レンズ

レンズは、2つの光学面の曲率によって分類されます。両方の面が凸面である場合、レンズは両凸レンズ（または二重凸レンズ、あるいは単に凸レンズ）と呼ばれます。両方の面の曲率半径が同じ場合、レンズは等凸レンズです。2つの凹面を持つレンズは両凹レンズ（または単に凹レンズ）と呼ばれます。片面が平面の場合、もう一方の面の曲率に応じて、レンズは平凸レンズまたは平凹レンズになります。片面が凸面、もう片面が凹面であるレンズは凸凹レンズまたはメニスカスレンズと呼ばれます。凸凹レンズは、その形状が一部の収差を最小限に抑えるため、矯正レンズに最もよく使用されます。

屈折率の低い媒質中の両凸レンズまたは平凸レンズでは、レンズを通過する平行光線はレンズの後ろにある一点（焦点）に収束します。この場合、レンズは正レンズまたは収束レンズと呼ばれます。空気中の薄いレンズの場合、レンズから焦点までの距離はレンズの焦点距離であり、図や式では一般的にfで表されます。拡張半球レンズは、レンズの曲面が完全な半球であり、レンズの厚さが曲率半径よりもはるかに厚い、特殊なタイプの平凸レンズです。

厚みのある凸レンズのもう一つの極端な例は、形状が完全に球状のボールレンズです。奇抜な写真撮影で使用される場合、「レンズボール」と呼ばれることもあります。球状のレンズは全方向性という利点がありますが、ほとんどの光学ガラスでは焦点が球の表面近くに位置します。レンズのサイズに比べて球の曲率が極端に大きいため、色収差を除いて、光学収差は薄型レンズよりもはるかに大きくなります。

屈折率の低い媒質中の両凹レンズまたは平凹レンズでは、レンズを通過する平行光線は発散（広がり）します。そのため、このレンズは負レンズまたは発散レンズと呼ばれます。光線はレンズを通過した後、レンズ前面の軸上の特定の点から発せられているように見えます。空気中の薄いレンズの場合、この点からレンズまでの距離が焦点距離となりますが、収束レンズの焦点距離に対して負の値になります。

レンズをレンズの材質よりも屈折率の高い媒質に置くと、その挙動は逆転する。この場合、両凸レンズまたは平凸レンズは光を拡散させ、両凹レンズまたは平凹レンズは光を収束させる。

凸凹（メニスカス）レンズは、2つの表面の相対的な曲率によって、正または負のいずれかになります。負のメニスカスレンズは、凹面の曲率が凸面よりも急で（半径が小さい）、中心部が周辺部よりも薄くなっています。逆に、正のメニスカスレンズは、凸面の曲率が凹面よりも急で（半径が小さい）、中心部が周辺部よりも厚くなっています。

曲率が等しい（符号も等しい）2つの面を持つ理想的な薄型レンズは、焦点距離が無限大になるため（レンズメーカーの式で示されているように）、光パワーがゼロになります。つまり、光を収束も発散もさせません。しかし、実際のレンズはすべて厚みがゼロではないため、曲面が同一の実際のレンズでもわずかに正の値になります。光パワーを完全にゼロにするには、レンズの厚みの影響を考慮して、メニスカスレンズの曲率がわずかに異なる必要があります。

円形境界での単一の屈折の場合、近軸近似における物体とその像の関係は^{[ 22 ] [ 23 ]}で与えられる。

$${\displaystyle {\frac {n_{1}}{u}}+{\frac {n_{2}}{v}}={\frac {n_{2}-n_{1}}{R}}}$$

ここで、 Rは球面の半径、n2_は表面材料の屈折率、n1_は媒質（球面材料以外の媒質）の屈折率である。${\textstyle u}$は、光軸上の物体距離であり、表面上の屈折点（高さはh）に向かう軸に垂直な線からの距離である。${\textstyle v}$は、その線から軸上の像距離です。hの線が左側の光軸と交わる球面の頂点に近い近軸近似により、${\textstyle u}$そして${\textstyle v}$これらは頂点からの距離ともみなされます。

引っ越し${\textstyle v}$右方向の無限遠は、最初の焦点距離または物体焦点距離につながります${\textstyle f_{0}}$球面の場合。同様に、${\textstyle u}$左方向の無限遠は、第2焦点距離または像焦点距離につながります${\displaystyle f_{i}}$[ ^{24 ]​}

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{0}&={\frac {n_{1}}{n_{2}-n_{1}}}R,\\f_{i}&={\frac {n_{2}}{n_{2}-n_{1}}}R\end{aligned}}}$$

