一致相関係数

統計学において、一致相関係数は、再現性や評価者間信頼性を評価するために、2つの変数間の一致度を測定する。

一致相関係数の形式$\displaystyle \rho _{c}}$^{[ 1 ]}として

${\displaystyle \rho _{c}={\frac {2\rho \sigma _{x}\sigma _{y}}{\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+(\mu _{x}-\mu _{y})^{2}}},}$

どこ${\displaystyle \mu _{x}}$そして${\displaystyle \mu _{y}}$は2 つの変数の平均値であり、$\displaystyle \sigma _{x}^{2}}$そして${\displaystyle \sigma _{y}^{2}}$これらは対応する分散です。${\displaystyle \rho }$これは、2つの変数間のピアソン相関係数です。

これは定義^{[ 1 ]}から導かれる。

${\displaystyle \rho _{c}=1-{\frac {{\rm {対角線x=yからの期待直交二乗距離}}}{{\rm {独立性を仮定した場合の対角線x=yからの期待直交二乗距離}}}}.}$

長さに基づいて一致相関係数を計算すると、${\displaystyle N}$データセット（つまり、${\displaystyle N}$ペアになった値${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$、 のために${\displaystyle n=1,...,N}$)、その形式は

${\displaystyle {\hat {\rho }}_{c}={\frac {2s_{xy}}{s_{x}^{2}+s_{y}^{2}+({\bar {x}}-{\bar {y}})^{2}}},}$

平均値は次のように計算されます。

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}x_{n}}$

そして分散

$\displaystyle s_{x}^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}(x_{n}-{\bar {x}})^{2}}$

共分散

${\displaystyle s_{xy}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}(x_{n}-{\bar {x}})(y_{n}-{\bar {y}})。}$

通常の相関係数（ピアソンの相関係数）は、分散の推定に偏りのあるバージョンを使用するか偏りのないバージョンを使用するかに左右されないが、一致相関係数はそうではない。元の論文で、Linは正規化を提案した。${\displaystyle 1/N}$正規化、^{[ 1 ]} 一方、別の記事ではニッカーソンは${\displaystyle 1/(N-1)}$[ ^{2 ]} つまり、一致相関係数は実装によって若干異なる方法で計算される可能性がある^。

一致相関係数は、クラス内相関と呼ばれるいくつかの指標とほぼ同じです。異なるデータセットで一致相関係数と「通常の」クラス内相関を比較したところ、2つの相関の間にはわずかな違いしか見られず、1つのケースでは小数点以下第3位までしか違いがありませんでした。^{[ 2 ]}また、一致相関係数の考え方は「1970年にKrippendorff ^{[ 4 ]}によって既に発表された結果と非常によく似ている」とも述べられています 。^{[ 3 ]}

元の記事^{[ 1 ]}では、Linは複数のクラス（2つだけでなく）に対応する形式を提案した。10年以上後、この形式の修正版が発行された。^{[ 5 ]}

一致相関係数の使用例の1つは、機能的磁気共鳴画像法による脳スキャンの分析方法の比較である。^{[ 6 ]}

Peter UrbaniによるExcelとVBAの簡単な実装については、こちらをご覧ください。