RV係数

統計学では、RV係数^[1]は、ピアソン相関係数の2乗の多変量一般化 です（RV係数は0から1の間の値を取るため）。^{[2]これは、それぞれが}行列 で表すことができる2つの点の集合の近さを測定します。

統計的多変量データ分析における主要なアプローチはすべて、関連する制約の下でRV係数が最大化される共通の枠組みに組み込むことができます。具体的には、これらの統計的手法には以下が含まれます。^[1]

• 主成分分析
• 正準相関分析
• 多変量回帰
• 統計的分類（線形判別）。

RV係数の応用例の1つは機能的神経画像診断であり、2人の被験者の一連の脳スキャン間の類似性を測定することができます^[3] 。または、同じ被験者の異なるスキャン間の類似性を測定することができます^{[4] 。}

RV係数の定義は、 ベクトル値ランダム変数の「分散」と「共分散」と呼ばれるスカラー値量の定義に関するアイデア^[5]を利用しています。標準的な使用法では、ベクトルランダム変数の分散と共分散の行列を持つことに注意します。これらの革新的な定義を考えると、RV係数は通常の方法で定義された相関係数になります。

XとYが中心ランダムベクトル（列ベクトル）の行列であり、共分散行列が次のように与えられると 仮定する。

${\displaystyle \Sigma _{XY}=\operatorname {E} (XY^{\top })\,,}$

スカラー値の共分散（COVVと表記）は^{[5]で定義される。}

${\displaystyle \operatorname {COVV} (X,Y)=\operatorname {Tr} (\Sigma _{XY}\Sigma _{YX})\,.}$

スカラー値の分散は次のように定義されます。

${\displaystyle \operatorname {VAV} (X)=\operatorname {Tr} (\Sigma _{XX}^{2})\,.}$

これらの定義によれば、分散と共分散は、既存のベクトルを別のベクトルの要素で拡張することによって新しいベクトル量を形成することに関して、一定の加法的な性質を持つ。^[5]

RV係数は^{[5]で定義される。}

${\displaystyle \mathrm {RV} (X,Y)={\frac {\オペレーター名 {COVV} (X,Y)}{\sqrt {\オペレーター名 {VAV} (X)\オペレーター名 {VAV} (Y)} }}\,.}$

係数は構造上0から1の間の値を取るが、分母が最大到達値に対して大きすぎることが多いため、1に近い値になることはめったにない。^[6]

次元がそれぞれとである既知の対角ブロックとが与えられ、一般性を失うことなく であると仮定すると、分子が最大限達成可能であることが証明されています^[7]。 ここで、(resp. ) は、 (resp. )の固有値を左上隅から右下隅まで降順に並べた対角行列を表し、は 行列です。 ${\displaystyle \Sigma _{XX}}$${\displaystyle \Sigma_{YY}}$${\displaystyle p\times p}$${\displaystyle q\times q}$${\displaystyle p\leq q}$${\displaystyle \operatorname {Tr} (\Lambda _{X}\Pi \Lambda _{Y}),}$${\displaystyle \Lambda_{X}}$${\displaystyle \Lambda_{Y}}$${\displaystyle \Sigma _{XX}}$${\displaystyle \Sigma_{YY}}$${\displaystyle \Pi}$${\displaystyle p\times q}$${\displaystyle (I_{p}\ 0_{p\times (qp)})}$

これを踏まえて、モーダントとセガーズ^[7]は、分母が分子で達成可能な最大値となるRV係数の調整版を提案した。

${\displaystyle {\bar {\operatorname {RV} }}(X,Y)={\frac {\operatorname {Tr} (\Sigma _{XY}\Sigma _{YX})}{\operatorname {Tr} (\Lambda _{X}\Pi \Lambda _{Y})}}={\frac {\operatorname {Tr} (\Sigma _{XY}\Sigma _{YX})}{\sum _{j=1}^{min(p,q)}(\Lambda _{X})_{j,j}(\Lambda _{Y})_{j,j}}}.}$

この調整の影響は実際に明らかに現れています。^[7]

• 合同係数
• 距離相関