正規形ゲーム

ゲーム理論では、正規形はゲームを記述するものです。拡張形式とは異なり、正規形の表現はそれ自体がグラフィカルではなく、むしろ マトリックスによってゲームを表します。このアプローチは、厳密に支配された戦略とナッシュ均衡を識別するのに非常に役立ちますが、拡張形式の表現と比較すると、一部の情報が失われます。ゲームの正規形の表現には、各プレーヤーの認識可能で考えられるすべての戦略と、それに対応する報酬が含まれます。

完全で完全な情報の静的ゲームでは、ゲームの正規形表現はプレイヤーの戦略空間と利得関数の仕様です。プレイヤーの戦略空間は、そのプレイヤーが利用できるすべての戦略の集合です。一方、戦略は、ゲームの各ステージにおける完全な行動計画であり、そのステージが実際にプレイ中に発生するかどうかは関係ありません。プレイヤーの利得関数は、プレイヤーの戦略空間の外積からそのプレイヤーの利得集合 (通常は実数の集合で、その数は基数または順序効用を表します。正規形表現では多くの場合、基数です) へのマッピングです。つまり、プレイヤーの利得関数は、戦略プロファイル (つまり、すべてのプレイヤーの戦略の仕様) を入力として受け取り、利得の表現を出力として返します。

提供されるマトリックスは、プレイヤーが同時に動き (または少なくとも他のプレイヤーの動きを観察してから自分の動きをしない)、プレイしたアクションの組み合わせに指定された報酬を受け取るゲームの正規形表現です。たとえば、プレイヤー 1 がトップをプレイし、プレイヤー 2 が左をプレイする場合、プレイヤー 1 は 4 を受け取り、プレイヤー 2 は 3 を受け取ります。各セルの最初の数字は行プレイヤー (この場合はプレイヤー 1) への報酬を表し、2 番目の数字は列プレイヤー (この場合はプレイヤー 2) への報酬を表します。

多くの場合、対称ゲーム(各アクションをどのプレイヤーが選択したかによって報酬が左右されないゲーム) は、報酬が 1 つだけ表されます。これは、行のプレイヤーの報酬です。たとえば、以下の右側と左側の報酬マトリックスは同じゲームを表しています。

関連する報酬行列を持つゲームの位相空間もマッピングすることができ、隣接するゲームは最も類似した行列を持ちます。これは、段階的なインセンティブの変更によってゲームがどのように変化するかを示しています。

ペイオフ マトリックスは、支配戦略の排除を容易にし、通常はこの概念を説明するために使用されます。たとえば、囚人のジレンマでは、各囚人は「協力」または「裏切る」ことができることがわかります。ちょうど 1 人の囚人が裏切った場合、その囚人は簡単に逃げることができ、もう 1 人の囚人は長期間投獄されます。ただし、2 人とも裏切った場合は、2 人とも投獄される時間が短くなります。協力は裏切りによって完全に支配されていると判断できます。各列の最初の数字を比較する必要があります。この場合は 0 > −1 および −2 > −5 です。これは、列のプレーヤーが何を選択しても、行のプレーヤーは裏切りを選択することでより良い結果になることを示しています。同様に、各行の 2 番目のペイオフを比較します。これも 0 > −1 および −2 > −5 です。これは、行が何をしても、列は裏切りを選択することでより良い結果になることを示しています。これは、このゲームの唯一のナッシュ均衡が (裏切り,裏切り) であることを示しています。

これらのマトリックスは、動きが同時である（または、より一般的には、情報が不完全である）ゲームのみを表します。上記のマトリックスは、プレーヤー 1 が最初に動き、プレーヤー 2 がそれを観察し、次にプレーヤー 2 が動くゲームを表していません。この場合、プレーヤー 2 の戦略のそれぞれが指定されていないためです。この連続ゲームを表すには、ゲームの途中で決して発生しない偶発性も含めて、プレーヤー 2 のすべてのアクションを指定する必要があります。このゲームでは、プレーヤー 2 は、前と同じように、左と右のアクションを実行します。前とは異なり、プレーヤー 2 には、プレーヤー 1 のアクションに応じて 4 つの戦略があります。戦略は次のとおりです。

1. プレイヤー1がトップをプレイする場合は左、そうでない場合は左
2. プレイヤー1がプレイする場合は左、そうでない場合は右
3. プレイヤー1が上をプレイする場合は右、そうでない場合は左
4. プレイヤー1がトップをプレイする場合は右、そうでない場合は右

右側はこのゲームの通常形式の表現です。

ゲームを正常な形式にするために、次のデータが提供されます。

プレイヤーの有限集合Iがあり、各プレイヤーはiで表されます。各プレイヤーi は有限k個の純粋戦略を持ちます。

${\displaystyle S_{i}=\{1,2,\ldots ,k\}.}$

あ純粋な戦略プロファイルは、戦略とプレイヤーの関連であり、Iタプル。

${\displaystyle {\vec {s}}=(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{I})}$

そのような

${\displaystyle s_{1}\in S_{1},s_{2}\in S_{2},\ldots ,s_{I}\in S_{I}}$

あペイオフ関数は関数である

${\displaystyle u_{i}:S_{1}\times S_{2}\times \ldots \times S_{I}\rightarrow \mathbb {R} .}$

その意図された解釈は、ゲームの結果で 1 人のプレイヤーに与えられる賞金です。したがって、ゲームを完全に指定するには、プレイヤー セットI = {1、2、...、I } 内の各プレイヤーに対して報酬関数を指定する必要があります。

定義：通常の形式のゲームは構造である

${\displaystyle \mathrm {T} =\langle I,\mathbf {S} ,\mathbf {u} \rangle }$

どこ：

${\displaystyle I=\{1,2,\ldots ,I\}}$

プレイヤーの集合体であり、

${\displaystyle \mathbf {S} =\{S_{1},S_{2},\ldots ,S_{I}\}}$

は各プレイヤーに1つずつ、純粋な戦略セットの I組であり、

${\displaystyle \mathbf {u} =\{u_{1},u_{2},\ldots ,u_{I}\}}$

は、ペイオフ関数の I組です。

• フーデンベルグ、D . ;ティロール、J. (1991)。ゲーム理論。 MITプレス。ISBN 0-262-06141-4。
• レイトン・ブラウン、ケビン、ショーハム、ヨアブ（2008年）。『ゲーム理論のエッセンス：簡潔で学際的な入門』サンラファエル、カリフォルニア州：Morgan & Claypool Publishers。ISBN 978-1-59829-593-1。88 ページの数学入門書。多くの大学で無料でオンラインで入手できます。
• ルース、RD ;ライファ、H. (1989)。ゲームと決定。ドーバー出版。ISBN 0-486-65943-7。
• ショーハム、ヨアブ、レイトンブラウン、ケビン (2009)。マルチエージェントシステム：アルゴリズム、ゲーム理論、論理的基礎。ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-89943-7。計算の観点からの包括的なリファレンス。第 3 章を参照してください。オンラインで無料でダウンロードできます。
• ワイブル、J. (1996)。進化ゲーム理論。MIT 出版。ISBN 0-262-23181-6。
• J. フォン・ノイマンとO. モルゲンシュテルン、『ゲーム理論と経済行動』、John Wiley Science Editions、1964 年。これはもともと 1944 年にプリンストン大学出版局から出版されました。