二分法的な好み

経済学において、二分法による選好 (DP)は、選択肢の集合を「良い」と「悪い」の 2 つのサブセットに分割する 選好関係です。

序数効用の観点から、DPは2つの選択肢ごとに次のことを意味する：^{[1] ：292}${\displaystyle X,Y}$

${\displaystyle X\preceq Y\iff X\in Bad{\text{ または }}Y\in Good}$

${\displaystyle X\prec Y\iff X\in Bad{\text{ and }}Y\in Good}$

基数効用の観点から見ると、DP は各エージェントに対して、低と高の 2 つの効用レベルがあり、すべての選択肢に対して次のようになることを意味します。 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle u(X)=u_{low}\iff X\in Bad}$

${\displaystyle u(X)=u_{high}\iff X\in Good}$

人々に二分法的な好みを表明させる一般的な方法は、各有権者がそれぞれの選択肢を「承認」または「拒否」できる 承認投票を使用することです。

厳密に二分的な好みはまれですが、二大政党制における有権者の行動や、同じ政党の候補者のみを支持する有権者の行動を近似するのに便利です。無関係な選択肢からの独立性を満たす単一勝者投票ルールは、二分的な好みに対して戦略性がありません。

公平なアイテム割り当ての文脈では、DPは数学的な論理式で表すことができます。^{[1] ：292}すべてのエージェントには、彼が望むバンドルを記述する式があります。エージェントは、式を満たすバンドルを受け取った場合にのみ満足します。

DP の特殊なケースは一心不乱である。一心不乱のエージェントは非常に特定のバンドルを欲しがる。彼はこのバンドル、またはそれを含むバンドルを受け取った場合にのみ幸せになる。このような好みは現実世界で、例えば学校に教室を割り当てる問題で現れる。各学校i にはd _i個のクラスが必要であり、学校はd _{i 個}のクラスすべてを同じ場所に集めれば効用は 1 になり、そうでなければ 0 になる。^{[2] [3] [4]}

あるメカニズムが結果に対してくじ引きを選択するものと仮定します。このメカニズムの下では、各エージェントの効用は、良い結果の 1 つが選択される確率です。功利主義メカニズムは、最も高い支持率を持つ結果を平均化します。これはパレート効率的で、戦略不可能で、有権者と候補者に公平です。

しかし、比例性に加えてこれらすべての特性を達成することは不可能であり、結果として、比例代表制は二分法的な選好に対して戦略不可能となることはできない。^[5]

すべてのエージェントが DP基数効用を持ち、各エージェントがとなる単一の数値で特徴付けられると仮定します。この場合、世代単調性^{[専門用語]}と呼ばれる条件は、任意の二分ドメインにおける真実のメカニズムによる実装に必要かつ十分です(単調性 (メカニズム設計)を参照)。^[6]このようなドメインが豊かさの条件^{[専門用語]}を満たす場合、世代単調性の弱いバージョンである2 世代単調性( 3 サイクル単調性と同等) が実装に必要かつ十分です。^{[出典が必要]}この結果は、二分タイプのエージェントによる片側マッチング問題における最適なメカニズムを導くために使用できます。^{[出典が必要] [さらなる説明が必要]}${\displaystyle u_{high}}$${\displaystyle u_{low}=0}$