スキームのファイバー製品

数学、特に代数幾何学において、スキームのファイバー積は基本的な構成です。ファイバー積には多くの解釈と特殊なケースがあります。たとえば、ファイバー積は、1 つの体上の代数多様体がより大きな体上の多様体を決定する方法、多様体の族の引き戻し、多様体の族のファイバーを記述します。基底変更は密接に関連する概念です。

スキームのカテゴリは、代数幾何学の幅広い設定です。実りある哲学（グロタンディークの相対的観点として知られる）は、代数幾何学の大部分は、単一のスキームXではなく、スキームX → Yの射（ Y上のスキームXと呼ばれる）に対して展開されるべきであるというものです。たとえば、単に代数曲線を研究するのではなく、任意の基本スキームY上の曲線の族を研究することができます。実際、2 つのアプローチはお互いを豊かにします。

特に、可換環 R上のスキームは、スキームXと射X → Spec ( R ) の組み合わせを意味します。体k上の代数多様体の古い概念は、特定の特性を持つk上のスキームと同等です。(どのスキームを「多様体」と呼ぶべきかについては、さまざまな慣習があります。標準的な選択の 1 つは、体k上の多様体はk上の有限型の整数分離スキームを意味するというものです。^[1] )

一般に、スキームX → Yの射は、 Yの点によってパラメータ化されたスキームの族として考えることができます。他のスキームZからYへの射が与えられた場合、 Z上のスキームの「プルバック」族が存在するはずです。これはまさにファイバー積X × _Y Z → Zです。

形式的には、ファイバー積が常に存在するというのはスキームのカテゴリの有用な性質である。^[2]つまり、スキームX → YおよびZ → Yの任意の射に対して、 XおよびZへの射を持つスキームX × _Y Zが存在し、図

可換であり、その性質を持つ普遍的である。つまり、Yへの合成が等しいXおよびZへの射を持つ任意のスキームWに対して、図が可換となるWからX × _Y Zへの唯一の射が存在する。普遍的性質の場合と同様に、この条件は、存在するならば唯一の同型までスキームX × _Y Z を決定する。スキームのファイバー積が常に存在するという証明は、問題を可換環のテンソル積に還元する（スキームの接着を参照）。特に、X、Y、Zがすべてアフィンスキームである場合、つまり、いくつかの可換環A、B、Cに対してX = Spec( A )、Y = Spec( B )、Z = Spec( C ) の場合、ファイバー積はアフィンスキームである。

${\displaystyle X\times _{Y}Z=\operatorname {Spec} (A\otimes _{B}C).}$

射X × _Y Z → Z は、射Z → Y を介した射X → Yの基底変更または引き戻しと呼ばれます。

場合によっては、スキームのファイバー積に右随伴関数、つまりスカラーの制限が存在します。

• 体k上のスキームのカテゴリでは、積 X × Y はファイバー積X × _k Y （ Spec( k )上のファイバー積の省略形）を意味します。たとえば、体k上のアフィン空間 A ^mと A ⁿの積は、k上のアフィン空間 A ^{m + n}です。
• 体k上のスキームXとkの任意の体拡大Eに対して、基底変換X _{E は}ファイバー積X × _{Spec( k )} Spec( E ) を意味します。ここで、X _{E は}E上のスキームです。たとえば、X が射影平面P上の曲線である場合、 ^2R
  _​方程式xy ² = 7 z ^{3で定義される}実数 R上のX _{C は}Pの複素曲線である。²
  _世紀同じ等式で定義されます。体k上の代数多様体の多くの性質は、 kの代数閉包への基底変換によって定義することができ、これにより状況が簡単になります。
• f : X → Y をスキームの射とし、 y を Y の点とする。すると、像y を持つ射Spec( k ( y )) → Yが存在する。ここでk ( y ) はyの留数体である。y上のfのファイバーはファイバー積X × _Y Spec( k ( y )) として定義される。これは体k ( y )上のスキームである。^{[3]この概念は、} Yによってパラメータ化されたスキームの族としてのスキームの射X → Yという大まかなアイデアを正当化するのに役立つ。
• X、Y、Z を体k上のスキームとし、 k上の射影X → YおよびZ → Yを持つものとします。このとき、ファイバー積X × _Y Zのk -有理点の集合は簡単に記述できます。

${\displaystyle (X\times _{Y}Z)(k)=X(k)\times _{Y(k)}Z(k)。}$

つまり、X × _Y Zのk点は、 Yに同じ像を持つXとZのk点のペアと同一視できます。これは、スキームのファイバー積の普遍的性質から直接得られます。

• XとZがスキームYの閉じたサブスキームである場合、ファイバー積X × _Y Zは、その自然なスキーム構造を持つ交差 X ∩ Zとまったく同じです。 ^[4]同じことが開いたサブスキームにも当てはまります。

スキームの射のいくつかの重要な性質Pは、任意の基底変更の下で保存されます。つまり、X → Yが性質Pを持ち、Z → Yがスキームの任意の射である場合、基底変更X x _Y Z → Zは性質Pを持ちます。たとえば、平坦射、滑らかな射、適切な射、および他の多くのクラスの射は、任意の基底変更の下で保存されます。^[5]

降下という言葉は逆の質問を指します。引き戻された射X x _Y Z → Z が何らかの特性 P を持つ場合、元の射X → Y は特性 P を持つ必要がありますか? 明らかにこれは一般に不可能です。たとえば、Z は空のスキームである可能性があり、その場合、引き戻された射は元の射に関するすべての情報を失います。しかし、射Z → Yが平坦かつ全射 (忠実に平坦とも呼ばれる)かつ準コンパクトである場合、多くの特性がZからYに降下します。降下する特性には、平坦性、滑らかさ、適切性、および他の多くのクラスの射が含まれます。^{[6]これらの結果は、}グロタンディークの忠実に平坦な降下理論の一部を形成します。

例: 任意の体拡大k ⊂ Eに対して、射 Spec( E ) → Spec( k ) は忠実に平坦かつ準コンパクトです。したがって、前述の降下結果は、基底変換X _EがE上で滑らかである場合に限り、k上のスキームXがk上で滑らかであることを意味します。同じことが、適切性や他の多くの特性にも当てはまります。

• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1960)。 「幾何学計算の要素: I. スキーマの言語」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。４．土井：10.1007/bf02684778。MR  0217083。
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157

• スタックス プロジェクト 著者、スタックス プロジェクト