この式をレンズの 2 つの球面に適用し、レンズの厚さをゼロに近似する (つまり薄いレンズにする) と、レンズメーカーの公式が得られます。

導出

球面上にスネルの法則を適用すると、${\displaystyle n_{1}\sin i=n_{2}\sin r\,.}$

また、図では、$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(i-\theta )&={\frac {h}{u}}\\\tan(\theta -r)&={\frac {h}{v}}\\\sin \theta &={\frac {h}{R}}\end{aligned}}}$$、小角近似（近軸近似）を使用し、i、r、θを消去すると、

$${\displaystyle {\frac {n_{2}}{v}}+{\frac {n_{1}}{u}}={\frac {n_{2}-n_{1}}{R}}\,.}$$

（実効）焦点距離${\displaystyle f}$空気中または真空中の球面レンズの近軸光線に対する値は、レンズメーカーの式から計算できます。^{[ 25 ] [ 26 ]}

$${\displaystyle {\frac {1}{\ f\ }}=\left(n-1\right)\left[\ {\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}+{\frac {\ \left(n-1\right)\ d~}{\ n\ R_{1}\ R_{2}\ }}\ \right]\ ,}$$ どこ

• ${\textstyle n}$はレンズ材料の屈折率です。
• ${\textstyle R_{1}}$は、光源に近いレンズ表面の曲率半径（符号付き、下記参照）です。
• ${\textstyle R_{2}}$は光源から遠いレンズ表面の曲率半径であり、
• ${\textstyle d}$はレンズの厚さ（レンズ軸に沿った2つの表面頂点間の距離）です。

焦点距離${\textstyle f}$レンズの主平面に関するものであり、主平面の位置は${\textstyle h_{1}}$そして${\textstyle h_{2}}$それぞれのレンズ頂点に関して、次の式で与えられます。ここで、それぞれの頂点に正であれば正の値となります。^{[ 26 ]}

$${\displaystyle \ h_{1}=-\ {\frac {\ \left(n-1\right)f\ d~}{\ n\ R_{2}\ }}\ }$$$${\displaystyle \ h_{2}=-\ {\frac {\ \left(n-1\right)f\ d~}{\ n\ R_{1}\ }}\ }$$

焦点距離${\displaystyle f}$収束レンズの場合は正、発散レンズの場合は負になります。焦点距離の逆数、${\textstyle {\tfrac {1}{f}},}$はレンズの光パワーです。焦点距離がメートル単位の場合、光パワーはジオプトリー（メートルの逆数）で表されます。

レンズの焦点距離は、光が背面から前面へ進む場合と、前面から背面へ進む場合で同じです。しかし、収差などのレンズのその他の特性は、両方向で同じではありません。

導出

右図に関して、近軸近似における球面薄レンズの式をここで導出する。 ^{[ 29 ]} 1番目の球面レンズ面（光軸と交わる面）${\textstyle V_{1}}$（頂点として）軸上の物体点Oを仮想像Iに映し出すこれは、次の式で表すことができます。$${\displaystyle \ {\frac {\ n_{1}\ }{\ u\ }}+{\frac {\ n_{2}\ }{\ v'\ }}={\frac {\ n_{2}-n_{1}\ }{\ R_{1}\ }}~.}$$第２レンズ面による結像（I（このイメージングの対象として）上記の符号規則を採用することにより、${\textstyle u'=-v'+d}$そして$${\displaystyle \ {\frac {n_{2}}{\ -v'+d\ }}+{\frac {\ n_{1}\ }{\ v\ }}={\frac {\ n_{1}-n_{2}\ }{\ R_{2}\ }}~.}$$これら2つの式を足し合わせると、$${\displaystyle \ {\frac {\ n_{1}\ }{u}}+{\frac {\ n_{1}\ }{v}}=\left(n_{2}-n_{1}\right)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)+{\frac {\ n_{2}\ d\ }{\ \left(\ v'-d\ \right)\ v'\ }}~.}$$薄レンズ近似の場合、${\displaystyle d\rightarrow 0,}$右辺の第2項が消えたので、

$${\displaystyle \ {\frac {\ n_{1}\ }{u}}+{\frac {\ n_{1}\ }{v}}=\left(n_{2}-n_{1}\right)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)~.}$$

