半順序位相空間
数学において、 半順序空間 [1] （または ポスペース ）は、 閉じた 半順序 、つまりグラフがの閉じた部分集合となる 半順序を備えた 位相空間 である。
バツ
{\displaystyle X}
≤
{\displaystyle \leq}
{ （ x 、 ええ ） ∈
バツ
2
∣ x ≤ ええ }
{\displaystyle \{(x,y)\in X^{2}\mid x\leq y\}}
バツ
2
{\displaystyle X^{2}}
ポスペースから、ディマップ 、つまり 順序関係を保存するポスペース間の
連続マップ を定義できます。
同値性 半順序を備えた 位相空間の場合 、以下は同値です。
バツ
{\displaystyle X}
≤
{\displaystyle \leq}
バツ
{\displaystyle X}
は部分的に順序付けられた空間です。 となる すべての に対して、 となる開集合が存在し 、 と なるすべての に対して 開集合が存在する 。
x 、 ええ ∈ バツ
{\displaystyle x,y\in X}
x ≰ ええ
{\displaystyle x\not \leq y}
あなた 、 五 ⊂ バツ
{\displaystyle U,V\subset X}
x ∈ あなた 、 ええ ∈ 五
{\displaystyle x\in U,y\in V}
あなた ≰ ヴ
{\displaystyle u\not \leq v}
あなた ∈ あなた 、 ヴ ∈ 五
{\displaystyle u\in U,v\in V}
を満たすすべての に対して、 が 上集合 で あり が 下集合である ような および の 互いに素な近傍が存在する。
x 、 ええ ∈ バツ
{\displaystyle x,y\in X}
x ≰ ええ
{\displaystyle x\not \leq y}
あなた
{\displaystyle U}
x
{\displaystyle x}
五
{\displaystyle V}
ええ
{\displaystyle y}
あなた
{\displaystyle U}
五
{\displaystyle V}
全順序 は部分順序でもある
ため、 順序 トポロジーは この定義の特殊なケースです。
プロパティ すべての位置空間はハウスドルフ空間 です 。等式を半順序としてとると 、この定義はハウスドルフ空間の定義になります。
=
{\displaystyle =}
グラフは閉じているので、 と がそれぞれ x と y に収束する ネット であり 、 すべての に対してとなる場合 、 となります 。
（
x
α
）
α ∈ あ
{\displaystyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}
（
ええ
α
）
α ∈ あ
{\displaystyle \left(y_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}
x
α
≤
ええ
α
{\displaystyle x_{\alpha}\leq y_{\alpha}}
α
{\displaystyle \alpha}
x ≤ ええ
{\displaystyle x\leq y}
参照
参考文献
^ Gierz, G.; Hofmann, KH; Keimel, K.; Lawson, JD; Mislove, M.; Scott, DS (2009). 連続格子とドメイン . doi :10.1017/CBO9780511542725. ISBN 9780521803380 。
ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。 位相ベクトル空間 。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス 。ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834. Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135.
外部リンク
