正常錐体（機能解析）

数学、特に順序論と関数解析において、 が位相ベクトル空間の原点における円錐で、が原点における近傍フィルタである場合、 が である場合に正規と呼ばれる。であり、 である。任意の部分集合について は^[1]の飽和である。${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle 0\in C}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\mathcal {U}}=\left[{\mathcal {U}}\right]_{C},}$${\displaystyle \left[{\mathcal {U}}\right]_{C}:=\left\{[U]_{C}:U\in {\mathcal {U}}\right\}}$${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle [S]_{C}:=(S+C)\cap (SC)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle S.}$

正規錐は、順序付き位相ベクトル空間と位相ベクトル格子の理論において重要な役割を果たします。

がTVS内の円錐である場合、任意の部分集合に対しては の飽和包となり、の部分集合の任意の集合に対してがTVS内の円錐である 場合、は である場合に正規となり、 は原点における近傍フィルタとなる。^[1]${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle [S]_{C}:=\left(S+C\right)\cap \left(SC\right)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left[{\mathcal {S}}\right]_{C}:=\left\{\left[S\right]_{C}:S\in {\mathcal {S}}\right\}.}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\mathcal {U}}=\left[{\mathcal {U}}\right]_{C},}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

が の部分集合の集合であり、が の部分集合である場合、は の基本部分族であり、任意の が の何らかの要素の部分集合として含まれる場合である。 がTVS の部分集合族である場合、 の錐は-錐と呼ばれ、 がの基本部分族であり、が の基本部分族である場合、は-錐である。 ^[1]のすべての有界部分集合の族を で表すと しよう。${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle T\in {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \left\{{\overline {\left[G\right]_{C}}}:G\in {\mathcal {G}}\right\}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \left\{\left[G\right]_{C}:G\in {\mathcal {G}}\right\}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X.}$

がTVS （実数または複素数上）の円錐である場合、以下は同値である： ^[1]${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle C}$通常の円錐です。
2. if thenのすべてのフィルタについて${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \lim {\mathcal {F}}=0}$${\displaystyle \lim \left[{\mathcal {F}}\right]_{C}=0.}$
3. 近傍基数が存在するので、${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B\in {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \left[B\cap C\right]_{C}\subseteq B.}$

そしてが実数上のベクトル空間であれば、このリストに以下を追加できる: ^[1]${\displaystyle X}$

4. 原点には、凸、バランス、飽和の集合からなる近傍基底が存在します。${\displaystyle C}$
5. 上の半ノルムの生成族が存在し、すべてのおよびに対して${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p(x)\leq p(x+y)}$${\displaystyle x,y\in C}$${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}.}$

が局所凸空間であり、の双対錐がで表された場合、このリストに以下を追加することができる: ^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X^{\prime }}$

6. 任意の等連続部分集合に対して、${\displaystyle S\subseteq X^{\prime },}$${\displaystyle B\subseteq C^{\prime }}$${\displaystyle S\subseteq B-B.}$
7. の位相は、の等連続部分集合上の一様収束の位相である。${\displaystyle X}$${\displaystyle C^{\prime }.}$

そして、が下バレル局所凸空間であり、が のすべての強有界部分集合の族である場合、このリストに以下を追加することができます: ^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$

8. の位相は、の強く有界な部分集合上の一様収束の位相である。${\displaystyle X}$${\displaystyle C^{\prime }.}$
9. ${\displaystyle C^{\prime }}$は-円錐である${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }.}$
   • これは、この科が${\displaystyle \left\{{\overline {\left[B^{\prime }\right]_{C}}}:B^{\prime }\in {\mathcal {B}}^{\prime }\right\}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\prime }.}$
10. ${\displaystyle C^{\prime }}$は、${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }.}$
    • これは、この科が${\displaystyle \left\{\left[B^{\prime }\right]_{C}:B^{\prime }\in {\mathcal {B}}^{\prime }\right\}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\prime }.}$

そして、が実数上の順序付き局所凸 TVS で、その正の錐がである場合、このリストに以下を追加できます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle C,}$

11. 局所コンパクトハウスドルフ位相空間が存在し、 がの部分空間と同型（順序付きTVSとして）であり、 がコンパクト収束の位相の下で 上のすべての実数値連続関数の空間である。 ^[2]${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R(S),}$${\displaystyle R(S)}$${\displaystyle X}$

