競争の均衡

競争均衡（ワルラス均衡とも呼ばれる）は、ケネス・アローとジェラール・ドブリューが1951年に提唱した経済均衡の概念であり、 ^{[1]変動的な価格と多くのトレーダーがいる}商品市場の分析に適しており、経済分析における効率性のベンチマークとして機能します。競争均衡は、各トレーダーが市場で取引される総量と比較して非常に小さい量を決定するため、個々の取引が価格に影響を与えないという競争環境の仮定に大きく依存しています。競争市場は、他の市場構造を評価するための理想的な基準です。

競争均衡 (CE) は次の 2 つの要素で構成されます。

• 価格関数。商品の束を表すベクトルを引数として受け取り、その価格を表す正の実数を返します。通常、価格関数は線形で、価格のベクトル、つまり各商品タイプの価格として表されます。${\displaystyle P}$
• 割り当て行列。すべての に対して、はエージェント に割り当てられた商品のベクトルです。${\displaystyle X}$${\displaystyle i\in 1,\dots ,n}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle i}$

これらの要素は次の要件を満たす必要があります。

• 満足度（市場羨望のなさ）：すべてのエージェントは、自分のバンドルを他の手頃な価格のバンドルよりも弱く好みます。

${\displaystyle \forall i\in 1,\dots ,n}$、もしそうなら。${\displaystyle P(Y)\leq P(X_{i})}$${\displaystyle Y\preceq _{i}X_{i}}$

多くの場合、初期賦与行列 が存在します。任意の に対して、はエージェント の初期賦与です。この場合、CE はいくつかの追加要件を満たす必要があります。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle i\in 1,\dots ,n}$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle i}$

• 市場クリアランス: 需要と供給が等しく、アイテムは作成も破棄もされません。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}=\sum _{i=1}^{n}E_{i}}$。

• 個人合理性: すべてのエージェントは取引前よりも取引後に利益を得ます。

${\displaystyle \forall i\in 1,\dots ,n:X_{i}\succeq _{i}E_{i}}$。

• 予算残高: すべてのエージェントは、その資金を考慮して割り当てを支払うことができます。

${\displaystyle \forall i\in 1,\dots ,n:P(X_{i})\leq P(E_{i})}$。

この定義は、同様に魅力的な複数の商品配列が存在する可能性を明示的に考慮しています。また、価格がゼロの場合も同様です。別の定義^[2]は、需要集合の概念に依存しています。価格関数 P と効用関数 U を持つエージェントが与えられた場合、特定の商品バンドル x がエージェントの需要集合に含まれるのは、次の条件を満たす場合です。他のすべてのバンドル yについて。競争均衡は、価格関数 P と割り当て行列 X が次の条件を満たす場合です。 ${\displaystyle U(x)-P(x)\geq U(y)-P(y)}$

• X によって各エージェントに割り当てられたバンドルは、価格ベクトル P に対するそのエージェントの需要セット内にあります。
• 正の価格を持つすべての商品は完全に割り当てられます (つまり、割り当てられていないすべての商品の価格は 0 になります)。

場合によっては、合理性条件が緩和された均衡を定義することが有用である。^[3]正の値（通貨単位、例えばドルで測定される）、価格ベクトル、バンドルが与えられた場合、 x 内のすべての品目が P と同じ価格になり、x にないすべての品目がP よりも高くなる価格 ベクトルを と定義する。${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle P}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P_{\epsilon }^{x}}$${\displaystyle \epsilon }$

競争均衡では、エージェントに割り当てられたバンドル x は、修正された価格ベクトルに対するそのエージェントの需要集合内にある必要があります。 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle P_{\epsilon }^{x}}$

この近似は、売買手数料がある場合に現実的です。たとえば、エージェントがアイテムの価格に加えて、アイテム 1 単位を購入するためにドルを支払わなければならないとします。そのエージェントは、価格ベクトルの需要セット内にある限り、現在のバンドルを保持します。これにより、均衡がより安定します。 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle P_{\epsilon }^{x}}$

