定義
距離共分散 まず、標本距離共分散 の定義から始めましょう。実数値またはベクトル値の確率変数 ( X 、 Y ) のペアから統計的標本 ( X k 、 Y k ) 、 = 1、2 ... 、n とします。最初に、すべてのペアワイズ距離を含む n × n 距離行列 ( a j 、 k b j 、 k
1 j 、 k = ‖ X j − X k ‖ 、 j 、 k = 1 、 2 、 … 、 n 、 b j 、 k = ‖ Y j − Y k ‖ 、 j 、 k = 1 、 2 、 … 、 n 、 {\displaystyle {\begin{aligned}a_{j,k}&=\|X_{j}-X_{k}\|,\qquad j,k=1,2,\ldots ,n,\\b_{j,k}&=\|Y_{j}-Y_{k}\|,\qquad j,k=1,2,\ldots ,n,\end{aligned}}} ここで、|| ⋅ ||はユークリッドノルム を表します。次に、すべての二重中心距離を取ります。
A j 、 k := 1 j 、 k − 1 ¯ j ⋅ − 1 ¯ ⋅ k + 1 ¯ ⋅ ⋅ 、 B j 、 k := b j 、 k − b ¯ j ⋅ − b ¯ ⋅ k + b ¯ ⋅ ⋅ 、 {\displaystyle A_{j,k}:=a_{j,k}-{\overline {a}}_{j\cdot }-{\overline {a}}_{\cdot k}+{\overline {a}}_{\cdot \cdot },\qquad B_{j,k}:=b_{j,k}-{\overline {b}}_{j\cdot }-{\overline {b}}_{\cdot k}+{\overline {b}}_{\cdot \cdot },} どこ1 ¯ j ⋅ {\displaystyle \textstyle {\overline {a}}_{j\cdot }} j 1 ¯ ⋅ k {\displaystyle \textstyle {\overline {a}}_{\cdot k}} k 1 ¯ ⋅ ⋅ {\displaystyle \textstyle {\overline {a}}_{\cdot \cdot }} は、 X 全体平均 です。b 値についても同様の表記法です。（中心化された距離行列 ( A j , k B j , k サンプル距離共分散（スカラー）は、単純に積 A j , k B j , k
dCov n 2 （ X 、 Y ） := 1 n 2 ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n A j 、 k B j 、 k 。 {\displaystyle \operatorname {dCov} _{n}^{2}(X,Y):={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}A_{j,k}\,B_{j,k}.} 統計量T n n dCov 2 n X , Y ) は、任意の次元のランダムベクトルの独立性に関する一貫性のある多変量検定を決定します。実装については、R のenergyパッケージの dcov.test 関数を参照してください。
距離共分散 の母集団値は、同様の方法で定義できます。Xを 確率分布 μ を持つp 次元ユークリッド空間の値をとる確率変数とし、Y を 確率分布ν を持つq 次元ユークリッド空間の値をとる確率変数とし、X とY の 期待値が有限であると仮定します。
1 μ （ x ） := E [ ‖ X − x ‖ ] 、 D （ μ ） := E [ 1 μ （ X ） ] 、 d μ （ x 、 x ′ ） := ‖ x − x ′ ‖ − 1 μ （ x ） − 1 μ （ x ′ ） + D （ μ ） 。 {\displaystyle a_{\mu }(x):=\operatorname {E} [\|Xx\|],\quad D(\mu ):=\operatorname {E} [a_{\mu }(X)],\quad d_{\mu }(x,x'):=\|xx'\|-a_{\mu }(x)-a_{\mu }(x')+D(\mu ).} 最後に、 X とY の二乗距離共分散の母集団値を次のように定義する。
dCov 2 （ X 、 Y ） := E [ d μ （ X 、 X ′ ） d ν （ Y 、 Y ′ ） ] 。 {\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y):=\operatorname {E} {\big [}d_{\mu }(X,X')d_{\nu }(Y,Y'){\big ]}.} これは以下の定義と同等であることを示すことができる。
dCov 2 （ X 、 Y ） := E [ ‖ X − X ′ ‖ ‖ Y − Y ′ ‖ ] + E [ ‖ X − X ′ ‖ ] E [ ‖ Y − Y ′ ‖ ] − E [ ‖ X − X ′ ‖ ‖ Y − Y 」 ‖ ] − E [ ‖ X − X 」 ‖ ‖ Y − Y ′ ‖ ] = E [ ‖ X − X ′ ‖ ‖ Y − Y ′ ‖ ] + E [ ‖ X − X ′ ‖ ] E [ ‖ Y − Y ′ ‖ ] − 2 E [ ‖ X − X ′ ‖ ‖ Y − Y 」 ‖ ] 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y):={}&\operatorname {E} [\|XX'\|\,\|YY'\|]+\operatorname {E} [\|XX'\|]\,\operatorname {E} [\|YY'\|]\\&\qquad {}-\operatorname {E} [\|XX'\|\,\|YY''\|]-\operatorname {E} [\|XX''\|\,\|YY'\|]\\={}&\operatorname {E} [\|XX'\|\,\|YY'\|]+\operatorname {E} [\|XX'\|]\,\operatorname {E} [\|YY'\|]\\&\qquad {}-2\operatorname {E} [\|XX'\|\,\|YY''\|],\end{aligned}}} ここで、E （ X 、 Y ） 、 {\displaystyle \textstyle (X,Y),} （ X ′ 、 Y ′ ） 、 {\displaystyle \textstyle (X',Y'),} （ X 」 、 Y 」 ） {\displaystyle \textstyle (X'',Y'')} （ X ′ 、 Y ′ ） {\displaystyle \textstyle (X',Y')} （ X 」 、 Y 」 ） {\displaystyle \textstyle (X'',Y'')} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} 共分散 covを 用いて次のように表すことができる。