焦点距離${\displaystyle f}$薄いレンズの制限によって、${\displaystyle u\rightarrow -\infty ,}$

$${\displaystyle \ {\frac {\ n_{1}\ }{\ f\ }}=\left(n_{2}-n_{1}\right)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)\rightarrow {\frac {1}{\ f\ }}=\left({\frac {\ n_{2}\ }{\ n_{1}\ }}-1\right)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)~.}$$

したがって、ガウス薄レンズ方程式は次のようになります。

$${\displaystyle \ {\frac {1}{\ u\ }}+{\frac {1}{\ v\ }}={\frac {1}{\ f\ }}~.}$$

空気中または真空中の薄レンズの場合${\textstyle n_{1}=1}$想定できる、${\textstyle f}$になる

$${\displaystyle \ {\frac {1}{\ f\ }}=\left(n-1\right)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)\ }$$

ここで、2 の添え字は${\textstyle n_{2}}$削除される。

近軸光線の場合、物体から球面薄レンズ（厚さが無視できるレンズ）までの距離とレンズから像までの距離がそれぞれS ₁とS ₂である場合、距離は (ガウス)薄レンズの公式によって関連付けられます。^{[ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}

$${\displaystyle {1 \over f}={1 \over S_{1}}+{1 \over S_{2}}\,.}$$

右図は、3本の光線を用いて物体点の像を求める方法を示しています。1本目の光線はレンズに平行に入射し、レンズの2番目の焦点に向かって屈折します。2本目の光線はレンズの光軸中心を横切り（そのため方向は変わりません）、3本目の光線は最初の焦点に向かって入射し、光軸に平行な方向に屈折します。これは、簡単に使用できるシンプルな光線追跡法です。3本の光線のうち2本で像点の位置を特定できます。物体を光軸に沿って移動させることで、2本目の光線が像の大きさを決定し、他の光線は像の位置を特定するのに役立つことがわかります。

レンズ方程式は「ニュートン」形式にも変換できます。^{[ 28 ]}

$${\displaystyle f^{2}=x_{1}x_{2}\,,}$$

どこ${\displaystyle x_{1}=S_{1}-f}$そして${\displaystyle x_{2}=S_{2}-f\,.}$${\textstyle x_{1}}$正面の焦点に残すと正になります${\textstyle F_{1}}$、 そして${\textstyle x_{2}}$後方の焦点に正対している場合は正の値となる${\textstyle F_{2}}$。 なぜなら${\textstyle f^{2}}$が正の場合、物体点とレンズによって作られる対応する像点は、それぞれの焦点に対して常に反対側に位置します。${\textstyle x_{1}}$そして${\textstyle x_{2}}$（正または負のいずれかです。）

このニュートン力学に基づくレンズ方程式は、右図の三角形P ₁ P _O1 F ₁とL ₃ L ₂ F ₁の間の相似関係、および三角形L ₁ L ₂ F ₂とP ₂ P ₀₂ F ₂の間の相似関係を用いることで導出できます。これらの相似関係から以下の式が得られ、これらの結果を組み合わせることでニュートン力学に基づくレンズ方程式が得られます。

$${\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\frac {y_{1}}{x_{1}}}={\frac {\left\vert y_{2}\right\vert }{f}}\\{\frac {y_{1}}{f}}={\frac {\left\vert y_{2}\right\vert }{x_{2}}}\end{array}}}$$

上記の式は、空気中または真空中（屈折率を1とみなせる）の厚いレンズ（複数のレンズで構成された複合レンズも含む）にも成り立つ。${\textstyle S_{1}}$、${\textstyle S_{2}}$、 そして${\textstyle f}$レンズの主平面に関して（${\textstyle f}$はこの場合の有効焦点距離です。 ^{[ 26 ]}これは、上記の薄レンズの場合のような三角形の相似性によるものです。右図の三角形P ₁ P _O1 F ₁とL ₃ H ₁ F _{1の間の相似性、および三角形}L ₁ ' H ₂ F ₂とP ₂ P ₀₂ F ₂の間の別の相似性です。距離S ₁またはS ₂が空気または真空以外の媒体を通過する場合は、より複雑な解析が必要です。

焦点距離fの正レンズから距離S ₁ > fの位置に物体を置くと、この式に従って距離S _{2 の位置に像が形成されます。レンズの反対側に距離}S ₂の位置にスクリーンを置くと、スクリーン上に像が形成されます。このようにスクリーンやイメージセンサーに投影できる像は、実像と呼ばれます。これはカメラの原理であり、網膜がイメージセンサーとして機能する人間の目の原理でもあります。

