ピアソン相関係数

ピアソンの相関係数は、母集団に適用される場合、一般的にギリシャ文字ρ （ロー）で表され、母集団相関係数または母集団ピアソン相関係数と呼ばれることがあります。2つのランダム変数が与えられた場合${\displaystyle (X,Y)}$（例えば、身長と体重）ρ ^{[ 12 ]の式は[ 13 ]}である。

$${\displaystyle \rho _{X,Y}={\frac {\operatorname {cov} (X,Y)}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}}$$

どこ

• ${\displaystyle \operatorname {cov} }$共分散は
• $\displaystyle \sigma _{X}}$は 標準偏差です${\displaystyle X}$
• $\displaystyle \sigma _{Y}}$は標準偏差です ${\displaystyle Y}$。

の式${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)}$平均と期待値で表現できる。^{[ 12 ]}

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {\mathbb {E} } [(X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})],}$

の式${\displaystyle \rho }$次のように書くこともできます

$${\displaystyle \rho _{X,Y}={\frac {\operatorname {\mathbb {E} } [(X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})]}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}$$

どこ

• $\displaystyle \sigma _{Y}}$そして$\displaystyle \sigma _{X}}$上記のように定義される
• ${\displaystyle \mu _{X}}$は平均です${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \mu _{Y}}$は平均です${\displaystyle Y}$
• ${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } }$それが期待される点です。

の式${\displaystyle \rho }$中心化されていないモーメントで表現できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{X}={}&\operatorname {\mathbb {E} } [X]\\\mu _{Y}={}&\operatorname {\mathbb {E} } [Y]\\\sigma _{X}^{2}={}&\operatorname {\mathbb {E} } \left[\left(X-\operatorname {\mathbb {E} } [X]\right)^{2}\right]=\operatorname {\mathbb {E} } \left[X^{2}\right]-\left(\operatorname {\mathbb {E} } [X]\right)^{2}\\\sigma _{Y}^{2}={}&\operatorname {\mathbb {E} } \left[\left(Y-\operatorname {\mathbb {E} } [Y]\right)^{2}\right]=\operatorname {\mathbb {E} } \left[Y^{2}\right]-\left(\operatorname {\mathbb {E} } [Y]\right)^{2}\\\operatorname {cov} (X,Y)={}&\operatorname {\mathbb {E} } [\left(X-\mu _{X}\right)\left(Y-\mu _{Y}\right)]=\operatorname {\mathbb {E} } [\left(X-\operatorname {\mathbb {E} } [X]\right)\left(Y-\operatorname {\mathbb {E} } [Y]\right)]=\operatorname {\mathbb {E} } [XY]-\operatorname {\mathbb {E} } [X]\operatorname {\mathbb {E} } [Y],\end{aligned}}}$

の式${\displaystyle \rho }$次のように書くこともできます $${\displaystyle \rho _{X,Y}={\frac {\operatorname {\mathbb {E} } [XY]-\operatorname {\mathbb {E} } [X]\operatorname {\mathbb {E} } [Y]}{{\sqrt {\operatorname {\mathbb {E} } \left[X^{2}\right]-\left(\operatorname {\mathbb {E} } [X]\right)^{2}}}~{\sqrt {\operatorname {\mathbb {E} } \left[Y^{2}\right]-\left(\operatorname {\mathbb {E} } [Y]\right)^{2}}}}}.}$$

ピアソンの相関係数は、サンプルに適用すると、一般的に次のように表されます。${\displaystyle r_{xy}}$これは標本相関係数または標本ピアソン相関係数と呼ばれることもあります。 の式は次のようになります。${\displaystyle r_{xy}}$サンプルに基づく共分散と分散の推定値を上記の式に代入することによって。ペアデータが与えられた場合${\displaystyle \left\{(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})\right\}}$から構成される${\displaystyle n}$ペア、${\displaystyle r_{xy}}$は次のように定義される。

$${\displaystyle r_{xy}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}}}}$$

どこ

• ${\displaystyle n}$サンプルサイズ
• ${\displaystyle x_{i},y_{i}}$iでインデックス付けされた個々のサンプルポイントは
• ${\textstyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$（標本平均）；同様に${\displaystyle {\bar {y}}}$。

式を整理すると、次の式が得られます^{[ 12 ]}${\displaystyle r_{xy}}$:

