片側検定と両側検定

統計的有意性検定において、片側検定と両側検定は、検定統計量の観点から、データ セットから推定されるパラメータの統計的有意性を計算する代替的な方法です。両側検定は、推定値が特定の範囲の値より大きいか小さい場合、たとえば、受験者が特定の範囲のスコアを上回るか下回るかなどに適しています。この方法は帰無仮説検定に使用され、推定値が重要な領域に存在する場合、対立仮説が帰無仮説よりも受け入れられます。片側検定は、推定値が基準値から左または右のどちらか一方の方向のみに逸脱し、両方に逸脱しない場合に適しています。例としては、機械が 1% を超える不良品を生産するかどうかが挙げられます。この状況では、推定値が片側重要な領域の 1 つに存在する場合、関心の方向 (より大きいか小さいか) に応じて、対立仮説が帰無仮説よりも受け入れられます。別名は片側検定、両側検定です。 「裾」という用語が使用されるのは、観測結果が帰無仮説の棄却につながる分布の極端な部分が小さく、黄色の正規分布や、右図の緑色の「ベル曲線」のように、ゼロに向かって「裾を細く」なることが多いためです。

片側検定は、適合度の測定によく使われるカイ二乗分布などの片側しかない非対称分布、または位置の推定によく使われる正規分布などの両側しかない分布の片側に使用され、方向を指定することに対応します。両側検定は、正規分布のように両側に分布がある場合にのみ適用され、どちらの方向も有意であるとみなすことに対応します。^{[1] [2]}

ロナルド・フィッシャーのアプローチでは、検定統計量のp値が（検定統計量の標本分布に対して）十分に極端であり、偶然の結果である可能性が低いと判断された場合、帰無仮説_H 0は棄却される。これは通常、パラメータの統計的有意性を計算する際に、結果として得られるp値を で表される指定された有意水準と比較することによって行われる。 片側検定では、「極端」は「十分に小さい」または「十分に大きい」のいずれかを意味するように事前に決定され、他の方向の値は有意ではないと見なされる。左または右の裾の確率を片側p値として報告することができ、これは最終的に検定統計量がH _{0から逸脱する方向に対応する。} ^[3]両側検定では、「極端」は「十分に小さいか十分に大きい」のいずれかを意味し、どちらの方向の値も有意であると見なされる。^[4]与えられた検定統計量に対して、1 つの両側検定と、各方向に 1 つずつ 2 つの片側検定があります。有意水準 が与えられた場合、両側検定の場合、臨界領域は分布の両端に存在し、それぞれの面積は になります。あるいは、片側検定の場合、臨界領域は 1 つの両端にのみ存在し、面積は になります。検定統計量に対する両側検定の与えられた有意水準では、同じ検定統計量に対する対応する片側検定は、データが検定で指定された方向にある場合は 2 倍有意（p値の半分）と見なされ、データが検定で指定された臨界領域と反対の方向にある場合 はまったく有意ではない（p値 を超える）と見なされます。${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha /2}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha}$

たとえば、コインを投げる場合、表に偏っているかどうかをテストするのは片側検定であり、「すべて表」のデータが得られれば非常に有意であると見なされますが、「すべて裏」のデータが得られてもまったく有意ではありません ( p = 1)。対照的に、どちらかの方向 に偏っているかどうかをテストするのは両側検定であり、「すべて表」または「すべて裏」のどちらも非常に有意なデータと見なされます。医療検査では、一般的に治療が偶然よりも良い結果をもたらすかどうかに関心があるため、片側検定が推奨されますが、科学分野ではより悪い結果も興味深いため、治療が偶然とは異なる結果、つまりより良い結果またはより悪い結果をもたらすかどうかをテストする代わりに、両側検定を使用する必要があります。 ^{[5]典型的な}女性がお茶を味わう実験では、フィッシャーは、問題の女性が2 種類のお茶の淹れ方を偶然よりもよく区別できるかどうかをテストしたのであって、彼女の能力が偶然と異なるかどうかではなく、片側検定を使用したのです。