カメラのピント調整はS2_を調整するものであり、この式で要求される像距離とは異なる像距離を用いると、カメラからS1の距離にある被写体はピントがずれた（ぼやけた）画像となる。言い換えれば、 S2_{を調整することで、}異なるS1に_ある被写体が完全にピントが合うようになる。

場合によっては、S ₂は負の値となり、像が、それらの光線が考慮されている位置とは反対側のレンズ側に形成されることを示します。レンズから発せられる発散光線は決して焦点を合わせることができず、それらの光線は像を形成するように見える点に物理的に存在しないため、これは虚像と呼ばれます。実像とは異なり、虚像はスクリーンに投影することはできませんが、レンズを通して見ている観察者には、その虚像の位置にある実在の物体のように見えます。同様に、それは次のレンズにもその位置にある物体のように見えるため、2 番目のレンズは再びその光を実像に集束させることができ、S ₁は最初のレンズの後ろにある虚像の位置から 2 番目のレンズまで測定されます。これは、目が拡大鏡を通して見るときに行っていることとまったく同じです。拡大鏡は拡大鏡の後ろに（拡大された）虚像を作り出しますが、それらの光線は目のレンズによって再結像され、網膜上に実像が形成されます。

ネガティブレンズは、縮小された虚像を生成する。

バローレンズ（B）は、仮想物体（赤い光線の焦点）を拡大された実像（焦点にある緑色の光線）に再結像します。

焦点距離fの正レンズを使用すると、 S ₁ < fの場合に虚像が生成され、レンズは拡大鏡として使用されます (カメラの場合のようにS ₁ ≫ fの場合とは異なります)。上記の式に従って、実像( S ₁ > 0 )に対して負レンズ ( f < 0 ) を使用すると、虚像 ( S ₂ < 0 ) しか生成できません。また、物体距離S ₁が負になる場合もあり、その場合、レンズはいわゆる虚像を見ます。これは、レンズが実像の位置より前の収束光線 (前のレンズで集束されている) に挿入された場合に発生します。この場合、バローレンズのように、負レンズでも実像を投影できます。

焦点距離fのレンズの場合、物体と実像間の最小距離は 4 f ( S ₁ = S ₂ = 2 f ) です。これは、L = S ₁ + S ₂とおき、レンズ方程式を用いてS _2をS ₁で表す（またはS _1をS ₂で表す）ことで導出され、 LのS ₁ (またはS ₂ )に関する導関数をゼロに等しいとおくことで得られます。 （ Lは増加に上限がないため、その極値はLの導関数がゼロになる最小値のみであることに注意してください。）

ランプの実像がスクリーン上に投影される（反転像）。両凸レンズの両面からのランプの反射像が見える。

凸レンズ（f ≪ S ₁ ）は、拡大鏡（f > S ₁ ）で見られるような正立虚像ではなく、実像で倒立像（望遠鏡や双眼鏡の対物レンズで形成される像と同様）を形成します。この実像は、スクリーンに投影して見ることもできます。

単一レンズを用いた撮像システムの線形倍率は次式で与えられる。

$${\displaystyle M=-{\frac {S_{2}}{S_{1}}}={\frac {f}{f-S_{1}}}\ =-{\frac {f}{x_{1}}}}$$

ここで、Mは拡大率であり、像の大きさと対象物の大きさの比として定義されます。符号の規則によれば、実像の場合のようにMが負であれば、像は対象物に対して上下逆になります。虚像の場合、Mは正なので、像は正立します。

この倍率の公式は、収束レンズ ( f > 0 ) と発散レンズ ( f < 0 )を簡単に区別する 2 つの方法を提供します。レンズに非常に近い物体 ( 0 < S ₁ < | f | ) の場合、収束レンズは拡大された (より大きな) 虚像を形成しますが、発散レンズは縮小された (より小さな) 像を形成します。レンズから非常に遠い物体 ( S ₁ > | f | > 0 ) の場合、収束レンズは倒立像を形成しますが、発散レンズは正立像を形成します。

線形倍率Mは、必ずしも最も有用な倍率の指標とは限りません。例えば、仮想像のみを生成する望遠鏡や双眼鏡の特性を評価する場合、遠方の物体が肉眼で見たときと比べて望遠鏡を通してどれだけ大きく見えるかを表す角倍率の方が重要になります。カメラの場合は、遠方の物体の見かけの大きさ（角）と焦点で生成される実像の大きさを比較するプレートスケールが用いられます。プレートスケールはカメラレンズの焦点距離の逆数であり、レンズは焦点距離によって望遠レンズと広角レンズに分類されます。

