共鳴相互作用

非線形システムでは、共鳴相互作用は、通常は振幅が小さいが常にそうとは限らない3 つ以上の波の相互作用です。共鳴相互作用は、波ベクトルと分散方程式を結合する単純な一連の基準が満たされたときに発生します。基準の単純さにより、この手法は複数の分野で人気があります。その最も顕著でよく発達した形式は重力波の研究に現れますが、天体物理学や生物学から工学や医学まで、数多くの応用も見られます。偏微分方程式に関する理論的研究はカオス理論への洞察を与え、数論との興味深い関連性があります。共鳴相互作用により、波は（弾性的に）散乱、拡散、または不安定になります。^{[ 1 ]}拡散プロセスは、ほとんどの非線形システムの最終的な熱化の原因であり、不安定性は高次元カオスと乱流への洞察を与えます。

根底にある概念は、複数の振動モードのエネルギーと運動量の合計がゼロになる場合、それらは研究対象のシステムにおける非線形性を介して自由に混合できるというものである。エネルギーと運動量の合計がゼロにならないモードは相互作用できない。なぜなら、これはエネルギー/運動量保存則の違反を意味するからである。波の運動量は、その波数ベクトルによって与えられると理解されている。${\displaystyle k}$そしてそのエネルギー${\displaystyle \omega }$これは、システムの分散関係から導かれる。

例えば、連続媒体中の3つの波の場合、共鳴条件は慣習的に次の要件として記述される。${\displaystyle k_{1}\pm k_{2}\pm k_{3}=0}$そしてまた${\displaystyle \omega _{1}\pm \omega _{2}\pm \omega _{3}=0}$マイナス符号は、波の間でエネルギーがどのように再分配されるかに応じて取られます。格子上のコンピュータシミュレーションや（非線形）固体システムなどの離散媒体中の波の場合、波ベクトルは量子化され、正規モードはフォノンと呼ばれます。ブリルアンゾーンは波ベクトルの上限を定義し、波はブリルアンベクトルの整数倍に合計されるときに相互作用することができます（ウムクラップ散乱）。

3波系は波動における共鳴相互作用の最も単純な形式を提供するが、すべてのシステムが3波相互作用を持つわけではない。たとえば、連続媒体システムである深水波動方程式は、3波相互作用を持たない。^{[ 2 ]}離散媒体システムであるFermi –Pasta–Ulam–Tsingou 問題は、3波相互作用を持たない。4波相互作用は持つが、これだけではシステムを熱平衡化するには不十分であり、6波相互作用が必要である。^{[ 3 ]}その結果、最終的な熱平衡化時間は結合の逆8乗に比例する（明らかに、弱い結合の場合は非常に長い時間）ため、有名な FPUT 再帰が「通常の」時間スケールで支配的になる。

多くの場合、研究対象のシステムはハミルトニアン形式で容易に表現できる。これが可能な場合、一般化された非線形フーリエ変換の形をとる一連の操作を適用することができる。これらの操作は、逆散乱法と密接に関連している。

特に単純な例として、深水波の扱いが挙げられる。^{[ 4 ] [ 2 ]}このような場合、システムはハミルトニアンで表現でき、正準座標で定式化される。${\displaystyle p,q}$表記上の混乱を避けるため、次のように記述します。${\displaystyle \psi ,\phi }$これら2つについては、ハミルトンの方程式を満たす共役変数であるべきである。これらは、配置空間座標の関数として理解されるべきである。${\displaystyle {\vec {x}},t}$つまり、空間と時間の関数です。フーリエ変換を行うと、

${\displaystyle {\hat {\psi }}({\vec {k}})=\int e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}\;\psi ({\vec {x}})\;dx}$

そして同様に${\displaystyle {\hat {\phi }}({\vec {k}})}$。 ここ、${\displaystyle {\vec {k}}}$は波数ベクトルです。「オンシェル」の場合、角周波数と関連しています。${\displaystyle \omega }$分散関係により、昇降演算子は標準的な方法で次のようになる。

${\displaystyle {\hat {\phi }}({\vec {k}})={\sqrt {2f(\omega )}}\;\;\left(a_{k}+a_{-k}^{*}\right)}$

${\displaystyle {\hat {\psi }}({\vec {k}})=-i{\sqrt {\frac {2}{f(\omega )}}}\;\;\left(a_{k}-a_{-k}^{*}\right)}$