${\displaystyle r_{xy}={\frac {\sum _{i}x_{i}y_{i}-n{\bar {x}}{\bar {y}}}{{\sqrt {\sum _{i}x_{i}^{2}-n{\bar {x}}^{2}}}~{\sqrt {\sum _{i}y_{i}^{2}-n{\bar {y}}^{2}}}}},}$

どこ${\displaystyle n,x_{i},y_{i},{\bar {x}},{\bar {y}}}$上記のように定義される。

再び整理すると、次の式が得られます。${\displaystyle r_{xy}}$:

${\displaystyle r_{xy}={\frac {n\sum x_{i}y_{i}-\sum x_{i}\sum y_{i}}{{\sqrt {n\sum x_{i}^{2}-\left(\sum x_{i}\right)^{2}}}~{\sqrt {n\sum y_{i}^{2}-\left(\sum y_{i}\right)^{2}}}}},}$

どこ${\displaystyle n,x_{i},y_{i}}$上記のように定義される。

この式は、サンプル相関を計算するための便利なシングルパスアルゴリズムを示唆していますが、関係する数値によっては、数値的に不安定になる場合があります。

同等の表現は、次の式を与える。${\displaystyle r_{xy}}$標準得点の積の平均として、以下のように表されます。

${\displaystyle r_{xy}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {x_{i}-{\bar {x}}}{s_{x}}}\right)\left({\frac {y_{i}-{\bar {y}}}{s_{y}}}\right)}$

どこ

• ${\displaystyle n,x_{i},y_{i},{\bar {x}},{\bar {y}}}$上記のように定義され、${\displaystyle s_{x},s_{y}}$以下に定義する
• ${\textstyle \left({\frac {x_{i}-{\bar {x}}}{s_{x}}}\right)}$は標準スコアです（同様に、標準スコアについては、${\displaystyle y}$)

代替式${\displaystyle r_{xy}}$も利用可能です。たとえば、次の式を使用できます。${\displaystyle r_{xy}}$:

${\displaystyle r_{xy}={\frac {\sum x_{i}y_{i}-n{\bar {x}}{\bar {y}}}{(n-1)s_{x}s_{y}}}}$

どこ

• ${\displaystyle n,x_{i},y_{i},{\bar {x}},{\bar {y}}}$上記のように定義され、以下も含まれる。
• ${\textstyle s_{x}={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}$（標本標準偏差）；同様に${\displaystyle s_{y}}$。

もし${\displaystyle (X,Y)}$は、平均ゼロ、分散のガウス分布に従います。${\displaystyle \Sigma }$、 それから${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{X}^{2}&\rho _{X,Y}\sigma _{X}\sigma _{Y}\\\rho _{X,Y}\sigma _{X}\sigma _{Y}&\sigma _{Y}^{2}\\\end{bmatrix}}}$。

ノイズの多い状況下では、2 つの確率変数セット間の相関係数を抽出することは容易ではありません。この問題は回帰希釈として知られています。古典的テスト理論では、補正は${\textstyle \rho _{x'y'}={\frac {\rho _{xy}}{\sqrt {\rho _{xx^{\prime }}\rho _{yy^{\prime }}}}}}$ただし、信頼性（または同等の騒音レベル）の推定${\textstyle \sigma _{\epsilon _{x}},\sigma _{\epsilon _{y}}}$) が必要です。 正準相関分析にも同様の問題があります。CCA へのアプローチの一般化とノイズレベルを推定する方法については、別のところで説明されています。^{[ 14 ]}

欠損データの場合、Garrenは最尤推定量を導出した。^{[ 15 ]}

一部の分布（例えば、正規分布以外の安定分布）には、定義された分散が存在しない。

中心化されていないデータの場合、相関係数と、yをxに、xをyにそれぞれ回帰して得られる2 つの回帰直線y = g _X ( x )とx = g Y ( _y )の間の角度φの間に関係があります。(ここで、r > 0の場合は、 φは直線の交点の周りに形成される第 1 象限内で反時計回りに測定され、 r < 0の場合は、第 4 象限から第 2 象限まで反時計回りに測定されます。)標準偏差が等しい場合、r = sec φ − tan φとなることが^{[ 19 ]}で示されます。ここで、sec と tan は三角関数です。

