots ,\,n}$

ここで、 はの番目の最大要素^を表します。さらに が成り立つ場合、が を主要化（または支配）すると言います。これは一般に と表記されます。主要化は、要素が非減少であるベクトルに対しては半順序ですが、一般的なベクトルに対しては前順序にすぎません。これは、主要化がベクトル内の要素の順序付けに依存しないためです。たとえば、 というステートメントは、と単純に同等です。 ${\displaystyle x_{i}^{\downarrow}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} }$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {x} \succ \mathbf {y} }$${\displaystyle (1,2)\prec (0,3)}$${\displaystyle (2,1)\prec (3,0)}$

また、majorizingは、エントリごとの順序付けを指すこともあります。例えば、実数値関数fは、ドメイン内のすべての場合に実数値関数gをmajorizesし​​ます。また、確率論におけるmajorizing measureなどの他の技術的な定義もあります。^[1]${\displaystyle f(x)\geq g(x)}$${\displaystyle x}$

に対して、が の座標を置換することによって得られるすべてのベクトルの凸包に含まれる場合のみ、が成り立ちます。これは、ある二重確率行列に対してとなることと同等です。^{[2] : 理論 2.1}特に、は の置換の凸結合として表すことができます。^[3]${\displaystyle \mathbf {x} ,\ \mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \mathbf {x} \prec \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {D} \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {y} }$

図 1 は、ベクトル の 2D の凸包を示しています。凸包の中心 (この場合は区間) はベクトル であることに注意してください。これは、この与えられたベクトル を満たす「最小の」ベクトルです 。図 2 は、3D の凸包を示しています。凸包の中心 (この場合は 2D ポリゴン) は、この与えられたベクトル を満たす 「最小の」ベクトルです。 ${\displaystyle \mathbf {y} =(3,\,1)}$${\displaystyle \mathbf {x} =(2,\,2)}$${\displaystyle \mathbf {x} \prec \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} \prec \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$

次の各文は、 の場合に限り真となります。 ${\displaystyle \mathbf {x} \succ \mathbf {y} }$

• から、 2つの要素とをそれぞれ、およびに置き換える「ロビンフッド演算」の有限シーケンスによって、を生成することができます。^{[2] : 11}${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle x_{i}-\varepsilon }$${\displaystyle x_{j}+\varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon \in (0,x_{i}-x_{j})}$
• 任意の凸関数に対して、. ^{[2] : Thm. 2.9}${\displaystyle h:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}h(x_{i})\geq \sum _{i=1}^{d}h(y_{i})}$
  • 実際、特別なケースで十分です。そして、すべてのtに対して、です。^[4]${\displaystyle \sum _{i}{x_{i}}=\sum _{i}{y_{i}}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}\max(0,x_{i}-t)\geq \sum _{i=1}^{d}\max(0,y_{i}-t)}$
• あらゆる に対して、。^{[5] ：演習12.17}${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \sum _{j=1}^{d}|x_{j}-t|\geq \sum _{j=1}^{d}|y_{j}-t|}$

3 つの要素を持つ非負ベクトルのうち、 、、およびその順列は、となる他のすべてのベクトルを主要化します。たとえば、です。同様に、 は、となる他のすべてのベクトルによって主要化されるため、 となります。 ${\displaystyle (1,0,0)}$${\displaystyle (p_{1},p_{2},p_{3})}$${\displaystyle p_{1}+p_{2}+p_{3}=1}$${\displaystyle (1,0,0)\succ (1/2,0,1/2)}$${\displaystyle (1/3,1/3,1/3)}$${\displaystyle (1/2,0,1/2)\succ (1/3,1/3,1/3)}$

この動作は、一般的な長さの確率ベクトルにも拡張されます。つまり、シングルトン ベクトルは他のすべての確率ベクトルを主要化します。また、均一分布はすべての確率ベクトルを主要化します。

関数がを意味するとき、その関数はシューア凸関数であると言われる。したがって、シューア凸関数はベクトルの順序を における標準的な順序に変換する。同様に、を意味するとき、関数はシューア凹関数である。${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbf {x} \succ \mathbf {y} }$${\displaystyle f(\mathbf {x} )\geq f(\mathbf {y} )}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathbf {x} \succ \mathbf {y} }$${\displaystyle f(\mathbf {x} )\leq f(\mathbf {y} ).}$

シュアー凸関数の例としては、max 関数が挙げられます。シュアー凸関数は、関数の値を変更せずに引数のエントリを切り替えることができる対称関数です。したがって、凸関数である線形関数は、対称関数でない限りシュアー凸関数ではありません。関数が対称かつ凸関数である場合、それはシュアー凸関数です。 ${\displaystyle \max(\mathbf {x} )=x_{1}^{\downarrow }}$

マジョライゼーションは、分布関数の部分順序であるローレンツ順序に一般化できます。たとえば、ある富の分布が他の富の分布よりもローレンツ曲線が大きい場合、そのローレンツ曲線は他の富の分布よりもローレンツ曲線が大きいと言えます。そのため、ローレンツ曲線が大きい富の分布はジニ係数が高く、所得格差が大きくなります。 [ ^6]

量子情報の文脈では、マジョライゼーション順序は密度行列に自然に拡張できる。^{[5] [7]}特に、（ここでは状態のスペクトルを表す）のとき、正確にはそうなる。 ${\displaystyle \rho \succ \rho '}$${\displaystyle \mathrm {spec} [\rho ]\succ \mathrm {spec} [\rho ']}$${\displaystyle \mathrm {spec} }$

同様に、の固有値の集合が の固有値の集合を主要化する場合、エルミート演算子 が別の を主要化していると言えます。 ${\displaystyle \mathbf {H} }$${\displaystyle \mathbf {M} }$${\displaystyle \mathbf {H} }$${\displaystyle \mathbf {M} }$

• ミュアヘッドの不等式
• カラマタの不等式
• シューア凸関数
• 行列の対角要素とその固有値を関連付けるシューア・ホーンの定理。
• 正の整数の場合、弱い多数決は優位順序と呼ばれます。
• レキシミン注文

• J.カラマタ。 「Sur une inegalite 相対的な aux fonctions convexes」出版物。数学。大学ベオグラード 1、145 ～ 158、1932 年。
• GH Hardy、JE Littlewood、G. Pólya、「不等式」、第2版、1952年、ケンブリッジ大学出版局、ロンドン。
• 不等式：マジョライゼーションの理論とその応用Albert W. Marshall、Ingram Olkin 、Barry Arnold、第 2版。Springer Series in Statistics。Springer、ニューヨーク、2011 年。ISBN 978-0-387-40087-7 
• マーシャルとオルキンの著書「不等式：多数決の理論とその応用」へのオマージュ
• マトリックス分析(1996) ラジェンドラ・バティア、シュプリンガー、ISBN 978-0-387-94846-1 
• マトリックス分析のトピック(1994) ロジャー A. ホーンとチャールズ R. ジョンソン、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-46713-1 
• 無線通信におけるメジャー化と行列単調関数(2007) Eduard Jorswieck および Holger Boche、Now Publishers、ISBN 978-1-60198-040-3 
• コーシー・シュワルツ・マスタークラス（2004年）J.マイケル・スティール、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-54677-5 

• MathWorldの専攻
• PlanetMathの専攻

• メジャー化をチェックするOCTAVE / MATLABコード