と${\displaystyle 2f(\omega )}$角周波数の何らかの関数。${\displaystyle a,a^{*}}$これらは線形化されたシステムの正規モードに対応する。ハミルトニアン（エネルギー）は、これらの昇降演算子（「作用密度変数」と呼ばれることもある）を用いて次のように表すことができる。

${\displaystyle H=H_{0}(a,a^{*})+\epsilon H_{1}(a,a^{*})}$

ここで、最初の項${\displaystyle H_{0}(a,a^{*})}$は二次関数である${\displaystyle a,a^{*}}$は線形化された理論を表し、非線形性は${\displaystyle H_{1}(a,a^{*})}$これは3次以上の次数です。

上記を起点として、システムは「自由」モードと「束縛」モードに分解されます。^{[ 3 ] [ 2 ]}束縛モードは独自の独立したダイナミクスを持ちません。たとえば、ソリトン解の高調波は基本モードに束縛されており、相互作用できません。これは、分散関係に従わず、共鳴相互作用がないという事実によって認識できます。この場合、相互作用しない項を消去して自由モードを残すことを目的として、正準変換が適用されます。つまり、次のように書き換えます。${\displaystyle a\to a^{\prime }=a+{\mathcal {O}}(\epsilon )}$そして同様に${\displaystyle a^{*}}$そして、これらの新しい「自由な」（あるいは少なくともより自由な）モードに基づいてシステムを書き換えます。適切に行えば、${\displaystyle H_{1}}$共鳴的に相互作用する用語のみで表現される。${\displaystyle H_{1}}$が3次であれば、これらは3波項であり、4次であれば、これらは4波項である、といった具合です。低次の共鳴相互作用が損なわれず、近共鳴がある場合に発生する小さな除数問題[ ^{5 ]を}巧みに回避する限り、正準変換を繰り返して高次の項を得ることができます。これらの項自体は混合の速度または割合を示し、 伝達係数または伝達行列と呼ばれることもあります。最後に、散乱項で補正された正規モードの時間発展の式が得られます。束の中から1つのモードを選び出し、それを${\displaystyle a_{1}}$以下、時間発展は一般的な形式をとる。

$${\displaystyle {\frac {\partial a_{1}}{\partial t}}+i\omega _{1}=-i\int dk_{2}\cdots dk_{n}\;T_{1\cdots n}\;a_{2}^{\pm }\cdots a_{n}^{\pm }\;\delta _{1\pm 2\pm \cdots \pm n}}$$

と${\displaystyle T_{1\cdots n}}$n波相互作用の伝達係数、および${\displaystyle \delta _{1\pm 2\pm \cdots \pm n}=\delta (k_{1}\pm k_{2}\pm \cdots \pm k_{n})}$共鳴相互作用によって示唆されるエネルギー/運動量保存の概念を捉える。${\displaystyle a_{k}^{\pm }}$どちらか${\displaystyle a}$または${\displaystyle a^{*}}$必要に応じて。深海波の場合、上記はウラジーミル・E・ザハロフにちなんで名付けられたザハロフ方程式と呼ばれます。

共鳴相互作用は、 19世紀にアンリ・ポアンカレによって、 3体惑星運動を記述する摂動級数の解析において初めて考察され、記述されました。摂動級数の1次項は行列を形成すると理解できます。行列の固有値は、摂動解の基本モードに対応します。ポアンカレは、多くの場合、固有値の整数線形結合の合計がゼロになることを観察しました。これが本来の共鳴相互作用です。共鳴状態にあるとき、モード間のエネルギー伝達により、システムは安定した位相ロック状態を維持できます。しかし、2次まで進むことはいくつかの点で困難です。1つは、縮退解を対角化するのが困難であることです（縮退空間には一意のベクトル基底がありません）。2つ目の問題は、摂動級数の2次以上の項の分母に差が生じることです。小さな差は、有名な小除数問題につながります。これらは、カオス的挙動に対応するものと解釈できます。大まかにまとめると、正確な共鳴は散乱と混合を引き起こし、近似的な共鳴は混沌とした挙動を引き起こす。