中心化されたデータ（つまり、各変数の平均がゼロになるように、それぞれの変数の標本平均によってシフトされたデータ）の場合、相関係数は、N次元空間における2 つの観測ベクトル間の角度θのコサインとして見ることもできます(各変数のN個の観測値について)。 ^{[ 20 ]}

データセットに対して、中心化されていない（ピアソンに準拠していない）相関係数と中心化された相関係数の両方を決定で​​きます。例として、5 つの国の国民総生産がそれぞれ 10 億ドル、20 億ドル、30 億ドル、50 億ドル、80 億ドルであるとします。同じ 5 つの国（同じ順序で）の貧困率が 11%、12%、13%、15%、18% であるとします。次に、xとy を、上記のデータを含む順序付き 5 要素ベクトルとします。x = (1, 2, 3, 5, 8)およびy = (0.11, 0.12, 0.13, 0.15, 0.18)。

2つのベクトル間の角度θを求める通常の手順（内積を参照）により、中心化されていない相関係数は次のようになります。

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{\left\|\mathbf {x} \right\|\left\|\mathbf {y} \right\|}}={\frac {2.93}{{\sqrt {103}}{\sqrt {0.0983}}}}=0.920814711.}$

この中心化されていない相関係数は、コサイン類似度と同一です。上記のデータは、y = 0.10 + 0.01 xのように、完全に相関するように意図的に選択されています。したがって、ピアソン相関係数は正確に 1 でなければなりません。データを中心化する ( xをℰ( x ) = 3.8、yをℰ( y ) = 0.138 だけシフトする)とすると、 x = (−2.8, −1.8, −0.8, 1.2, 4.2)およびy = (−0.028, −0.018, −0.008, 0.012, 0.042)となり、これから

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{\left\|\mathbf {x} \right\|\left\|\mathbf {y} \right\|}}={\frac {0.308}{{\sqrt {30.8}}{\sqrt {0.00308}}}}=1=\rho _{xy},}$

予想通り。

相関係数の解釈に関するガイドラインを提示した著者は複数いる。^{[ 21 ] [ 22 ]}しかし、そのような基準はすべて、ある意味で恣意的である。^{[ 22 ]}相関係数の解釈は、文脈と目的によって異なる。高品質の機器を使用して物理法則を検証する場合、相関係数0.8は非常に低い値となる可能性があるが、複雑な要因の影響が大きい社会科学では、非常に高い値とみなされる可能性がある。

順列検定は、仮説検定を実行し、信頼区間を構築するための直接的な方法を提供する。ピアソン相関係数に対する順列検定は、次の2つのステップで構成される。

1. 元のペアデータ ( x _i、y _i ) を使用して、ペアをランダムに再定義して新しいデータセット ( x _i、y _{i ′} ) を作成します。ここで、i ′は集合 {1,..., n }の順列です。順列i ′は、すべてのn ! 個の可能な順列に等しい確率でランダムに選択されます。これは、集合 {1, ..., n } からi ′ を無作為に抽出することと同じです。ブートストラップ法は、これと密接に関連するアプローチで、iとi ′ は等しく、{1 , ..., n }から無作為に抽出されます。  
2. ランダム化されたデータから相関係数rを算出する。

順列検定を実行するには、手順 （1）と（2）を多数回繰り返します。順列検定のp値は、手順（2）で生成されたr値のうち、元のデータから計算されたピアソン相関係数よりも大きい値の割合です。ここで「大きい」とは、両側検定か片側 検定かによって、絶対値が大きいか、符号付き値が大きいかのいずれかを意味します。

ブートストラップ法は、ピアソン相関係数の信頼区間を構築するために使用できます。「ノンパラメトリック」ブートストラップでは、n組の観測ペアからn組のペア（x _​​i、yi _）を「復元抽出」で再サンプリングし、再サンプリングされたデータに基づいて相関係数rを計算します。このプロセスを多数回繰り返し、再サンプリングされたr値の経験分布を使用して、統計量の標本分布を近似します。ρの95%信頼区間は、再サンプリングされたr値の2.5パーセンタイルから97.5パーセンタイルまでの区間として定義できます。 

もし${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$はランダム変数であり、それらの間には加法的な正規ノイズを伴う単純な線形関係がある（つまり、y = a + bx + e）ので、相関に関連する標準誤差は

