ベクトル空間上の二項関係
数学、特に 順序論 において、 実数 または 複素数 上の ベクトル空間 上の 二項関係が 、すべての に対して が存在するときは常に、 すべての正の整数に対して が 必ず成り立つとき、 アルキメデス的 と呼ばれる。
アルキメデス 的（事前）順序付きベクトル空間は、 順序がアルキメデス的で ある（事前） 順序付きベクトル空間である。
事前 順序付きベクトル空間が ほぼアルキメデス的 と呼ばれるの は、すべての に対して が存在するときは常に、 すべての正の整数に対して が必ず成り立つときである 。
≤
{\displaystyle \,\leq \,}
バツ
{\displaystyle X}
x ∈ バツ 、
{\displaystyle x\in X,}
ええ ∈ バツ
{\displaystyle y\in X}
ん x ≤ ええ
{\displaystyle nx\leq y}
ん 、
{\displaystyle n,}
x ≤ 0.
{\displaystyle x\leq 0.}
バツ
{\displaystyle X}
x ∈ バツ 、
{\displaystyle x\in X,}
ええ ∈ バツ
{\displaystyle y\in X}
−
ん
− 1
ええ ≤ x ≤
ん
− 1
ええ
{\displaystyle -n^{-1}y\leq x\leq n^{-1}y}
ん 、
{\displaystyle n,}
x = 0.
{\displaystyle x=0.}
特徴 順序単位 を持つ ベクトル空間 がアルキメデス順序付きであるのは、 すべての非負整数に対して が成り立つ 場合のみである。
（ バツ 、 ≤ ）
{\displaystyle (X,\leq )}
あなた
{\displaystyle u}
ん x ≤ あなた
{\displaystyle nx\leq u}
ん
{\displaystyle n}
x ≤ 0.
{\displaystyle x\leq 0.}
プロパティ を有限次元の実数上の 順序付きベクトル空間 と する。このとき、 の順序が アルキメデス的であることは、 の正の錐が ハウスドルフTVSとなる 唯一の位相に対して閉じていることと同値である。
バツ
{\displaystyle X}
バツ
{\displaystyle X}
バツ
{\displaystyle X}
バツ
{\displaystyle X}
注文単位ノルム が実数上の順序ベクトル空間で、 その順序がアルキメデス的である 単位元を 持つと仮定し、 とする
と、 の ミンコフスキー関数 （ によって定義される）は、 順序単位ノルム と呼ばれるノルムである。 は を満たし 、 によって決定される閉単位球は に等しい （つまり、
（ バツ 、 ≤ ）
{\displaystyle (X,\leq )}
あなた
{\displaystyle u}
あなた = [ − あなた 、 あなた ] 。
{\displaystyle U=[-u,u].}
p
あなた
{\displaystyle p_{U}}
あなた
{\displaystyle U}
p
あなた
（ x ） := 無限大
{
r > 0 : x ∈ r [ − あなた 、 あなた ]
}
{\displaystyle p_{U}(x):=\inf \left\{r>0:x\in r[-u,u]\right\}}
p
あなた
（ あなた ） = 1
{\displaystyle p_{U}(u)=1}
p
あなた
{\displaystyle p_{U}}
[ − あなた 、 あなた ]
{\displaystyle [-u,u]}
[ − あなた 、 あなた ] = { x ∈ バツ :
p
あなた
（ x ） ≤ 1 } 。
{\displaystyle [-u,u]=\{x\in X:p_{U}(x)\leq 1\}.}
例 点順序を持つ 集合上の有界実数値写像の 空間は、順序単位（つまり、 上で 同一である関数 ）を持つアルキメデス順序である。 上の順序単位ノルムは、 通常の sup ノルムと同一である:
l
∞
（ S 、
R
）
{\displaystyle l_{\infty }(S,\mathbb {R} )}
S
{\displaystyle S}
あなた := 1
{\displaystyle u:=1}
1
{\displaystyle 1}
S
{\displaystyle S}
l
∞
（ S 、
R
）
{\displaystyle l_{\infty }(S,\mathbb {R} )}
‖ ふ ‖ :=
すする
|
ふ （ S ）
|
。
{\displaystyle \|f\|:=\sup _{}|f(S)|.}
例 すべての 順序完備 ベクトル格子 はアルキメデス順序である。
次元の有限次元ベクトル格子は、 その標準順序と 同型である場合に限り、アルキメデス順序である。
しかし、次元の全順序ベクトル順序は アルキメデス順序にはできない。
ほぼアルキメデス的だがアルキメデス的ではない順序ベクトル空間が存在する。
ん
{\displaystyle n}
R
ん
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
> 1
{\displaystyle \,>1}
辞書式順序 を持つ実数上の ユークリッド空間は 、 任意のに対して アルキメデス 順序で は ないが、
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
r （ 0 、 1 ） ≤ （ 1 、 1 ）
{\displaystyle r(0,1)\leq (1,1)}
r > 0
{\displaystyle r>0}
（ 0 、 1 ） ≠ （ 0 、 0 ） 。
{\displaystyle (0,1)\neq (0,0).}
参照
参考文献
文献 ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。 位相ベクトル空間 。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス 。ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834. Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135.
![{\displaystyle U=[-u,u].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c8817dc2c435d034966283761843fdd15b71dd1)
![{\displaystyle p_{U}(x):=\inf \left\{r>0:x\in r[-u,u]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35c399bb1c756015fd4c92b5364df80a567a3dad)
![{\displaystyle [-u,u]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e63e7a8d1fa8e33fdb4f222ead09d77ecf1930d0)
![{\displaystyle [-u,u]=\{x\in X:p_{U}(x)\leq 1\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8f95cf801a90325fda34d4e513bff61be22e235)
