相関比

統計学において、相関比は、個々のカテゴリ内の統計的分散と、母集団またはサンプル全体の分散との間の曲線関係の尺度です。この尺度は、これらの種類の変動を表す2 つの標準偏差の比率として定義されます。ここでの文脈は、相関比の 2 乗であるクラス内相関係数の場合と同じです。

各観測値がy _xiであるとする。ここでxは観測値が属するカテゴリ、iは特定の観測値のラベルである。n x_はカテゴリxに属する観測値の数であり、

${\displaystyle {\overline {y}}_{x}={\frac {\sum _{i}y_{xi}}{n_{x}}}}$ そして ${\displaystyle {\overline {y}}={\frac {\sum _{x}n_{x}{\overline {y}}_{x}}{\sum _{x}n_{x}}},}$

ここで、はカテゴリxの平均であり、は全体の母集団の平均です。相関比η（イータ）は次のように定義されます。 ${\displaystyle {\overline {y}}_{x}}$${\displaystyle {\overline {y}}}$

${\displaystyle \eta ^{2}={\frac {\sum _{x}n_{x}({\overline {y}}_{x}-{\overline {y}})^{2}} {\sum _{x,i}(y_{xi}-{\overline {y}})^{2}}}}$

これは次のように書ける。

${\displaystyle \eta ^{2}={\frac {{\sigma _{\overline {y}}}^{2}}{{\sigma _{y}}^{2}}},{\text { ここで }}{\sigma _{\overline {y}}}^{2}={\frac {\sum _{x}n_{x}({\overline {y}}_{x}-{\overline {y}})^{2}}{\sum _{x}n_{x}}}{\text{ および }}{\sigma _{y}} ^{2}={\frac {\sum _{x,i}(y_{xi}-{\overline {y}})^{2}}{n}},}$

つまり、カテゴリ平均の加重分散をすべてのサンプルの分散で割ったものになります。

の値と の値の関係が線形である場合( xに 2 つの可能性しかない場合は確かに当てはまります)、これはピアソンの相関係数の 2 乗と同じ結果になります。そうでない場合は、相関比はより大きくなります。したがって、これは非線形関係を判断するために使用できます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle {\overline {y}}_{x}}$

相関比は0 から 1 の間の値を取ります。限界は、異なるカテゴリの平均間に分散がない特殊なケースを表しますが、はそれぞれのカテゴリ内に分散がないことを示します。完全な母集団のすべてのデータ ポイントが同じ値を取る場合、は未定義になります。 ${\displaystyle \eta}$${\displaystyle \eta =0}$${\displaystyle \eta =1}$${\displaystyle \eta}$

3 つのトピック (カテゴリ) にテストのスコアの分布があるとします。

• 代数: 45、70、29、15、21 (5 点)
• 幾何学: 40、20、30、42 (4 スコア)
• 統計: 65、95、80、70、85、73 (6 つのスコア)。

科目別の平均は 36、33、78 で、全体の平均は 52 です。

科目平均からの差の二乗和は、代数では 1952、幾何では 308、統計では 600 で、合計 2860 になります。全体の平均からの差の二乗和は 9640 です。これらの差 6780 は、科目平均と全体の平均の差の二乗の加重和でもあります。

${\displaystyle 5(36-52)^{2}+4(33-52)^{2}+6(78-52)^{2}=6780.}$

これにより

${\displaystyle \eta^{2}={\frac{6780}{9640}}=0.7033\ldots }$

これは、全体の分散の大部分がトピック内ではなくトピック間の差異の結果であることを示唆している。平方根を取ると、

${\displaystyle \eta ={\sqrt {\frac {6780}{9640}}}=0.8386\ldots .}$

全体のサンプルの分散は、純粋にカテゴリ間の分散によるものであり、個々のカテゴリ内の分散によるものではありません。簡単に理解するには、代数、幾何学、統計のスコアがそれぞれ同じ、たとえば 5 倍の 36、4 倍の 33、6 倍の 78 であると想像してください。 ${\displaystyle \eta =1}$

極限とは、全体の分散に寄与するカテゴリ間の分散がない場合を指します。この極限に対する単純な要件は、すべてのカテゴリの平均が同じであることです。 ${\displaystyle \eta =0}$

相関比は、分散分析の一部としてカール・ピアソンによって導入されました。ロナルド・フィッシャーは次のようにコメントしています。

「記述統計としての相関比の有用性は非常に限られている。分子の自由度の数は配列の数に依存することに注意する必要がある」 ^[1]${\displaystyle \eta^{2}}$

これに対してエゴン・ピアソン（カールの息子）はこう答えた。

「また、相関比の使用[§45「相関比」η]などの古くから確立された方法は、十分な説明なしに数語で無視されており、その範囲を自分で判断する機会を与えられていない学生にとって、それはおそらく公平ではないだろう。」^[2]