dCov 2 （ X 、 Y ） = カバー （ ‖ X − X ′ ‖ 、 ‖ Y − Y ′ ‖ ） − 2 カバー （ ‖ X − X ′ ‖ 、 ‖ Y − Y 」 ‖ ） 。 {\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)=\operatorname {cov} (\|XX'\|,\|YY'\|)-2\operatorname {cov} (\|XX'\|,\|YY''\|)。} この恒等式は、距離共分散が距離の共分散cov( ‖ X − X' ‖ , ‖ Y − Y' ‖ )とは異なることを示している。Xと Y が独立でない場合でも、これはゼロになる可能性がある。 [ 6 ]
あるいは、距離共分散は、確率変数の結合特性関数とそれらの周辺特性関数の積との間の距離の重み付きL2 ノルム として定義でき ます。 [ 7 ]
dCov 2 （ X 、 Y ） = 1 c p c q ∫ R p + q | φ X 、 Y （ s 、 t ） − φ X （ s ） φ Y （ t ） | 2 | s | p 1 + p | t | q 1 + q d t d s {\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)={\frac {1}{c_{p}c_{q}}}\int _{\mathbb {R} ^{p+q}}{\frac {\left|\varphi _{X,Y}(s,t)-\varphi _{X}(s)\varphi _{Y}(t)\right|^{2}}{|s|_{p}^{1+p}|t|_{q}^{1+q}}}\,dt\,ds} どこφ X 、 Y （ s 、 t ） {\displaystyle \varphi _{X,Y}(s,t)} φ X （ s ） {\displaystyle \varphi _{X}(s)} φ Y （ t ） {\displaystyle \varphi _{Y}(t)} はそれぞれ( X , Y ) 、 X 、Y の特性関数 であり、p 、qは X とY のユークリッド次元、したがってs とt のユークリッド次元を表し 、c p c q 重み関数 （ c p c q | s | p 1 + p | t | q 1 + q ） − 1 {\displaystyle ({c_{p}c_{q}}{|s|_{p}^{1+p}|t|_{q}^{1+q}})^{-1}} 不変な尺度 を生成するように選択されます。 [ 7 ] e isX とe itY は、 s とt で与えられる異なる周期を持つX とY の周期的表現であり、距離共分散の特性関数の定義の分子にある式ϕ X , Y ( s , t ) − ϕ X ( s ) ϕ Y ( t )は、単に e isX e itY の古典的な共分散であるということです。特性関数の定義は、dCov 2 ( X , Y ) = 0がX とY が独立である場合に限り、かつその場合に限り、であることを明確に示しています。
距離相関 2 つの確率変数の距離相関 は、それらの距離共分散を 距離標準偏差 の積で割ることによって得られます。距離相関は、
dCor 2 （ X 、 Y ） = dCov 2 （ X 、 Y ） dVar 2 （ X ） dVar 2 （ Y ） 、 {\displaystyle \operatorname {dCor} ^{2}(X,Y)={\frac {\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)}{\sqrt {\operatorname {dVar} ^{2}(X)\,\operatorname {dVar} ^{2}(Y)}}},} また、標本距離相関は 、上記の母集団係数に標本距離共分散と距離分散を代入することによって定義される。
サンプル距離相関を簡単に計算するには、R のenergy パッケージのdcor 関数を参照してください。
不動産
距離共分散 dCov （ X 、 Y ） ≥ 0 {\displaystyle \operatorname {dCov} (X,Y)\geq 0} dCov n （ X 、 Y ） ≥ 0 {\displaystyle \operatorname {dCov} _{n}(X,Y)\geq 0} dCov 2 （ 1 1 + b 1 C 1 X 、 1 2 + b 2 C 2 Y ） = | b 1 b 2 | dCov 2 （ X 、 Y ） {\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(a_{1}+b_{1}\,\mathbf {C} _{1}\,X,a_{2}+b_{2}\,\mathbf {C} _{2}\,Y)=|b_{1}\,b_{2}|\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)} 1 1 、 1 2 {\displaystyle a_{1},a_{2}} b 1 、 b 2 {\displaystyle b_{1},b_{2}} C 1 、 C 2 {\displaystyle \mathbf {C} _{1},\mathbf {C} _{2}} ランダムベクトルが（ X 1 、 Y 1 ） {\displaystyle (X_{1},Y_{1})} （ X 2 、 Y 2 ） {\displaystyle (X_{2},Y_{2})} dCov （ X 1 + X 2 、 Y 1 + Y 2 ） ≤ dCov （ X 1 、 Y 1 ） + dCov （ X 2 、 Y 2 ） 。 {\displaystyle \operatorname {dCov} (X_{1}+X_{2},Y_{1}+Y_{2})\leq \operatorname {dCov} (X_{1},Y_{1})+\operatorname {dCov} (X_{2},Y_{2}).} X 1 {\displaystyle X_{1}} Y 1 {\displaystyle Y_{1}} X 2 {\displaystyle X_{2}} Y 2 {\displaystyle Y_{2}} X 1 、 X 2 、 Y 1 、 Y 2 {\displaystyle X_{1},X_{2},Y_{1},Y_{2}} dCov （ X 、 Y ） = 0 {\displaystyle \operatorname {dCov} (X,Y)=0} X とY が独立である場合に限る。この最後の特性は、中心距離を用いて作業することによる最も重要な効果です。