次の例は、ジェーンとケルビンという 2 人のエージェント、バナナ (x) とリンゴ (y) などの 2 つの商品、およびお金のない 交換経済を扱っています。

1.グラフィカルな例: 初期割り当てがポイント X にあり、ジェーンはケルビンよりも多くのリンゴを持っており、ケルビンはジェーンよりも多くのバナナを持っているとします。

ジェーンとケルビンの無差別曲線 を見ると、これは均衡ではないことがわかります。つまり、両方のエージェントは、価格およびで互いに取引する意思があります。取引後、ジェーンとケルビンは両方とも、より高いレベルの効用および を示す無差別曲線に移動します。新しい無差別曲線は点 E で交差します。両方の曲線の接線の傾きは - に等しくなります。 ${\displaystyle J_{1}}$${\displaystyle K_{1}}$${\displaystyle P_{x}}$${\displaystyle P_{y}}$${\displaystyle J_{2}}$${\displaystyle K_{2}}$${\displaystyle P_{x}/P_{y}}$

そして、 ジェーンの限界代替率(MRS) はケルビンの限界代替率と等しくなります。したがって、2 人の個人からなる社会はパレート効率性に達し、ジェーンまたはケルビンのどちらか一方を不利にすることなく、どちらか一方を有利にする方法はありません。 ${\displaystyle MRS_{Jane}=P_{x}/P_{y}}$${\displaystyle MRS_{ケルビン}=P_{x}/P_{y}}$

2.算術例: ^{[4] : 322–323}両エージェントがコブ・ダグラス効用を持っていると仮定する:

${\displaystyle u_{J}(x,y)=x^{a}y^{1-a}}$

${\displaystyle u_{K}(x,y)=x^{b}y^{1-b}}$

定数はここにあります。 ${\displaystyle a,b}$

初期保有額が であると仮定します。 ${\displaystyle E=[(1,0),(0,1)]}$

Janeのxに対する需要関数は次のようになります。

${\displaystyle x_{J}(p_{x},p_{y},I_{J})={\frac {a\cdot I_{J}}{p_{x}}}={\frac {a\cdot (1\cdot p_{x})}{p_{x}}}=a}$

x に対するケルビンの需要関数は次のようになります。

${\displaystyle x_{K}(p_{x},p_{y},I_{K})={\frac {b\cdot I_{K}}{p_{x}}}={\frac {b\cdot p_{y}}{p_{x}}}}$

x の市場クリアランス条件は次のとおりです。

${\displaystyle x_{J}+x_{K}=E_{J,x}+E_{K,x}=1}$

この式から均衡価格比が得られます。

${\displaystyle {\frac {p_{y}}{p_{x}}}={\frac {1-a}{b}}}$

y についても同様の計算を行うことができますが、ワルラスの法則により結果が同じになることが保証されるため、これは必要ありません。CE では相対価格のみが決定されることに注意してください。たとえば、 を要求することで価格を正規化できます。すると、 が得られます。ただし、他の正規化も機能します。 ${\displaystyle p_{x}+p_{y}=1}$${\displaystyle p_{x}={\frac {b}{1+b-a}},p_{y}={\frac {1-a}{1+b-a}}}$

3.存在しない例:エージェントのユーティリティが次のとおりであると仮定します。

${\displaystyle u_{J}(x,y)=u_{K}(x,y)=\max(x,y)}$

そして初期保有量は[(2,1),(2,1)]です。CEでは、すべてのエージェントはxのみ、またはyのみを保有する必要があります（他の製品は効用に対して何も貢献しないため、エージェントはそれを交換したいと考えています）。したがって、唯一の可能なCE割り当ては[(4,0),(0,2)]と[(0,2),(4,0)]です。エージェントの収入は同じなので、必然的に。しかし、2単位のyを保有するエージェントは、それを4単位のxと交換したいと考えるでしょう。 ${\displaystyle p_{y}=2p_{x}}$

4. 線形効用に関する存在と非存在の例については、線形効用#例を参照してください。

経済に分割できない項目がある場合、分割可能なお金もあると想定するのが一般的です。エージェントは準線形の効用関数を持ちます。つまり、エージェントの効用は、エージェントが所有するお金の額と、エージェントが所有するアイテムの束からの効用を足した値です。