${\displaystyle \sigma _{r}\approx {\frac {1-r^{2}}{\sqrt {n}}}}$

どこ${\displaystyle r}$相関関係と${\displaystyle n}$サンプルサイズ。^{[ 23 ] [ 24 ]}

無相関の二変量正規分布からのペアの場合、スチューデント化されたピアソン相関係数の標本分布は、自由度n − 2 のスチューデントのt分布に従います。具体的には、基礎となる変数が二変量正規分布を持つ場合、変数  

${\displaystyle t={\frac {r}{\sigma _{r}}}=r{\sqrt {\frac {n-2}{1-r^{2}}}}}$

帰無仮説（相関がゼロの場合）では、スチューデントのt分布に従います。 ^{[ 25 ]}サンプルサイズが十分に大きい場合、非正規分布の観測値の場合にも、これは近似的に成り立ちます。^{[ 26 ]} rの臨界値を決定するには、逆関数が必要です。

${\displaystyle r={\frac {t}{\sqrt {n-2+t^{2}}}}.}$

あるいは、大規模サンプルを用いた漸近的アプローチを用いることもできる。

別の初期の論文^{[ 27 ]}では、 ρの一般的な値、小さなサンプルサイズに対するグラフと表が提供され、計算アプローチについて議論されています。

基礎となる変数が正規分布に従わない場合、ピアソンの相関係数の標本分布はスチューデントのt分布に従いますが、自由度は減少します。^{[ 28 ]}

二変量正規分布に従うデータの場合、正規二変量の標本相関係数 rの正確な密度関数f ( r ) は^{[ 29 ] [ 30 ] [ 31 ]です。}

${\displaystyle f(r)={\frac {(n-2)\,\mathrm {\Gamma } (n-1)\left(1-\rho ^{2}\right)^{\frac {n-1}{2}}\left(1-r^{2}\right)^{\frac {n-4}{2}}}{{\sqrt {2\pi }}\,\operatorname {\Gamma } {\mathord {\left(n-{\tfrac {1}{2}}\right)}}(1-\rho r)^{n-{\frac {3}{2}}}}}{}_{2}\mathrm {F} _{1}{\mathord {\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(2n-1);{\tfrac {1}{2}}(\rho r+1)\right)}}}$

どこ${\displaystyle \Gamma }$はガンマ関数であり、${\displaystyle {}_{2}\mathrm {F} _{1}(a,b;c;z)}$はガウス超幾何関数です。

特別な場合${\displaystyle \rho =0}$（母集団相関がゼロの場合）、正確な密度関数f ( r ) は次のように書ける。

${\displaystyle f(r)={\frac {\left(1-r^{2}\right)^{\frac {n-4}{2}}}{\operatorname {\mathrm {B} } {\mathord {\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {n-2}{2}}\right)}}}},}$

どこ${\displaystyle \mathrm {B} }$はベータ関数であり、上記のように、スチューデント化された標本相関係数に対するスチューデントのt分布の密度を表す1つの方法です。

実際には、ρに関する信頼区間と仮説検定は通常、分散安定化変換、フィッシャー変換を使用して実行されます。${\displaystyle F}$:

${\displaystyle F(r)\equiv {\tfrac {1}{2}}\,\ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=\operatorname {artanh} (r)}$

F ( r )は、近似的に正規分布に従う。

${\displaystyle {\text{mean}}=F(\rho )=\operatorname {artanh} (\rho )}$    および標準誤差${\displaystyle ={\text{SE}}={\frac {1}{\sqrt {n-3}}},}$

ここでnはサンプルサイズである。近似誤差はサンプルサイズが大きいほど小さくなる。${\displaystyle n}$そして小さい${\displaystyle r}$そして${\displaystyle \rho _{0}}$それ以外の場合は増加する。

近似を用いると、zスコアは

${\displaystyle z={\frac {x-{\text{mean}}}{\text{SE}}}=[F(r)-F(\rho _{0})]{\sqrt {n-3}}}$

帰無仮説の下では${\displaystyle \rho =\rho _{0}}$サンプルペアが独立かつ同一の分布に従い、二変量正規分布に従うという仮定の下では、正規確率表から近似p値を得ることができます。たとえば、z  =  2.2が観測され、帰無仮説を検定するための両側p値が必要な場合、${\displaystyle \rho =0}$、p値は2Φ(−2.2) = 0.028であり、Φは標準正規累積分布関数である。

