ほぼどこでも

測度論（数学解析の一分野）において、ある性質がほぼ至るところで成り立つとは、技術的な意味で、その性質が成り立つ集合がほぼすべての可能性を包含していることを意味する。「ほぼ至るところで」という概念は、測度ゼロの概念と関連があり、確率論における「ほぼ確実に」という概念に類似している。

より具体的には、ある性質がほぼ至るところで成り立つとは、その性質が、測度ゼロの部分集合を除く集合のすべての要素に対して成り立つ場合である^{[ 1 ] [ 2 ]} 。あるいは、同等に、その性質が成り立つ要素の集合がconullである場合である。測度が完全でない場合は、集合が測度ゼロの集合内に含まれるだけで十分である。実数の集合について議論する場合、特に断りのない限り、通常はルベーグ測度が仮定される。

この用語は、ほとんどどこでもaeと略されます。^{[ 3 ]}古い文献では、フランス語のpresque partoutに相当するpp が使用されています。^{[ 4 ]}

測度が完全な集合とは、その補集合の測度がゼロである集合のことである。確率論において、 「ほぼ確実に」「ほぼ確実」 「ほぼ常に」という用語は、必ずしもすべての結果を含むとは限らない、確率が1である事象を指す。これらはまさに、確率空間における測度が完全な集合である。

時折、ある性質がほぼあらゆる場所で成り立つと言う代わりに、その性質がほぼすべての要素に対して成り立つと言うことがある（ただし、「ほぼすべて」という用語には他の意味もある）。

もし${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$は測度空間であり、特性である。${\displaystyle P}$ほぼすべての場所で保持されていると言われている${\displaystyle X}$可測集合が存在する場合${\displaystyle N\in \Sigma }$と${\displaystyle \mu (N)=0}$、そしてすべて${\displaystyle x\in X\setminus N}$財産を所有する${\displaystyle P}$[ ^{5 ]} 同じことを表現するもう 1 つの一般的な方法は、「ほとんどすべての点^が${\displaystyle P\,}$「」または「ほぼすべての${\displaystyle x}$、${\displaystyle P(x)}$保持する」。

セットは必須ではありません${\displaystyle \{x\in X:\neg P(x)\}}$尺度はゼロであり、測定できない可能性がある。上記の定義によれば、 ${\displaystyle \{x\in X:\neg P(x)\}}$ある集合に含まれる${\displaystyle N}$それは測定可能であり、測度はゼロである。しかし、完全測度空間を考えると、この技術的な問題は消滅する。${\displaystyle X}$完了したら${\displaystyle N}$尺度ゼロで存在するのは、${\displaystyle \{x\in X:\neg P(x)\}}$ゼロという尺度で測定可能である。

• もし不動産が${\displaystyle P}$ほぼあらゆる場所で有効であり、所有権を意味する${\displaystyle Q}$不動産${\displaystyle Q}$これはほぼあらゆる場面で成り立つ。これは尺度の単調性から導かれる。
• もし${\displaystyle (P_{n})}$は、それぞれがほぼどこでも成り立つ有限または可算な性質の列であり、それらの結合は$\displaystyle \forall nP_{n}}$これはほぼあらゆる場所で成り立つ。これは測度の可算劣加法性から導かれる。
• 対照的に、もし${\displaystyle (P_{x})_{x\in \mathbf {R} }}$は数えきれない性質の族であり、それぞれがほぼどこでも成り立つならば、それらの結合は$\displaystyle \forall xP_{x}}$ほぼあらゆる場所で必ずしも成り立つとは限りません。たとえば、${\displaystyle \mu }$ルベーグ測度は${\displaystyle X=\mathbf {R} }$そして${\displaystyle P_{x}}$等しくない性質${\displaystyle x}$（つまり）${\displaystyle P_{x}(y)}$は、以下の場合に限り真である。${\displaystyle y\neq x}$)、次にそれぞれ${\displaystyle P_{x}}$ほぼどこでも当てはまるが、接続詞${\displaystyle \forall xP_{x}}$どこにも当てはまらない。

最初の2つの性質の結果として、測度空間の「ほぼすべての点」を、抽象概念ではなく通常の点であるかのように推論することがしばしば可能になります。これは、非公式な数学的議論において暗黙のうちに行われることが多いです。しかし、上記の3つ目の箇条書きにあるように、この推論方法には注意が必要です。すなわち、非可算な命題の族に対する全称量化は、通常の点に対しては有効ですが、「ほぼすべての点」に対しては有効ではないからです。

• f : R → Rがルベーグ積分可能な関数であり、 ${\displaystyle f(x)\geq 0}$ほぼどこでも、それから$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0}$$すべての実数に対して${\displaystyle a<b}$等号は、${\displaystyle f(x)=0}$ほぼどこでも。
• f  : [ a , b ] → Rが単調関数である場合、fはほとんど至るところで微分可能です。
• f : R → Rがルベーグ可測で、 $${\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx<\infty }$$すべての実数に対して${\displaystyle a<b}$すると、 fに依存する集合Eが存在し、 x がEに含まれる場合、ルベーグ平均は$${\displaystyle {\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{x-\varepsilon }^{x+\varepsilon }f(t)\,dt}$$f ( x )に収束する${\displaystyle \epsilon }$ゼロに収束する。集合Eはfのルベーグ集合と呼ばれる。その補集合の測度はゼロであることが証明できる。言い換えれば、fのルベーグ平均はほとんど至るところでfに収束する。
• 有界関数f  : [ a , b ] → Rは、ほとんど至るところで連続である場合に限り、リーマン積分可能である。
• 興味深いことに、区間[0, 1]内のほぼすべての実数の10進展開には、 ASCIIでエンコードされたシェイクスピアの戯曲の全文が含まれています。他のすべての有限桁数についても同様です。 「正規数」を参照してください。

実解析の文脈以外では、ほとんど至るところで真である性質の概念は、超フィルターを用いて定義されることがある。集合X上の超フィルターとは、次の条件を満たすXの部分集合の最大の集合F のことである。

1. U ∈ FかつU ⊆ VならばV ∈ F​
2. F内の任意の 2 つの集合の共通部分はF内にあります
3. 空集合はFに含まれません

X内の点の性質Pは、超フィルターFに関して、 Pが成り立つ点の集合がF内に含まれる場合、ほぼすべての場所で成り立つ。

例えば、超実数体系の構成の一つでは、超実数を、超フィルターによって定義されるほとんど至るところで等しい数列の同値類として定義する。

超フィルターによる「ほぼ至る所」の定義は、測度による定義と密接に関連している。なぜなら、各超フィルターは、0と1の値のみをとる有限加法測度を定義し、集合が測度1を持つのは、それが超フィルターに含まれる場合に限るからである。

この「ほとんど至る所で」という概念を用いると、ウォシュの定理は、一階述語論理式が超積において真であるのは、それがほとんどすべての因子において真である場合に限る、と理解できる。

• ディリクレ関数とは、ほとんど至るところで0に等しい関数である。
• カントール関数

• ビリングスリー、パトリック（1995）。確率と測度（第3 版）。ニューヨーク：ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN 0-471-00710-2。