A. 単一アイテム:アリスは車を持っており、その価値は 10 です。ボブは車を持っておらず、アリスの車の価値は 20 です。考えられる CE は次のようになります。車の価格が 15 で、ボブが車を手に入れ、アリスに 15 を支払う。市場が均衡し、両方のエージェントが最初のバンドルよりも最終バンドルを好むため、これは均衡です。実際、10 から 20 までのすべての価格は、同じ割り当ての CE 価格になります。車が最初はアリスによって保持されておらず、アリスとボブの両方が買い手であるオークションでも同じ状況が当てはまります。つまり、車はボブの手に渡り、価格は 10 から 20 の間になります。

一方、10 未満の価格は、需要が過剰であるため均衡価格ではありません (アリスとボブの両方がその価格の車を欲しがっている)。また、20 を超える価格は、供給が過剰であるため均衡価格ではありません(アリスもボブもその価格の車を欲しがっていない)。

この例はダブルオークションの特殊なケースです。

B. 代替品:車と馬がオークションで売られています。アリスは移動手段だけを気にしているので、彼女にとってこれらは完全な代替品です。馬から 8、車から 9 の効用を得ますが、馬と車を両方持っている場合は車だけを使うので彼女の効用は 9 です。ボブは馬から 5、車から 7 の効用を得ますが、馬と車を両方持っている場合は馬をペットとしても好きなので彼の効用は 11 です。この場合、均衡を見つけるのはより困難です (下記参照)。考えられる均衡は、アリスが馬を 5 で購入し、ボブが車を 7 で購入することです。ボブは馬に 5 を支払っても効用が 4 しか増えないので、これは均衡です。また、アリスは車に 7 を支払っても効用が 1 しか増えないので、これは均衡です。

C. 補語: ^[5]競売で馬と馬車が売られています。買い手は AND と XOR の 2 人です。AND は馬と馬車を一緒に欲しいだけなので、両方を所有することで の効用が得られますが、どちらか一方だけを所有した場合は 0 の効用しか得られません。XOR は馬か馬車のどちらかを欲しいだけですが、両方は必要ありません。どちらか一方を所有することで の効用が得られ、両方を所有した場合も同じ効用が得られます。ここで、 のとき、競争均衡は存在せず、つまり、どの価格も市場をクリアしません。証明: 価格の合計 (馬の価格 + 馬車の価格) について次のオプションを検討します。 ${\displaystyle v_{and}}$${\displaystyle v_{xor}}$${\displaystyle v_{and}<2v_{xor}}$

• 合計は より小さいです。すると、AND は両方の商品を欲しがります。少なくとも 1 つの商品の価格が より小さいため、XOR はその商品を欲しがり、超過需要が生じます。${\displaystyle v_{and}}$${\displaystyle v_{xor}}$
• 合計はちょうど です。すると、AND は両方のアイテムを購入することと、何も購入しないことに無関心になります。しかし、XOR は依然として 1 つのアイテムだけを希望するため、需要過剰または供給過剰のいずれかが発生します。${\displaystyle v_{and}}$
• 合計は を超えます。すると、AND はアイテムをまったく必要とせず、XOR は依然として最大で 1 つのアイテムを必要とするため、供給過剰が発生します。${\displaystyle v_{and}}$

D. 単位需要消費者: n人の消費者がいます。各消費者の指数は です。商品は 1 種類です。各消費者は最大で 1 単位の商品を欲しがるため、効用は となります。消費者はが の弱増加関数となるように順序付けられます。供給が単位の場合、 を満たす価格は均衡価格です。なぜなら、製品を購入したい消費者、または購入してもしなくても構わないと考える消費者がk人いるからです。供給が増加すると価格が下がることに注意してください。 ${\displaystyle i=1,...,n}$${\displaystyle i}$${\displaystyle u(i)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle i}$${\displaystyle k\leq n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle u(n-k)\leq p\leq u(n-k+1)}$