統計dCov n 2 （ X 、 Y ） {\displaystyle \operatorname {dCov} _{n}^{2}(X,Y)} dCov 2 （ X 、 Y ） {\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)}
E [ dCov n 2 （ X 、 Y ） ] = n − 1 n 2 { （ n − 2 ） dCov 2 （ X 、 Y ） + E [ ‖ X − X ′ ‖ ] E [ ‖ Y − Y ′ ‖ ] } = n − 1 n 2 E [ ‖ X − X ′ ‖ ] E [ ‖ Y − Y ′ ‖ ] 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [\operatorname {dCov} _{n}^{2}(X,Y)]&={\frac {n-1}{n^{2}}}\left\{(n-2)\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)+\operatorname {E} [\|X-X'\|]\,\operatorname {E} [\|Y-Y'\|]\right\}\\[6pt]&={\frac {n-1}{n^{2}}}\operatorname {E} [\|X-X'\|]\,\operatorname {E} [\|Y-Y'\|].\end{aligned}}} 不偏推定 量dCov 2 （ X 、 Y ） {\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)}
一般化 距離共分散は、ユークリッド距離のべき乗を含むように一般化できます。
dCov 2 （ X 、 Y ; α ） := E [ ‖ X − X ′ ‖ α ‖ Y − Y ′ ‖ α ] + E [ ‖ X − X ′ ‖ α ] E [ ‖ Y − Y ′ ‖ α ] − 2 E [ ‖ X − X ′ ‖ α ‖ Y − Y 」 ‖ α ] 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y;\alpha ):={}&\operatorname {E} [\|X-X'\|^{\alpha }\,\|Y-Y'\|^{\alpha }]+\operatorname {E} [\|X-X'\|^{\alpha }]\,\operatorname {E} [\|Y-Y'\|^{\alpha }]\\&\qquad {}-2\operatorname {E} [\|X-X'\|^{\alpha }\,\|Y-Y''\|^{\alpha }].\end{aligned}}} そして、すべての0 < α < 2 {\displaystyle 0<\alpha <2} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} dCov 2 （ X 、 Y ; α ） = 0 {\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y;\alpha )=0} α = 2 {\displaystyle \alpha =2} （ X 、 Y ） {\displaystyle (X,Y)} dCor （ X 、 Y ; α = 2 ） {\displaystyle \operatorname {dCor} (X,Y;\alpha =2)} 1 k 、 ℓ {\displaystyle a_{k,\ell }} b k 、 ℓ {\displaystyle b_{k,\ell }} α {\displaystyle \alpha } 0 < α ≤ 2 {\displaystyle 0<\alpha \leq 2} α {\displaystyle \alpha }
dCov n 2 （ X 、 Y ; α ） := 1 n 2 ∑ k 、 ℓ A k 、 ℓ B k 、 ℓ 。 {\displaystyle \operatorname {dCov} _{n}^{2}(X,Y;\alpha ):={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k,\ell }A_{k,\ell }\,B_{k,\ell }.} 拡張できるdCov {\displaystyle \operatorname {dCov} } 空間 値ランダム変数 X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} X {\displaystyle X} μ {\displaystyle \mu } d {\displaystyle d} 1 μ （ x ） := E [ d （ X 、 x ） ] {\displaystyle a_{\mu }(x):=\operatorname {E} [d(X,x)]} D （ μ ） := E [ 1 μ （ X ） ] {\displaystyle D(\mu ):=\operatorname {E} [a_{\mu }(X)]} 1 μ {\displaystyle a_{\mu }} X {\displaystyle X} d μ （ x 、 x ′ ） := d （ x 、 x ′ ） − 1 μ （ x ） − 1 μ （ x ′ ） + D （ μ ） {\displaystyle d_{\mu }(x,x'):=d(x,x')-a_{\mu }(x)-a_{\mu }(x')+D(\mu )} Y {\displaystyle Y} ν {\displaystyle \nu }
