方位（光学）

ガウス光学では、基点は回転対称な焦点光学系の光軸上に位置する3組の点から構成される。これらは焦点、主点、節点であり、それぞれ2つずつ存在する。^[1]理想的なシステムでは、画像のサイズ、位置、方向などの基本的な結像特性は、基点の位置によって完全に決定される。実際、必要なのは2つの焦点と主点または節点の4点だけである。実際に実現されている唯一の理想的なシステムは平面鏡であるが、^[2]基点は実際の光学系の動作を近似するために広く使用されている。基点は、多くのコンポーネントを含む光学系を解析的に単純化する方法を提供し、システムの結像特性を簡単な計算で近似的に決定できるようにする。

基本点は光学系の光軸上にあります。各点は、近軸近似において、その点を通過する光線に対する光学系の影響によって定義されます。近軸近似では、光線が光軸に対して浅い角度で進むと仮定し、 、、となります。^[3]絞り効果は無視されます。つまり、システムの絞りを通過しない光線は、以下の説明では考慮されません。 ${\textstyle \sin \theta \approx \theta }$ ${\textstyle \tan \theta \approx \theta }$${\textstyle \cos \theta \approx 1}$

定義により、光学系の前焦点は、そこを通過する光線が光軸と平行に光学系から出てくるという特性があります。 光学系の後焦点は逆の特性を持ち、光軸と平行に光学系に入る光線は、後焦点を通過するように焦点が合わせられます。

前方および後方（または後側）焦点面は、光軸に垂直で、前方および後方焦点を通過する平面として定義されます。光学系から無限に遠い物体は、後方焦点面に像を形成します。有限距離にある物体の場合、像は別の場所に形成されますが、物体から互いに平行に出る光線は後方焦点面で交差します。

レンズの後焦点面にある絞りまたは「ストップ」は、光線を角度でフィルタリングするために使用できます。これは、光軸を中心とする開口部は、光軸から十分に小さい角度で物体から放射された光線のみを通過させるためです。後焦点面で十分に小さい開口部を使用すると、レンズは物体空間テレセントリックになります。

同様に、レンズの出力側で許容される角度の範囲は、レンズの前焦点面（またはレンズ全体の中のレンズ グループ）に絞りを配置することでフィルタリングでき、十分に小さい絞りによってレンズは画像空間テレセントリックになります。これは、 CCDセンサーを備えたDSLR カメラにとって重要です。これらのセンサーのピクセルは、斜めに当たる光線よりも、まっすぐに当たる光線に対してより敏感です。検出器での入射角を制御しないレンズは、画像に ピクセルのケラレを生成します。

レンズの 2 つの主平面には、レンズの正面から見たときに、レンズから出た光線が光軸から前側主平面を横切ったように見える距離と同じ距離で後側主平面を横切ったように見えるという特性があります。これは、レンズはすべての屈折が主平面で発生し、光線が平面間を光軸と平行に進むかのように扱うことができることを意味します。(主平面間の線形拡大率は +1 です。) 主平面は、光学系の特性を定義する上で非常に重要です。光学系の拡大率は、物体から前側主平面までの距離と、後側主平面から物体の像までの距離によって決まるためです。主点とは、主平面が光軸と交差する点です。

光学系を囲む媒体の屈折率が1 の場合 (空気や真空など)、各主平面から対応する焦点までの距離は、システムの焦点距離になります。より一般的なケースでは、焦点までの距離は、焦点距離に媒体の屈折率を掛けた値になります。

屈折率n = 1の媒質に囲まれた単一のレンズの場合、それぞれのレンズ頂点に対する主点HとH ′の位置は、次の式で与えられます。ここで、fはレンズの焦点距離、dはレンズの厚さ、r ₁とr _{2 は}レンズ表面の曲率半径です。正の符号は対応する頂点の右側への距離を示し、負の符号は左側への距離を示します。^[4]$${\displaystyle {\begin{aligned}H&=-{\frac {f(n-1)d}{r_{2}n}}\\H'&=-{\frac {f(n-1)d}{r_{1}n}},\end{aligned}}}$$

空気中の薄いレンズの場合、主平面は両方ともレンズの位置にあります。主平面と光軸が交差する点は、誤解を招くようにレンズの光学中心と呼ばれることがあります。実際のレンズでは、主平面は必ずしもレンズの中心を通るわけではなく、レンズの外側にある場合もあります。