アロー・デブリューモデルは、以下の条件を満たす分割可能な財を持つ すべての交換経済において CE が存在することを示しています。

• すべてのエージェントは厳密に凸な好みを持っています。
• すべての財は望ましいものです。つまり、ある財が無料で提供される場合 ( )、すべてのエージェントはその財から可能な限り多くのものを望むことになります。${\displaystyle j}$${\displaystyle p_{j}=0}$

証明はいくつかのステップで進む。^{[4] : 319–322}

A. 具体的には、エージェントと分割可能な財があると仮定します。価格を、その合計が 1 になるように正規化します。つまり、 です。すると、すべての可能な価格の空間はにおける次元単位単体になります。この単体を価格単体と呼びます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \sum _{j=1}^{k}p_{j}=1}$${\displaystyle k-1}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

B.を超過需要関数とします。これは、初期賦課金が一定に保たれている場合の価格ベクトルの関数です。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle p}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle z(p)=\sum _{i=1}^{n}{x_{i}(p,p\cdot E_{i})-E_{i}}}$

エージェントが厳密に凸な選好を持つ場合、マーシャルの需要関数は連続することが知られています。したがって、も の連続関数です。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle p}$

C. 価格単体からそれ自身への次の関数を定義します。

${\displaystyle g_{i}(p)={\frac {p_{i}+\max(0,z_{i}(p))}{1+\sum _{j=1}^{k}\max(0,z_{j}(p))}},\forall i\in 1,\dots ,k}$

これは連続関数なので、Brouwer の不動点定理により、次のような価格ベクトルが存在します。 ${\displaystyle p^{*}}$

${\displaystyle p^{*}=g(p^{*})}$

それで、

${\displaystyle p_{i}^{*}={\frac {p_{i}+\max(0,z_{i}(p))}{1+\sum _{j=1}^{k}\max(0,z_{j}(p))}},\forall i\in 1,\dots ,k}$

D.ワルラスの法則といくつかの代数を使用すると、この価格ベクトルではどの製品にも過剰需要がないことを示すことができます。つまり、

${\displaystyle z_{j}(p^{*})\leq 0,\forall j\in 1,\dots ,k}$

E. 望ましさの仮定は、すべての製品の価格が厳密に正であることを意味します。

${\displaystyle p_{j}>0,\forall j\in 1,\dots ,k}$

ワルラスの法則によれば、。しかしこれは、上記の不等式が等式でなければならないことを意味します。 ${\displaystyle p^{*}\cdot z(p^{*})=0}$

${\displaystyle z_{j}(p^{*})=0,\forall j\in 1,\dots ,k}$

これは、競争均衡の価格ベクトルであることを意味します。 ${\displaystyle p^{*}}$

線形効用は弱凸型であるため、 Arrow-Debreu モデルには適さないことに注意してください。ただし、David Gale は、特定の条件を満たすすべての線形交換経済に CE が存在することを証明しました。詳細については、線形効用#競争均衡の存在を参照してください。

市場均衡を計算するアルゴリズムについては、「市場均衡計算」で説明されています。

上記の例では、品目が代替品である場合には競争均衡が存在しましたが、品目が補完品である場合には競争均衡は存在しません。これは偶然ではありません。

2 つの財XとYに関する効用関数が与えられている場合、それらの財が独立財または総代替財のいずれかであり、補完財ではない場合、それらの財は弱総代替財(GS)であるとします。これは、次のことを意味します。つまり、Yの価格が上昇すると、 Xの需要は一定のままか増加するかのいずれかであり、減少することはありません。 Yの価格が下がると、 Xの需要は一定のままか減少します。 ${\displaystyle {\frac {\Delta {\text{demand}}(X)}{\Delta {\text{price}}(Y)}}\geq 0}$