dCov 2 （ X 、 Y ） := E [ d μ （ X 、 X ′ ） d ν （ Y 、 Y ′ ） ] 。 {\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y):=\operatorname {E} {\big [}d_{\mu }(X,X')d_{\nu }(Y,Y'){\big ]}.} これは、すべてのそのようなものに対して非負であるX 、 Y {\displaystyle X,Y} （ M 、 d ） {\displaystyle (M,d)} （ M 、 d 1 / 2 ） {\displaystyle (M,d^{1/2})} はヒルベルト空間 の部分集合と等長で ある。[ 13 ] dCov 2 （ X 、 Y ） = 0 {\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)=0} X 、 Y {\displaystyle X,Y}
ブラウン運動の共分散は、共分散の概念を確率過程に一般化することによって導き出される。確率変数XとYの共分散の二乗は、次の形式で表すことができる。
カバー （ X 、 Y ） 2 = E [ （ X − E （ X ） ） （ X ′ − E （ X ′ ） ） （ Y − E （ Y ） ） （ Y ′ − E （ Y ′ ） ） ] {\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)^{2}=\operatorname {E} \left[{\big (}X-\operatorname {E} (X){\big )}{\big (}X^{\mathrm {'} }-\operatorname {E} (X^{\mathrm {'} }){\big )}{\big (}Y-\operatorname {E} (Y){\big )}{\big (}Y^{\mathrm {'} }-\operatorname {E} (Y^{\mathrm {'} }){\big )}\right]} ここで、E は期待値 を表し、プライム記号は独立同分布のコピーを表します。この式の次の一般化が必要です。U(s)、V(t) がすべての実数 s および t に対して定義された任意のランダム過程である場合、X の U 中心バージョンを次のように定義します。
X U := U （ X ） − E X [ U （ X ） ∣ { U （ t ） } ] {\displaystyle X_{U}:=U(X)-\operatorname {E} _{X}\left[U(X)\mid \left\{U(t)\right\}\right]} 減算された条件付き期待値が存在するときはいつでも、Y V をY の V 中心バージョンとします。 (X,Y) の (U,V) 共分散は、その二乗が次のようになる非負の数として定義されます。
カバー U 、 V 2 （ X 、 Y ） := E [ X U X U ′ Y V Y V ′ ] {\displaystyle \operatorname {cov} _{U,V}^{2}(X,Y):=\operatorname {E} \left[X_{U}X_{U}^{\mathrm {'} }Y_{V}Y_{V}^{\mathrm {'} }\right]} 右辺が非負かつ有限である場合。最も重要な例は、U と V が期待値がゼロで共分散が| s | + | t | − | s − t | = 2 min( s , t ) (非負の s, t の場合のみ) である両側独立 ブラウン運動 /ウィーナー過程 である場合です。(これは標準ウィーナー過程の共分散の 2 倍です。ここでは係数 2 によって計算が簡略化されます。) この場合、( U , V ) の共分散は ブラウン共分散 と呼ばれ、次のように表されます。
カバー W （ X 、 Y ） 。 {\displaystyle \operatorname {cov} _{W}(X,Y).} 驚くべき偶然の一致がある。ブラウン運動の共分散は距離の共分散と同じである。
カバー W （ X 、 Y ） = dCov （ X 、 Y ） 、 {\displaystyle \operatorname {cov} _{\mathrm {W} }(X,Y)=\operatorname {dCov} (X,Y),} したがって、ブラウン運動の相関は 距離の相関と同じである。
一方、ブラウン運動を決定論的な恒等関数 id に置き換えると、Cov id ( X , Y ) は古典的なピアソン共分散の 絶対値に なります。
カバー 私 d （ X 、 Y ） = | カバー （ X 、 Y ） | 。 {\displaystyle \operatorname {cov} _{\mathrm {id} }(X,Y)=\left\vert \operatorname {cov} (X,Y)\right\vert .}
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![{\displaystyle a_{\mu }(x):=\operatorname {E} [\|Xx\|],\quad D(\mu ):=\operatorname {E} [a_{\mu }(X)],\quad d_{\mu }(x,x'):=\|xx'\|-a_{\mu }(x)-a_{\mu }(x')+D(\mu ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/709870dff1d5d435bbb8c4b2c9bd269617769062)