レンズの前方および後方の節点には、片方に向けた光線がレンズによって屈折し、光軸に対して同じ角度でもう一方のレンズから来たように見えるという特性があります。(節点間の角度拡大は +1 です。) したがって、節点は角度に対して、主平面が横方向の距離に対して行うのと同じことを行います。光学系の両側の媒体が同じ場合 (空気または真空など)、前方および後方の節点は、それぞれ前方および後方の主点と一致します。

ガウスの1841年のオリジナルの論文では、焦点を通る主光線についてのみ議論されていました。同僚のヨハン・リスティングは、1845年に初めて結節点について説明し、像が流体中にある人間の目を評価しました。^[5] 1864年にはすでに（ドンダース）、物体が空気中にあり像が別の媒体にあるという状態で、すべての基本点が1つの図に含まれていました。

節点は、角度の偏りなくレンズの中心を通過する光線を特徴づけます。主平面に絞りがある空気中のレンズの場合、節点と主点が一致するため、これが主光線になります。これは、「ガウス光学」と呼ばれるようになったものにそれ自体が貴重な追加要素であり、画像が流体中にある場合は、右の図のように、同じ光線が新しい媒体に屈折します。節点を通過する光線には、平行な入力部分と出力部分 (青) があります。片側が空気でもう一方が流体であるレンズの後方節点を見つける簡単な方法は、後方焦点距離f ′を画像媒体インデックスで割ることです。これにより、レンズの有効焦点距離(EFL) が得られます。EFL は、後方節点から後方焦点までの距離です。

レンズのパワーは1/EFLまたはn ′ / f ′に等しい。平行光の場合、レンズを光学系の2番目の結節点の空気中に配置することで、流体内に像がある元のレンズシステムと同じ近軸特性を得ることができる。^{[5] [6]}たとえば、眼球全体のパワーは約60ディオプターである。同様に、眼内レンズのように完全に流体内で使用されるレンズのパワーの定義は同じで、平均値は約21ディオプターである。

眼球自体には、近軸の議論でわかりにくくなりがちな、節点の 2 番目の特別な用途があります。角膜と網膜は、ほとんどの画像システムとは異なり、大きく湾曲しており、眼球の光学設計には、入力光線に平行な「方向線」を使用して倍率を見つけたり、網膜の位置をスケーリングしたりできるという特性があります。この線は、ほぼ 2 番目の節点を通過しますが、実際の近軸光線ではなく、瞳孔の中心を通過する光線束によって形成される画像を特定します。この用語は、1836 年にVolkmannが考案したものですが、 ^[7]ほとんどの議論では、光線の近軸特性が非常に大きな角度にまで及ぶと誤って示唆しており、これを眼球の設計固有の特性として認識していません。このスケーリング特性はよく知られており、非常に便利で、非常に単純です。定規で眼球の断面にレンズの後極を中心に描いた角度は、半球全体よりも広い範囲で網膜をほぼスケーリングできます。この近似の限界が明らかになったのは、2000 年代になってからで、眼内レンズ (IOL) の患者の中には遠方周辺部に暗い影が見える人がいる理由 (おそらく IOL が天然のレンズよりはるかに小さいためと考えられる陰性光視症) の調査が行われた。^{[引用が必要]}

球面レンズの光学中心とは、光線がそこを通過するときに、光軸に対するレンズ出射角がレンズ入射角からずれない点です。

右の図^[8]では、点Aと点Bは、曲率半径R ₁とR ₂の平行線がレンズ面と交わる場所です。その結果、点Aと点Bの面に接する破線も平行になります。2つの三角形OBC ₂とOAC ₁は相似（つまり、角度が同じ）なので、 。 AとBをどのように選んでも、曲率半径とは同じであり、曲率中心の位置とも同じです。その結果、光軸上の比によって定義される光学中心の位置Oは、特定のレンズに対して固定されます。 ${\textstyle {\frac {\overline {R_{2}}}{\overline {OC_{2}}}}={\frac {\overline {R_{1}}}{\overline {OC_{1}}}}\rightarrow {\frac {\overline {R_{2}}}{\overline {R_{1}}}}={\frac {\overline {OC_{2}}}{\overline {OC_{1}}}}}$${\textstyle {\overline {R_{1}}}}$${\displaystyle {\overline {R_{2}}}}$${\textstyle C_{1}}$${\textstyle C_{2}}$${\textstyle {\frac {\overline {OC_{2}}}{\overline {OC_{1}}}}}$