共鳴相互作用は、多くの分野で幅広く活用されています。以下にその一部を挙げ、この概念が応用されている分野の多様性を示します。

• 深水では、表面重力波の間には 3 波相互作用はありません。分散関係の形状がこれを妨げます。ただし、4 波相互作用は存在します。これは、実験的に観測された斜めに移動する波の相互作用を非常によく説明します (つまり、自由パラメータや調整なしで)。^{[ 6 ]}深水波のハミルトニアン形式は、1968 年に Zakharov によって与えられました[ ^{4 ] 。}
• 異常波とは、異常に大きく予期せぬ海洋表面波のことです。ソリトンが関係しており、特に3つのソリトン間の共鳴相互作用が関係しています。^{[ 7 ]}
• ロスビー波は惑星波とも呼ばれ、ジェット気流と水温躍層に沿って移動する海洋波の両方を記述する。ロスビー波には3つの波の共鳴相互作用があり、そのため一般的にそのように研究されている。^{[ 8 ]}
• ロスビー波の共鳴相互作用は、通常数論のトピックと考えられているディオファントス方程式と関連があることが観察されている。 ^{[ 9 ]}さまざまなタイプ（ロスビー波を含む）の共鳴波相互作用の文脈で現れるディオファントス方程式を解くための構成的方法は 、1990 年にカルタショワによって初めて提示され、^{[ 10 ]に記載されている。}

• 夏季の浅い沿岸水域では、低周波音波が異常な伝播を示すことが観測されている。これらの異常は時間依存性があり、異方性があり、異常に大きな減衰を示すことがある。これらの異常の原因として、音波とソリトン内部波との共鳴相互作用が提案されている。 ^{[ 11 ]}
• 天体物理学では、ブラックホールの周りの相対論的に回転する降着円盤の歪みと振動の間の非線形共鳴相互作用が、低質量X線連星で観測されるキロヘルツ準周期振動の起源として提案されている。^{[ 12 ]}この結合をもたらす非線形性は一般相対性理論によるものであり、ニュートン重力下の降着円盤、例えば土星の環には、この特定の種類の共鳴相互作用はない（ただし、他の多くの種類の共鳴は示す）。
• 宇宙船の大気圏突入中、宇宙船の高速によって空気が赤熱プラズマに加熱されます。このプラズマは電波を通さないため、無線通信が途絶します。宇宙船とプラズマを機械的（音響的に）結合させる共鳴相互作用は、電波を貫通したりトンネル効果で通過させたりする手段として研究されており、重要な飛行段階において無線通信を再開させる可能性があります。^{[ 13 ]}
• 共鳴相互作用は、電子顕微鏡の高い空間分解能とレーザーの高い時間分解能を結合する方法として提案されており、空間と時間の両方で精密な顕微鏡観察を可能にする。^{[ 14 ]}共鳴相互作用は、物質の表面にある自由電子と束縛電子の間で起こる。
• 荷電粒子は電磁波との共鳴相互作用によって加速されることがある。^{[ 15 ]}クライン・ゴルドン方程式で記述されるスカラー粒子（中性原子）は重力波（例えばブラックホールの合体から放出されるもの）によって加速されることがある。 ^{[ 16 ]}
• 高分子の生物活性の物理的基盤である分子認識、すなわちタンパク質-タンパク質およびタンパク質-DNA相互作用は、十分に理解されていない。このような相互作用は電磁気的であることは知られているが（明らかに「化学」である）、それ以外は十分に理解されていない（「単なる水素結合」ではない）。情報スペクトル法（ISM）は、共鳴相互作用の観点からこのような分子結合を記述する。^{[ 17 ] [ 18 ]}タンパク質の場合、さまざまなアミノ酸の価電子は非局在化し、タンパク質内である程度の運動の自由度を持つ。それらの挙動は、各アミノ酸またはヌクレオチドごとに1つずつ存在する電子-イオン擬ポテンシャル（EIIP）を使用して、比較的単純な方法でモデル化できる。モデリングの結果はスペクトルを提供し、これは実験的にアクセスできるため、数値結果を確認できる。さらに、モデルは共鳴相互作用を推測するために必要な分散関係を提供する。共鳴相互作用は、クロススペクトルを計算することによって得られる。共鳴相互作用は状態を混合し（したがってエントロピーを変化させる）、認識はエントロピー力によって進行する可能性がある。
• 高周波電磁場と癌細胞との共鳴相互作用は、癌治療の方法として提案されている。^{[ 19 ]}

• 三波方程式
• 逆散乱法
• S行列
• 軌道共鳴
• 非線形共鳴
• 潮汐共鳴
• アーノルドの舌