![{\displaystyle \operatorname {dCov} ^{2}(X,Y):=\operatorname {E} {\big [}d_{\mu }(X,X')d_{\nu }(Y,Y'){\big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e31ff6be219017816a4ffb7068272a14912d319)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y):={}&\operatorname {E} [\|XX'\|\,\|YY'\|]+\operatorname {E} [\|XX'\|]\,\operatorname {E} [\|YY'\|]\\&\qquad {}-\operatorname {E} [\|XX'\|\,\|YY''\|]-\operatorname {E} [\|XX''\|\,\|YY'\|]\\={}&\operatorname {E} [\|XX'\|\,\|YY'\|]+\operatorname {E} [\|XX'\|]\,\operatorname {E} [\|YY'\|]\\&\qquad {}-2\operatorname {E} [\|XX'\|\,\|YY''\|],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0caabbc9764d300e3e5ba2405b573286788cb522)
![{\displaystyle \operatorname {dVar} ^{2}(X):=\operatorname {E} [\|XX'\|^{2}]+\operatorname {E} ^{2}[\|XX'\|]-2\operatorname {E} [\|XX'\|\,\|XX''\|],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41445eff28dcb3b38029c28d2117c4eb88bf5975)
![\displaystyle \operatorname {E} ^{2}[\cdot ]=(\operatorname {E} [\cdot ])^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2e7ff0f24cd6d773108e80065db7472dff57cf7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [\operatorname {dCov} _{n}^{2}(X,Y)]&={\frac {n-1}{n^{2}}}\left\{(n-2)\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y)+\operatorname {E} [\|XX'\|]\,\operatorname {E} [\|YY'\|]\right\}\\[6pt]&={\frac {n-1}{n^{2}}}\operatorname {E} [\|XX'\|]\,\operatorname {E} [\|YY'\|].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04d7e6677047a8b0fc64d65d04073c36ef3410c3)
![{\displaystyle X=\operatorname {E} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a7e85062edefa5754412e2a7177f7a800430cc6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {dCov} ^{2}(X,Y;\alpha ):={}&\operatorname {E} [\|XX'\|^{\alpha }\,\|YY'\|^{\alpha }]+\operatorname {E} [\|XX'\|^{\alpha }]\,\operatorname {E} [\|YY'\|^{\alpha }]\\&\qquad {}-2\operatorname {E} [\|XX'\|^{\alpha }\,\|YY''\|^{\alpha }].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e84ed129caf4b4337bde06238cb826ac87d042f2)
![{\displaystyle a_{\mu }(x):=\operatorname {E} [d(X,x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d70dbd87b8e2e463715919d0299a75ba772800f4)
![{\displaystyle D(\mu ):=\operatorname {E} [a_{\mu }(X)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/673f8ca2963d05896cd8102e48765a021d4c3b3b)
![{\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)^{2}=\operatorname {E} \left[{\big (}X-\operatorname {E} (X){\big )}{\big (}X^{\mathrm {'} }-\operatorname {E} (X^{\mathrm {'} }){\big )}{\big (}Y-\operatorname {E} (Y){\big )}{\big (}Y^{\mathrm {'} }-\operatorname {E} (Y^{\mathrm {'} }){\big )}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2093708329b7bb543b997f38138242f28d82220)
![{\displaystyle X_{U}:=U(X)-\operatorname {E} _{X}\left[U(X)\mid \left\{U(t)\right\}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64a92caf2e77230c9701aef9a0c47ae07cb2d96f)
![{\displaystyle \operatorname {cov} _{U,V}^{2}(X,Y):=\operatorname {E} \left[X_{U}X_{U}^{\mathrm {'} }Y_{V}Y_{V}^{\mathrm {'} }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e28a1388875caaf91da080455a0cb4821f222dd8)