ρの信頼区間を求めるために、まずFの信頼区間を計算します（${\displaystyle \rho }$):

${\displaystyle 100(1-\alpha )\%{\text{CI}}:\operatorname {artanh} (\rho )\in [\operatorname {artanh} (r)\pm z_{\alpha /2}{\text{SE}}]}$

逆フィッシャー変換によって、区間は相関スケールに戻される。

${\displaystyle 100(1-\alpha )\%{\text{CI}}:\rho \in [\tanh(\operatorname {artanh} (r)-z_{\alpha /2}{\text{SE}}),\tanh(\operatorname {artanh} (r)+z_{\alpha /2}{\text{SE}})]}$

例えば、サンプルサイズn = 50でr  = 0.7 を観測し、 ρの 95% 信頼区間を求めたいとします。変換後の値は  ${\textstyle \operatorname {arctanh} \left(r\right)=0.8673}$変換後の尺度における信頼区間は${\displaystyle 0.8673\pm {\frac {1.96}{\sqrt {47}}}}$、または（0.5814、1.1532  ）。相関スケールに戻すと（0.5237、0.8188  ）になります。

母集団ピアソン相関係数はモーメントによって定義されるため、母集団共分散が定義され、周辺母集団分散が定義され、かつゼロでない任意の二変量確率分布に対して存在します。コーシー分布などの一部の確率分布は分散が定義されていないため、 XまたはYがそのような分布に従う場合、ρは定義されません。裾の重い分布に従うと疑われるデータを扱う場合など、いくつかの実用的な応用では、これは重要な考慮事項となります。しかし、相関係数の存在は通常問題になりません。たとえば、分布の範囲が有界であれば、ρは常に定義されます。

• 標本サイズが中程度または大きく、母集団が正規分布に従う場合、二変量正規分布においては、標本相関係数は母集団相関係数の最尤推定値であり、漸近的に不偏かつ効率的である。これはおおよそ、標本相関係数よりも正確な推定値を構築することは不可能であることを意味する。
• サンプルサイズが大きく、母集団が正規分布に従わない場合、サンプル相関係数はほぼ偏りのない値を保つが、効率的ではない可能性がある。
• 標本サイズが大きい場合、標本平均、分散、共分散が一致している限り（大数の法則が適用できる場合は保証される） 、標本相関係数は母集団相関係数の一致推定量となる。
• サンプルサイズが小さい場合、サンプル相関係数rはρの不偏推定値ではありません。^{[ 12 ]}代わりに調整済み相関係数を使用する必要があります。定義については、この記事の別の箇所を参照してください。
• サンプルに分散誤差がある場合、不均衡な二値データでは相関関係が異なる可能性があります。 ^{[ 32 ]}

多くの一般的に使用される統計と同様に、標本統計量r は頑健ではないため^{[ 33 ]}、外れ値が存在する場合はその値が誤解を招く可能性があります^{[ 34 ] [ 35 ]} 。具体的には、PMCC は分布的に頑健ではなく^{[ 36 ]}、外れ値耐性もありません^{[ 33 ]} (頑健な統計 § 定義を参照)。X と Y の散布図を調べると、頑健性の欠如が問題となる可能性がある状況が通常明らかになります。そのような場合は、頑健な関連性の尺度を使用することをお勧めします。ただし、ほとんどの頑健な関連性の推定値は何らかの方法で統計的依存性を測定しますが、一般的にピアソン相関係数と同じ尺度で解釈できるものではないことに注意してください。

ピアソン相関係数の統計的推論は、データの分布に影響を受けやすい。データがほぼ正規分布している場合は、正確な検定やフィッシャー変換に基づく漸近検定を適用できるが、そうでない場合は誤解を招く可能性がある。状況によっては、ブートストラップ法を用いて信頼区間を構築したり、順列検定を用いて仮説検定を実施したりできる。これらのノンパラメトリックな手法は、二変量正規性が成り立たない状況において、より有意義な結果をもたらす可能性がある。ただし、これらの手法の標準的なバージョンはデータの交換可能性に依存しており、相関推定値の挙動に影響を与える可能性のある、分析対象のデータペアの順序付けやグループ化は存在しないことを前提としている。