不適切な倍率測定法を用いると、形式的には正しいものの、意味のない数値が得られることがあります。例えば、拡大鏡で 焦点距離5cm 、 目から20cm離れたところに物体から5  cm離れた位置では、無限遠に無限の線形サイズM = ∞の虚像が生成されます。しかし、角倍率は 5 なので、レンズがない場合よりも物体が 5 倍大きく見えることになります。50  mmレンズの場合、線形倍率M ≈は考慮する必要はありません。−50  mm /380,000 km  =​−1.3 × 10 ⁻¹⁰。むしろ、カメラのプレートスケールは約1°/mmであり、そこから次のことが結論付けられる。フィルム上の0.5mm の画像は、地球から見た月の約0.5°の視角に相当する。

物体が無限遠にある極端な場合、S ₁ = ∞、S ₂ = f、M = − f /∞ = 0 となり、物体は焦点面上の一点に結像されることがわかります。実際には、回折によって点像分布関数の大きさに下限が設けられるため、投影されたスポットの直径はゼロではありません。これを回折限界と呼びます。

球面収差は、球面がレンズにとって理想的な形状ではないものの、ガラスを研磨して加工できる最も単純な形状であるため、よく用いられることから発生します。球面収差によって、レンズ軸に平行で、かつ軸から横方向に離れた光線は、軸に近い光線とはわずかに異なる位置に集束します。これは、画像のぼやけとして現れます。通常のレンズ形状では、特定の用途に合わせて表面曲率を慎重に選択することで、球面収差を最小限に抑えることができます。例えば、平行光線を集束させるために使用される平凸レンズは、凸面を光源に向けて使用すると、よりシャープな焦点スポットが得られます。

コマ収差、またはコマ収差は、収差によって生じる像が彗星のように見えることからその名が付けられました。コマ収差は、レンズの光軸から外れた位置にある物体が結像される際に発生します。この場合、光線はレンズを光軸に対して角度θで通過します。焦点距離fのレンズの中心を通過する光線は、光軸から距離f tan θの点に集束します。レンズの外縁を通過する光線は、光軸から遠い点（正のコマ収差）または光軸に近い点（負のコマ収差）に集束します。一般に、レンズの中心から一定の距離でレンズを通過する平行光線の束は、焦点面にリング状の像（コマ収差円と呼ばれる）を形成します（下図の各円を参照）。これらの円をすべて合わせると、V字型または彗星のようなフレアが生じます。球面収差と同様に、コマ収差も、用途に合わせて2つのレンズ面の曲率を選択することで最小限に抑える（場合によっては完全に除去する）ことができます。球面収差とコマ収差の両方が最小限に抑えられたレンズは、ベストフォームレンズと呼ばれます。

色収差は、レンズ材料の分散、つまり光の波長による屈折率nの変化によって引き起こされます。上記の式から、fはnに依存するため、異なる波長の光は異なる位置に集束されます。レンズの色収差は、像の周囲に色のにじみとして現れます。これは、分散の異なる 2 つの材料を接合して 1 つのレンズを形成するアクロマート ダブレット(またはアクロマート) を使用することで最小限に抑えることができます。これにより、特定の波長範囲で色収差の量が減少しますが、完全な補正は得られません。アクロマートの使用は、光学顕微鏡の開発における重要なステップでした。アポクロマートは、さらに優れた色収差補正と改良された球面収差補正を組み合わせたレンズまたはレンズシステムです。アポクロマートは、アクロマートよりもはるかに高価です。

色収差を最小限に抑えるために、特殊なコーティングを施したレンズや、蛍石結晶から作られたレンズなど、さまざまなレンズ素材が使用されることもあります。この天然物質は、既知の物質の中で最も高いアッベ数を持ち、分散が低いことを示しています。

その他の収差の種類としては、像面湾曲、樽型および糸巻き型歪曲収差、そして非点収差などがある。

たとえレンズが上述の収差を最小限に抑える、あるいは完全に除去するように設計されていても、画質はレンズの有限な開口部を通過する光の回折によって制限されます。回折限界レンズとは、設計条件下において画質が主に回折によって制限されるレベルまで収差が低減されたレンズのことです。

• シミュレーションによる学習（ 2010年1月21日、 Wayback Machineにアーカイブ済み） – 凹レンズと凸レンズ
• OpticalRayTracer（ 2010年10月6日にWayback Machineにアーカイブ済み） – オープンソースのレンズシミュレーター（Java版ダウンロード可能）
• レンズの動作を示すアニメーション（ 2012年4月4日、 QEDによりWayback Machineにアーカイブ済み）