PROP（カテゴリー理論）

数学の一分野である圏論において、PROPは対称厳密モノイド圏であり、その対象は有限集合と同一視される自然数nであり、そのテンソル積は数の加法によって対象に与えられる。^[1]「対称」であるため、各nに対して、n文字上の対称群はnの自己同型群のサブグループとして与えられる。PROP という名前は、「PROduct and Permutation category 」の略語である。 ${\displaystyle \{0,1,\ldots ,n-1\}}$

この概念はアダムスとマクレーンによって導入され、その位相的なバージョンは後にボードマンとヴォクトによって提示された。^[2] 彼らに続いて、JP メイはボードマンとヴォクトが「標準形式の演算子のカテゴリ」と呼んだオブジェクトに対して、特定の種類の PROP である「オペラド」という用語を導入した。

完全なサブカテゴリには以下のものが含まれます: ^[3]

${\displaystyle {\mathsf {Operads}}\subset {\tfrac {1}{2}}{\mathsf {PROP}}\subset {\mathsf {PROP}}}$

ここで、最初のカテゴリは（対称的な）オペラドのカテゴリです。

PROP の重要な基本クラスは、ある固定された環上のすべての行列 (行数と列数に関係なく)の集合です。より具体的には、これらの行列はPROP の射です。オブジェクトは(ベクトルの集合) または単なる自然数としてとらえることができます (オブジェクトは何らかの構造を持つ集合である必要がないため)。この例では、 ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{\bullet \times \bullet }}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle \{{\mathcal {R}}^{n}\}_{n=0}^{\infty }}$

• 射の合成は通常の 行列の乗算です。${\displaystyle \circ }$
• オブジェクト(または)の恒等射は、辺が である恒等行列です。${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{n}}$${\displaystyle n}$
• 積は、 加算 (または) のようなオブジェクトに作用し、ブロック対角行列を構築する操作のような射に作用します。${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle m\otimes n=m+n}$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{m}\otimes {\mathcal {R}}^{n}={\mathcal {R}}^{m+n}}$${\displaystyle \alpha \otimes \beta ={\begin{bmatrix}\alpha &0\\0&\beta \end{bmatrix}}}$
  • 組成と製品の適合性は、

    ${\displaystyle (A\otimes B)\circ (C\otimes D)={\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}C&0\\0&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}AC&0\\0&BD\end{bmatrix}}=(A\circ C)\otimes (B\circ D)}$。

  • エッジケースとして、行 (行列) または列 (行列) のない行列が許可され、乗算に関してはゼロ行列としてカウントされます。単位元は行列です。${\displaystyle 0\times n}$${\displaystyle m\times 0}$${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle 0\times 0}$
• PROP 内の順列は順列行列です。したがって、行列(この PROP の射) 上の順列の左側のアクションは行を順列化することであり、右側のアクションは列を順列化することです。

積がクロネッカー積である行列の PROP もありますが、その PROP のクラスでは、行列はすべて(辺はすべて共通の基数のべき乗)の形式でなければなりません。これらは、テンソル積の下でのベクトル空間の適切な対称モノイド カテゴリの座標対応です。 ${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle k^{m}\times k^{n}}$ ${\displaystyle k}$

PROP のその他の例:

• 自然数の離散的 カテゴリ、${\displaystyle \mathbb {N} }$
• 自然数とそれらの間の関数のカテゴリFinSet 、
• 自然数と全単射のカテゴリBij 、
• 自然数と単射のカテゴリInj。

「対称」という要件が削除されると、PROカテゴリの概念が得られます。「対称」がb raidedに置き換えられると、 PROBカテゴリ の概念が得られます 。

• 自然数のカテゴリBij _Braid 。各nの自己同型として組紐群 B _n を備えています(他の写像はありません)。

PROB ですが PROP ではありません。

• 自然数と順序保存関数の拡大単体 カテゴリ。${\displaystyle \Delta _{+}}$

これは PRO ですが PROB ではありません。

モノイドカテゴリ内のPRO の代数は、からへの厳密なモノイド関数です。すべての PROとカテゴリは、内のの代数をオブジェクトとし、それらの間の自然な変換を射とする代数のカテゴリを生み出します。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathrm {Alg} _{P}^{C}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$

例えば：

• の代数はの単なるオブジェクトであり、${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle C}$
• FinSetの代数はの可換モノイドオブジェクトであり、${\displaystyle C}$
• の代数は のモノイドオブジェクトです。${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle C}$

より正確には、ここで「におけるの代数はにおけるモノイド対象である」と言っているのは、例えばにおけるの代数のカテゴリがにおけるモノイドのカテゴリと同等であるということです。 ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

• ローヴェア理論
• 順列カテゴリ