写真撮影では、結節点は広く誤解されており、光線は「結節点」で「交差」し、レンズの絞りはそこにあり、これがパノラマ写真撮影の正しい回転軸であり、視差エラーを回避するための正しい回転軸であるとよく主張されている。^{[9] [10] [11]}これらの主張は、通常、カメラレンズの光学系に関する混乱、および結節点とシステムの他の基本点との間の混乱から生じている。パノラマ写真撮影のためにカメラを回転させる点のより良い選択は、システムの入射瞳の中心であることが示される。^{[9] [10] [11]}一方、フィルム位置が固定されたスイングレンズカメラは、フィルム上の画像を安定させるために、レンズを後部の結節点を中心に回転させる。^{[11] [12]}

光学において、表面頂点とは、各光学面が光軸と交差する点のことです。表面頂点は、光学要素の位置を物理的に測定できるパラメータであるため、光学系の基本点の位置を表面頂点に対して知っておくことで光学系を記述できるという点で重要です。

解剖学では、眼の水晶体の表面の頂点は水晶体の前極と後極と呼ばれます。 ^[13]

幾何光学では、光学系に入る各物体光線に対して、単一の固有の像光線が光学系から出ます。数学的に言えば、光学系はすべての物体光線を像光線にマッピングする変換を実行します。 ^{[1]物体光線とそれに関連する像光線は、互いに}共役であると言われています。この用語は、物体と像の点と平面の対応するペアにも適用されます。物体光線と像光線、点、および平面は、物体空間と像空間という 2 つの異なる光学空間にあると見なされます。追加の中間光学空間も使用される場合があります。

光学系は、ある軸の周りの回転によって結像特性が変化しない場合、回転対称である。この（唯一の）回転対称軸が、光学系の光軸である。光学系は平面鏡を使用して折りたたむことができる。展開したときに回転対称性を持つ場合、光学系は依然として回転対称であると見なされる。光軸上の任意の点（任意の空間内）は、軸点である。

回転対称性により、光学システムの解析が大幅に簡素化されます。光学システムは、通常は 3 次元で解析する必要があります。回転対称性により、光軸を含む単一の横断面に限定された光線のみを考慮してシステムを解析できます。このような平面は子午面と呼ばれ、システムの断面に なります。

理想的な回転対称光学画像システムは、次の 3 つの基準を満たす必要があります。

1. 各物体点から発せられるすべての光線は、単一の固有の像点に収束します。結像は非点収差です。
2. 光軸に垂直な物体面は、軸に垂直な像面と共役です。
3. 軸に垂直な平面内に限定された物体のイメージは、幾何学的に物体と相似です。

一部の光学システムでは、1 個または数個のオブジェクト ポイントに対してイメージングが非点収差になりますが、理想的なシステムでは、すべてのオブジェクト ポイントに対してイメージングが非点収差になる必要があります。理想的なシステムでは、すべてのオブジェクト ポイントが異なるイメージ ポイントにマッピングされます。

数学の光線とは異なり、光学光線は両方向に無限に伸びます。光線は、それが適用される光学系の一部にあるときは実光線であり、それ以外の場所では虚光線です。たとえば、物体光線は光学系の物体側では実光線ですが、像光線は光学系の像側では実光線です。無収差結像では、物体空間内の特定の点と交差する物体光線は、像空間内の共役点と交差する像光線と共役でなければなりません。結果として、物体光線上のすべての点は、共役像光線上のある点と共役になります。

幾何学的な類似性は、画像がオブジェクトのスケールモデルであることを意味します。画像の向きに制限はありません。画像は反転したり、オブジェクトに対して回転したりすることができます。

アフォーカルシステムには、焦点、主点、または節点がありません。このようなシステムでは、光軸に平行な物体光線は、光軸に平行な像光線と共役です。軸​​に平行な物体光線が、光軸と交差する像光線と共役である場合、システムは焦点があります。像光線と光軸の交差点は、像空間の焦点 F ′です。焦点システムには、軸上の物体点 F もあり、F を通過するすべての光線は、光軸に平行な像光線と共役です。F は、システムの物体空間の焦点です。

オブジェクト空間と画像空間間の変換は、システムの基本点によって完全に定義され、これらの点を使用して、オブジェクト上の任意の点をその共役画像点にマッピングできます。

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