コイン投げでは、帰無仮説は確率 0.5 のベルヌーイ試行のシーケンスであり、表の場合は 1、裏の場合は 0 となるランダム変数Xが生成されます。また、一般的な検定統計量は標本平均(表の数)です。コインが表に偏っているかどうかを検定する場合は、片側検定が使用されます。表の数が多い場合にのみ有意になります。この場合、標本平均が 1 である 5 回表が出た場合のデータ セット (HHHHH) には、(2 つの結果が出る 5 回連続のコイントス - ((1/2)^5 =1/32)) が発生する可能性があります。これは、有意水準 (カットオフ境界に対応する有意水準) で分析された場合に となり、有意になります (帰無仮説を棄却) 。ただし、コインが表か裏のどちらに偏っているかをテストする場合は、両側テストが使用され、5 回表が出た場合のデータ セット (標本平均 1) は、5 回裏が出た場合のデータ セット (標本平均 0) と同じくらい極端になります。結果として、p値は となり、検定が有意水準 で分析された場合にこれは有意ではありません (帰無仮説を棄却しません) 。 ${\displaystyle {\bar {X}}.}$${\displaystyle 1/32=0.03125\approx 0.03}$${\displaystyle p\approx 0.03}$${\displaystyle \alpha =0.05}$${\displaystyle 2/32=0.0625\approx 0.06}$${\displaystyle \alpha =0.05}$

p値は、カール・ピアソン^{[6]がピアソン}のカイ二乗検定で導入したもので、彼はP（元の表記）を統計量が特定のレベル以上になる確率と定義しました。これは片側定義であり、カイ二乗分布は非対称で、正またはゼロの値のみを想定し、上側の裾のみを持ちます。これは理論分布とデータの適合度を測定し、ゼロは理論分布と完全に一致することに対応します。したがって、 p値は適合度がこれほど悪いかそれ以下になる可能性を測定します。

片側検定と両側検定の区別は、ロナルド・フィッシャーが影響力のある著書「研究者のための統計的手法」 [ ^7]で広めた。フィッシャーは、この区別を特に正規分布に適用した。正規分布は、2つの等しい裾を持つ対称分布である。正規分布は、適合度ではなく位置の一般的な尺度であり、位置の推定値が理論的な位置（例：標本平均と理論平均の比較）より上か下かに対応する2つの裾を持つ。正規分布のような対称分布の場合、片側p値は両側p値のちょうど半分になる：^[7]

場合によっては、正であることがわかっている偏差が観測値を超える確率を知りたいのに対し、正と負の確率が同じくらいある偏差が観測値を超える確率が求められる場合があり、後者の確率は常に前者の半分であるため、混乱が生じることがあります。

— ロナルド・フィッシャー、研究者のための統計手法

フィッシャーは、実験計画法（1935年）の中で、特定の結果の確率そのものよりも、検定統計量の観測値やそれより極端な値など裾を測定することの重要性を強調しました。 ^[8]彼は、特定のデータセットはありそうにないかもしれないが（帰無仮説）、より極端な結果はありそうなので、この観点から見ると、極端にありそうにない特定のデータは有意とはみなされないと説明しています。

帰無仮説において検定統計量がスチューデントのt分布に従う場合 (基礎変数が未知のスケーリング係数を持つ正規分布に従う場合によく見られます)、その検定は片側 t 検定または両側t検定と呼ばれます。検定がサンプルからの推定値ではなく実際の母集団の平均と分散を使用して実行される場合、それは片側 Z 検定または両側Z検定と呼ばれます。

tおよびZの統計表には、片側検定と両側検定の両方の臨界値が示されています。つまり、標本分布の一方または他方の端にある領域全体を遮断する臨界値と、標本分布の両端にある領域 (サイズの半分) を遮断する臨界値が示されています。

• 2つのサンプルを比較する場合の対応のある差の検定