初期データに近い偏微分方程式の解
数理物理学と 偏微分方程式 の理論 では 、 初期データ が十分に近い 任意の解が、 軌道の 与えられた小さな 近傍 に永遠に残る場合、形式の 孤立波解は 軌道安定で あると言われています。
あなた （ x 、 t ） =
e
− 私 ω t
ϕ （ x ）
{\displaystyle u(x,t)=e^{-i\omega t}\phi (x)}
ϕ （ x ）
{\displaystyle \phi (x)}
e
− 私 ω t
ϕ （ x ） 。
{\displaystyle e^{-i\omega t}\phi (x).}
正式な定義は以下の通りである。 [1] 力学系 を考える
私
d あなた
d t
= あ （ あなた ） 、 あなた （ t ） ∈ バツ 、 t ∈
R
、
{\displaystyle i{\frac {du}{dt}}=A(u),\qquad u(t)\in X,\quad t\in \mathbb {R} ,}
、および 上の バナッハ 空間 を持つ 。この系は U ( 1 ) {\displaystyle \mathrm {U} (1)} 不変であると仮定し、
任意の および任意の に対して が成り立つ 。
バツ
{\displaystyle X}
Ｃ
{\displaystyle \mathbb {C} }
あ : バツ → バツ
{\displaystyle A:X\to X}
あ （
e
私 s
あなた ） =
e
私 s
あ （ あなた ）
{\displaystyle A(e^{is}u)=e^{is}A(u)}
あなた ∈ バツ
{\displaystyle u\in X}
s ∈
R
{\displaystyle s\in \mathbb {R} }
と仮定すると 、 は 力学系の解となります。このような解を 孤立波 と呼びます。
ω ϕ = あ （ ϕ ）
{\displaystyle \omega \phi =A(\phi )}
あなた （ t ） =
e
− 私 ω t
ϕ
{\displaystyle u(t)=e^{-i\omega t}\phi }
孤立波が 軌道安定であるとは、任意の に対して が 存在し、 任意 の に対して となる 解が存在し 、この解が
e
− 私 ω t
ϕ
{\displaystyle e^{-i\omega t}\phi }
ϵ > 0
{\displaystyle \epsilon >0}
δ > 0
{\displaystyle \delta >0}
ヴ
0
∈ バツ
{\displaystyle v_{0}\in X}
‖ ϕ −
ヴ
0
‖
バツ
< δ
{\displaystyle \Vert \phi -v_{0}\Vert _{X}<\delta }
ヴ （ t ）
{\displaystyle v(t)}
t ≥ 0
{\displaystyle t\geq 0}
ヴ （ 0 ） =
ヴ
0
{\displaystyle v(0)=v_{0}}
すする
t ≥ 0
無限
s ∈
R
‖ ヴ （ t ） −
e
私 s
ϕ
‖
バツ
< ϵ 。
{\displaystyle \sup _{t\geq 0}\inf _{s\in \mathbb {R} }\Vert v(t)-e^{is}\phi \Vert _{X}}
例 [2]
、 [3] によれば、 非線形シュレーディンガー方程式 の
孤立波解は
e
− 私 ω t
ϕ
ω
（ x ）
{\displaystyle e^{-i\omega t}\phi _{\omega }(x)}
私
∂
∂ t
あなた = −
∂
2
∂
x
2
あなた + グ
（
|
あなた
|
2
）
あなた 、 あなた （ x 、 t ） ∈
Ｃ
、 x ∈
R
、 t ∈
R
、
{\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}u=-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u+g\!\left(|u|^{2}\right)u,\qquad u(x,t)\in \mathbb {C} ,\quad x\in \mathbb {R} ,\quad t\in \mathbb {R} ,}
ここで 滑らかな実数値関数は、 Vakhitov-Kolokolovの安定条件 が満たされる場合、 軌道安定 です。
グ
{\displaystyle g}
d
d ω
質問 （
ϕ
ω
） < 0 、
{\displaystyle {\frac {d}{d\omega }}Q(\phi _{\omega })<0,}
どこ
質問 （ あなた ） =
1 2
∫
R
|
あなた （ x 、 t ）
|
2
d x
{\displaystyle Q(u)={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }|u(x,t)|^{2}\,dx}
は解の 電荷 であり 、時間的に保存されます（少なくとも解 が十分に滑らかな場合は）。
あなた （ x 、 t ）
{\displaystyle u(x,t)}
あなた （ x 、 t ）
{\displaystyle u(x,t)}
また、 [4] [5]
によれば、 の特定の値において 孤立波は
リアプノフ 安定 となり、 リアプノフ関数は
で与えられる。 ここで は、 の 不定積分を 持つ解 の エネルギー であり 、定数 が十分に大きく選ばれている
限り、である。
d
d ω
質問 （ ω ） < 0
{\textstyle {\frac {d}{d\omega }}Q(\omega )<0}
ω
{\displaystyle \omega}
e
− 私 ω t
ϕ
ω
（ x ）
{\displaystyle e^{-i\omega t}\phi _{\omega }(x)}
ら （ あなた ） = え （ あなた ） − ω 質問 （ あなた ） + Γ （ 質問 （ あなた ） − 質問 （
ϕ
ω
）
）
2
{\displaystyle L(u)=E(u)-\omega Q(u)+\Gamma (Q(u)-Q(\phi _{\omega }))^{2}}
え （ あなた ） =
1 2
∫
R
（
|
∂ あなた
∂ x
|
2
+ グ
（
|
あなた
|
2
）
）
d x
{\displaystyle E(u)={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left(\left|{\frac {\partial u}{\partial x}}\right|^{2}+G\!\left(|u|^{2}\right)\right)dx}
あなた （ x 、 t ）
{\displaystyle u(x,t)}
グ （ ええ ） =
∫
0
ええ
グ （ ず ） d ず
{\textstyle G(y)=\int _{0}^{y}g(z)\,dz}
グ
{\displaystyle g}
Γ > 0
{\displaystyle \Gamma >0}
参照
参考文献
^ Manoussos Grillakis、Jalal Shatah、Walter Strauss (1990)。「対称性がある場合の孤立波の安定性理論」。J . Funct. Anal . 94 (2): 308– 348. doi : 10.1016/0022-1236(90)90016-E 。 ^ T. Cazenave & P.-L. Lions (1982). 「いくつかの非線形シュレディンガー方程式に対する定在波の軌道安定性」. Comm. Math. Phys . 85 (4): 549– 561. Bibcode :1982CMaPh..85..549C. doi :10.1007/BF01403504. S2CID 120472894. ^ Jerry Bona、Panagiotis Souganidis 、 Walter Strauss (1987)。「Korteweg-de Vries 型孤立波の安定性と不安定性」。Proceedings of the Royal Society A 。411 ( 1841): 395– 412。Bibcode :1987RSPSA.411..395B。doi : 10.1098/rspa.1987.0073。S2CID 120894859 。 ^ Michael I. Weinstein (1986). 「非線形分散進化方程式の基底状態のリアプノフ安定性」. Comm. Pure Appl. Math . 39 (1): 51– 67. doi :10.1002/cpa.3160390103. ^ Richard Jordan & Bruce Turkington (2001)。 「 非線形シュレーディンガー方程式の統計的平衡理論」。 波動相互作用と乱流の進歩 。Contemp. Math。第 283 巻。マサチューセッツ州サウスハドリー。pp. 27– 39。doi : 10.1090 /conm/283/04711。ISBN 9780821827147 。 {{cite book}}: CS1 メンテナンス: 場所が見つかりません 発行者 ( リンク ) 