層別分析は、二変量正規性の欠如に対応するか、またはある要因から生じる相関を分離しつつ別の要因を制御する方法の 1 つです。Wがクラスターメンバーシップまたは制御したい別の要因を表す場合、Wの値に基づいてデータを層別化し、各層内で相関係数を計算できます。その後、層レベルの推定値を組み合わせて、Wを制御しながら全体の相関を推定できます。^{[ 37 ]}

標本相関係数rはρの不偏推定値ではありません。二変量正規分布に従うデータの場合、正規二変量の標本相関係数 rの期待値E[ r ]は^{[ 38 ]です。}

${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[r\right]=\rho -{\frac {\rho \left(1-\rho ^{2}\right)}{2n}}+\cdots ,\quad }$したがって、rは偏りのある推定値である${\displaystyle \rho .}$

唯一の最小分散不偏推定量r _adjは^{[ 39 ]}で与えられる。

どこ：

• ${\displaystyle r,n}$上記のように定義され、
• ${\displaystyle \mathbf {_{2}F_{1}} (a,b;c;z)}$はガウス超幾何関数です。

ほぼ不偏推定量r _{adj は}、 E[ r ]を切り捨て、この切り捨てられた方程式を解くことによって得られます。

式（2）の近似解は

（３）

• ${\displaystyle r,n}$上記のように定義され、
• r _adjは最適ではない推定値であり、
• r _{adj は}log( f ( r ))を最大化することによっても得られます
• r _{adj は}nの値が大きい場合に最小の分散を持ちます。
• r _adjは1 ⁄ ( n − 1)のオーダーのバイアスを持っています。

別の提案^{[ 12 ]}調整相関係数は

${\displaystyle r_{\text{adj}}={\sqrt {1-{\frac {(1-r^{2})(n-1)}{(n-2)}}}}.}$

nの値が大きい場合、 r _adj ≈ rとなります。 

相関関係にある観測値には、重みベクトルwで表現できる重要度の異なる段階があると仮定します。重みベクトルw (すべて長さn ) を使用したベクトルxとyの間の相関を計算するには、^{[ 40 ] [ 41 ]} 

• 加重平均:$${\displaystyle \operatorname {m} (x;w)={\frac {\sum _{i}w_{i}x_{i}}{\sum _{i}w_{i}}}.}$$
• 重み付き共分散$${\displaystyle \operatorname {cov} (x,y;w)={\frac {\sum _{i}w_{i}\cdot (x_{i}-\operatorname {m} (x;w))(y_{i}-\operatorname {m} (y;w))}{\sum _{i}w_{i}}}.}$$
• 加重相関$${\displaystyle \operatorname {corr} (x,y;w)={\frac {\operatorname {cov} (x,y;w)}{\sqrt {\operatorname {cov} (x,x;w)\operatorname {cov} (y,y;w)}}}.}$$

反射相関は、データが平均値を中心にしていないピアソン相関の変形です。母集団反射相関は

${\displaystyle \operatorname {corr} _{r}(X,Y)={\frac {\operatorname {\mathbb {E} } [\,X\,Y\,]}{\sqrt {\operatorname {\mathbb {E} } [\,X^{2}\,]\cdot \operatorname {\mathbb {E} } [\,Y^{2}\,]}}}.}$

反射相関は対称的であるが、並進に対して不変ではない。

${\displaystyle \operatorname {corr} _{r}(X,Y)=\operatorname {corr} _{r}(Y,X)=\operatorname {corr} _{r}(X,bY)\neq \operatorname {corr} _{r}(X,a+bY),\quad a\neq 0,b>0.}$

サンプル反射相関はコサイン類似度と同等である。

${\displaystyle rr_{xy}={\frac {\sum x_{i}y_{i}}{\sqrt {(\sum x_{i}^{2})(\sum y_{i}^{2})}}}.}$

サンプル反射相関の加重バージョンは

${\displaystyle rr_{xy,w}={\frac {\sum w_{i}x_{i}y_{i}}{\sqrt {(\sum w_{i}x_{i}^{2})(\sum w_{i}y_{i}^{2})}}}.}$

スケーリング相関はピアソン相関の変形であり、時系列の高速成分間の相関を明らかにするために、データの範囲が意図的に制御された方法で制限されます。^{[ 42 ]}スケーリング相関は、短いデータセグメントにわたる平均相関として定義されます。