が局所凸TVSであり、が双対錐を持つ円錐であり、がの弱有界部分集合の飽和族である場合、 ^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{\prime }\subseteq X^{\prime },}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle X^{\prime },}$

1. が -円錐である場合、 は上の -位相に対する正規円錐です。${\displaystyle C^{\prime }}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle X}$
2. が上の-位相に対する正規錐である場合、は の厳密な-錐である。${\displaystyle C}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$${\displaystyle C^{\prime }}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle X^{\prime }.}$

がバナッハ空間、が 内の閉錐、 がのすべての有界部分集合の族である場合、 が厳密な -錐である場合に限り、双対錐が内で正規である。^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\prime }}$${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle C^{\prime }}$${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

がバナッハ空間であり、が の円錐である場合、以下は同値である: ^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle C}$は内の -円錐である。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle X={\overline {C}}-{\overline {C}}}$;
3. ${\displaystyle {\overline {C}}}$は、${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X.}$

が順序付き位相ベクトル空間であるとする。つまり、は位相ベクトル空間であり、 が円錐 内にあるときは常にを定義する。次の文は同値である: ^[3]${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x\geq y}$${\displaystyle x-y}$${\displaystyle L_{+}}$

1. 円錐は正常です。${\displaystyle L_{+}}$
2. ノルム空間は同等の単調ノルムを許容します。${\displaystyle L}$
3. となる定数が存在する。${\displaystyle c>0}$${\displaystyle a\leq x\leq b}$${\displaystyle \lVert x\rVert \leq c\max\{\lVert a\rVert ,\lVert b\rVert \}}$
4. の閉じた単位球の完全な包はノルムで制限されます。${\displaystyle [U]=(U+L_{+})\cap (U-L_{+})}$${\displaystyle U}$${\displaystyle L}$
5. となる定数が存在する。${\displaystyle c>0}$${\displaystyle 0\leq x\leq y}$${\displaystyle \lVert x\rVert \leq c\lVert y\rVert }$

• がハウスドルフTVSである場合、 内のすべての正規円錐は真円錐である。^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• が正規空間であり、が正規錐である場合、^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }=C^{\prime }-C^{\prime }.}$
• 順序付けられた局所凸TVSの正錐が で弱正規であり、 が正錐を持つ順序付けられた局所凸TVSであるとする。 の場合、 は で稠密であり、 はの標準正錐であり、 は単純収束の位相を持つ空間である。 ^[4]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle D.}$${\displaystyle Y=D-D}$${\displaystyle H-H}$${\displaystyle L_{s}(X;Y)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle L(X;Y)}$${\displaystyle L_{s}(X;Y)}$${\displaystyle L(X;Y)}$
  • が の有界部分集合族である場合、の有界部分集合族の最も一般的なタイプに対してさえ、 がの -錐であることを保証する単純な条件は明らかに存在しない（非常に特殊な場合を除く）。^[4]${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y),}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$

上の位相が局所的に凸である場合、正規円錐の閉包は正規円錐である。^[1]${\displaystyle X}$

が局所凸TVSの族であり、がの円錐であるとする。 が局所凸直和であれば、円錐は の正規円錐であるためには、それぞれがで正規になる必要がある。 ^[1]${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$${\displaystyle C_{\alpha }}$${\displaystyle X_{\alpha }.}$${\displaystyle X:=\bigoplus _{\alpha }X_{\alpha }}$${\displaystyle C:=\bigoplus _{\alpha }C_{\alpha }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{\alpha }}$${\displaystyle X_{\alpha }.}$

が局所凸空間である場合、正規円錐の閉包は正規円錐である。 ^[1]${\displaystyle X}$

が局所凸TVS内の円錐であり、がの双対円錐である場合、が弱正規である場合に限ります。 ^[1] 局所凸TVS内のすべての正規円錐は弱正規です。^[1] ノルム空間では、円錐が正規であるためには弱正規である必要があります。^[1]${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C^{\prime }}$${\displaystyle C,}$${\displaystyle X^{\prime }=C^{\prime }-C^{\prime }}$${\displaystyle C}$

およびが局所的に凸なTVSであり、がの有界な部分集合の族である場合、の正錐が の-錐であり、 の正錐が の正規錐である場合、 の正錐は^[4]上の -位相に対して正規錐である。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle L(X;Y).}$

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• 位相ベクトル格子
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• ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
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