ラビノヴィッチのトリック

数学において、JLラビノヴィッチ（1929）^{[1]によって導入された}ラビノヴィッチトリックは、追加の変数を導入することによって、より簡単な特殊なケース（いわゆる弱い零点定理）からヒルベルト零点定理 の一般的なケースを証明する簡単な方法です。

ラビノヴィッチのトリックは次のようになります。Kを代数的に閉じた体とします。K [ x ₁ ,... x _n ]の多項式 f は、すべての多項式f ₁ ,...., f _{m が}消えるときに必ず消えるとします。すると、多項式f ₁ ,...., f _m , 1 −  x ₀ fには共通の零点がありません (新しい変数x ₀を導入しました)。したがって、 K [ x ₀ ,...,  x _n ]の弱い零点定理により、K [ x ₀  ,...,  x _n ]の単位イデアルが生成されます。つまり、次のような多項式が存在するということです。 ${\displaystyle g_{0},g_{1},\dots ,g_{m}\in K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]}$

${\displaystyle 1=g_{0}(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})(1-x_{0}f(x_{1},\dots ,x_{n}))+\sum _{i=1}^{m}g_{i}(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}$

多項式環 の元の等式として成り立つ。は自由変数なので、この等式は変数の一部を式に置き換えても成立する。特に、 ${\displaystyle K[x_{0},x_{1},\dots,x_{n}]}$${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle x_{0}=1/f(x_{1},\dots ,x_{n})}$

${\displaystyle 1=\sum _{i=1}^{m}g_{i}(1/f(x_{1},\dots ,x_{n}),x_{1},\dots ,x_{n})f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}$

は、有理関数 体、つまり多項式環の分数体の要素として表される。さらに、右辺の分母に現れる式はfとfの累乗だけなので、右辺を共通の分母を持つように書き直すと、次の式が得られる。 ${\displaystyle K(x_{1},\dots,x_{n})}$${\displaystyle K[x_{1},\dots,x_{n}]}$

${\displaystyle 1={\frac {\sum _{i=1}^{m}h_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}{f(x_{1},\dots ,x_{n})^{r}}}}$

ある自然数rと多項式に対して、 ${\displaystyle h_{1},\dots ,h_{m}\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})^{r}=\sum _{i=1}^{m}h_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n}),}$

これは文字通り、f ₁ ,...., f _mによって生成されるイデアル内にあることを示しています。これは、 K [ x ₁ ,..., x _n ]のNullstellensatzの完全版です。 ${\displaystyle f^{r}}$

• Brownawell, W. Dale (2001) [1994]、「ラビノヴィッチトリック」、数学百科事典、EMS Press
• Rabinowitsch、JL (1929)、「Zum Hilbertschen Nullstellensatz」、Math。アン。 (ドイツ語)、102 (1): 520、土井:10.1007/BF01782361、MR  1512592