させて${\displaystyle K}$信号全体の長さに収まるセグメントの数${\displaystyle T}$特定のスケールに対して${\displaystyle s}$:

${\displaystyle K=\operatorname {round} \left({\frac {T}{s}}\right).}$

信号全体にわたるスケーリングされた相関${\displaystyle {\bar {r}}_{s}}$は次のように計算されます。

${\displaystyle {\bar {r}}_{s}={\frac {1}{K}}\sum \limits _{k=1}^{K}r_{k},}$

どこ${\displaystyle r_{k}}$セグメントのピアソン相関係数${\displaystyle k}$。

パラメータを選択することで${\displaystyle s}$これにより、値の範囲が縮小され、長時間の相関関係が除去され、短時間の相関関係のみが明らかになる。したがって、遅い成分の寄与は除去され、速い成分の寄与が保持される。

2 つの変数XとYの距離尺度は、ピアソン距離として知られており、相関係数から次のように定義できます^{[ 43 ]}

${\displaystyle d_{X,Y}=1-\rho _{X,Y}.}$

ピアソン相関係数が[−1, +1]の範囲にあることを考慮すると、ピアソン距離は[0, 2]の範囲にある。ピアソン距離は、ゲインとオフセットが不明な通信およびストレージのクラスタ分析とデータ検出に使用されている。^{[ 44 ]}

このように定義されたピアソン「距離」は、負の相関に1より大きい距離を割り当てます。実際には、強い正の相関と負の相関の両方が意味を持つため、ピアソン「距離」を最近傍アルゴリズムに使用する場合は注意が必要です。このようなアルゴリズムは、正の相関を持つ近傍のみを含め、負の相関を持つ近傍を除外します。あるいは、絶対値の距離、${\displaystyle d_{X,Y}=1-|\rho _{X,Y}|}$正の相関と負の相関の両方を考慮に入れる手法を適用できます。正の相関と負の相関に関する情報は、後で個別に抽出できます。

単位円[ 0, 2π)上で定義された変数X = { x ₁ ,..., x _n } およびY = { y ₁ ,..., y _n } に対して、ピアソン相関係数の円形版を定義することが可能です。^{[ 45 ]}これは、 XおよびYのデータ点を正弦関数で変換することにより行われ、相関係数は次のように与えられます。

${\displaystyle r_{\text{circular}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\sin(x_{i}-{\bar {x}})\sin(y_{i}-{\bar {y}})}{{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\sin(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\sin(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}}}}$

どこ${\displaystyle {\bar {x}}}$そして${\displaystyle {\bar {y}}}$これらはXとYの円形平均値です。この尺度は、データの角度方向が重要な気象学などの分野で役立ちます。 

母集団またはデータセットが2つ以上の変数によって特徴付けられる場合、偏相関係数は、選択された他の変数のサブセットの変動に応じて両方の変数が変化する方法では説明できない、2つの変数間の依存関係の強さを測定します。

2 つの観測量について、${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$二体量子系におけるピアソン相関係数は次のように定義される^{[ 46 ] [ 47 ]。}

${\displaystyle \mathbb {Cor} (X,Y)={\frac {\mathbb {E} [X\otimes Y]-\mathbb {E} [X]\cdot \mathbb {E} [Y]}{\sqrt {\mathbb {V} [X]\cdot \mathbb {V} [Y]}}}\,,}$

どこ

• ${\displaystyle \mathbb {E} [X]}$は観測可能な値の期待値である。${\displaystyle X}$、
• ${\displaystyle \mathbb {E} [Y]}$は観測可能な値の期待値である。${\displaystyle Y}$、
• ${\displaystyle \mathbb {E} [X\otimes Y]}$は観測可能な値の期待値である。${\displaystyle X\otimes Y}$、
• ${\displaystyle \mathbb {V} [X]}$は観測量の分散である${\displaystyle X}$、 そして
• ${\displaystyle \mathbb {V} [Y]}$は観測量の分散である${\displaystyle Y}$。

${\displaystyle \mathbb {Cor} (X,Y)}$対称である、つまり、${\displaystyle \mathbb {Cor} (X,Y)=\mathbb {Cor} (Y,X)}$また、その絶対値はアフィン変換に対して不変である。