この効用関数によれば、異なる財のすべてのペアが GS である場合、その効用関数は GS と呼ばれます。GS 効用関数では、エージェントが特定の価格ベクトルで需要セットを持ち、一部の品目の価格が上昇した場合、エージェントは価格が一定のままであるすべての品目を含む需要セットを持ちます。^{[3] [6]}エージェントは、高価になった品目が欲しくないと決めるかもしれません。また、代わりに別の品目 (代替品) が欲しいと決めるかもしれません。しかし、価格が変化していない 3 番目の品目が欲しくないと決めることはできません。

すべてのエージェントの効用関数がGSである場合、競争均衡が常に存在する。^[7]

さらに、GS評価の集合は、競争均衡の存在が保証される単位需要評価を含む最大の集合である。つまり、GS以外の評価については、与えられたGS以外の評価と組み合わせた単位需要評価には競争均衡が存在しないような単位需要評価が存在する。^[8]

特殊な種類の市場における競争均衡を見つける計算問題については、フィッシャー市場#indivisible を参照してください。

厚生経済学の基本定理によれば、あらゆる CE 配分はパレート効率的であり、あらゆる効率的な配分は競争均衡によって持続可能である。さらに、バリアンの定理によれば、すべてのエージェントが同じ収入を持つ CE 配分は羨望の影響を受けない。

競争均衡では、社会が財に置く価値は、それを生産するために放棄された資源の価値に等しい（限界便益は限界費用に等しい）。これにより配分効率が確保される。つまり、社会が財の別の単位に置く追加価値は、それを生産するために社会が放棄しなければならない資源に等しい。^[9]

ミクロ経済分析では、付加的な効用や個人間の効用のトレードオフは想定されないことに注意してください。したがって、効率性とはパレート改善が存在しないことを意味します。配分の公平性（分配的正義や公平性の意味で）について意見を述べるものではありません。効率的な均衡とは、1 人のプレーヤーがすべての商品を持ち、他のプレーヤーが何も持たない均衡（極端な例）である可能性があり、これは、パレート改善を見つけることができない可能性があるという意味で効率的です。パレート改善により、すべてのプレーヤー（この場合はすべてを持っているプレーヤーを含む）の状態が良くなるか（厳密なパレート改善の場合）、悪化することはありません。

分割不可能な項目の場合、2つの福祉定理の次の強力なバージョンが存在します。^[2]

1. 競争均衡は、すべての現実的なアイテムの割り当てだけでなく、すべての部分的なアイテムの割り当てにおいても、社会的福祉 (効用の合計) を最大化します。つまり、アイテムの一部を異なる人々に割り当てることができたとしても、アイテム全体のみを割り当てる競争均衡よりも良い結果を得ることはできません。
2. 社会福祉を最大化する整数割り当て（部分割り当てなし）がある場合、その割り当てで競争均衡が存在します。

分割不可能な品目の割り当ての場合、すべてのエージェントの効用関数が GS である (したがって均衡が存在する) ときは、競り上げオークションを使用して競争均衡を見つけることができます。競り上げオークションでは、競売人が価格ベクトル (最初はゼロ) を公開し、買い手はこれらの価格の下で好みのバンドルを宣言します。各品目を希望する入札者が最大で 1 人だけの場合、品目は分割され、オークションは終了します。1 つ以上の品目に需要超過がある場合、競売人は需要超過の品目の価格を小額 (たとえば 1 ドル) 引き上げ、買い手は再度入札します。

文献では、いくつかの異なるオークション上昇メカニズムが提案されている。^{[3] [7] [10]このようなメカニズムは、}ワルラスオークション、ワルラスタトネマン、またはイングリッシュオークションと呼ばれることが多い。

• 羨望のない価格設定- 一部の品目が割り当てられないままになる可能性があるワルラス均衡の緩和。
• フィッシャー市場- 単一の売り手と多数の買い手を持つ簡略化された市場モデルで、CE を効率的に計算できます。
• 配分効率
• 経済の均衡
• 一般均衡理論
• ワルラスオークション

• Richter, MK; Wong, KC (1999). 「競争均衡の計算不可能性」.経済理論. 14 : 1–27. doi :10.1007/s001990050281. S2CID  121248813.

• Economics Stack Exchange における競争均衡、ワルラス均衡、ワルラスオークション。