微分表記

微分積分学では、微分を表す統一された表記法は存在しません。その代わりに、関数や変数の導関数を表すさまざまな表記法が、さまざまな数学者によって提案されています。それぞれの表記法の有用性は状況によって異なり、特定の状況で複数の表記法を使用する方が有利な場合もあります。微分 (および微分とは逆の操作である反微分または不定積分) を表す最も一般的な表記法を以下に示します。

ゴットフリート・ライプニッツが採用したオリジナルの表記法は数学のあらゆる分野で使われている。特に、方程式y = f ( x )が従属変数 yと独立変数xの間の関数関係として扱われる場合によく使われる。ライプニッツの表記法では、導関数を次のように書くことでこの関係を明確にしている。^{[1]さらに、} xにおけるf の導関数は次のように書かれる。 $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}.}$$$${\displaystyle {\frac {df}{dx}}(x){\text{ or }}{\frac {df(x)}{dx}}{\text{ or }}{\frac {d}{dx}}f(x).}$$

高次の導関数は次のように表記される。^[2] これは記号の形式的な操作から生まれた示唆に富んだ表記法である。 $${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}},\ldots ,{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.}$$$${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{2}y={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.}$$

点x = aにおけるyの導関数の値は、ライプニッツの表記法を使用して 2 つの方法で表すことができます 。 $${\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}{\text{ or }}{\frac {dy}{dx}}(a)}$$

ライプニッツの記法では、微分する変数を（分母に）指定することができます。これは、偏微分を考えるときに特に役立ちます。また、連鎖律を覚えやすく、認識しやすくなります。 $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$$

ライプニッツの微分法では、dxやdy （微分として知られる）などの記号自体に意味を割り当てる必要はなく、著者の中にはこれらの記号に意味を割り当てようとしない人もいます。^[1] ライプニッツはこれらの記号を無限小として扱いました。後の著者は、非標準解析における無限小や外導関数などの他の意味を割り当てました。一般的に、dxは未定義のままにされるか と等しくされ、 dyにはdxに関して次の式で意味が割り当てられます。 ${\displaystyle \Delta x}$

${\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\cdot dx,}$

これは次のようにも書ける。

${\displaystyle df=f'(x)\cdot dx}$

(下記参照)。このような方程式から、導関数が「微分係数」(つまり、 dxの係数)と呼ばれる用語が一部のテキストで使用されています。

一部の著者やジャーナルでは、差異記号d を斜体ではなくローマン体で設定しています( d x )。ISO /IEC 80000科学スタイル ガイドでは、このスタイルが推奨されています。

微分法の最も一般的な現代表記法の一つは、ジョセフ・ルイ・ラグランジュにちなんで名付けられているが、実際にはオイラーによって発明され、オイラーによって普及されただけである。ラグランジュの表記法では、プライムマークは導関数を表す。fが関数である場合、 xにおけるその導関数は次のように表される。

${\displaystyle f'(x)}$。

1749年に初めて印刷物として登場した。^[3]

より高次の導関数は、 2次導関数の場合は、3次導関数の場合は のように、追加のプライム記号を使用して示されます。プライム記号を繰り返し使用すると、最終的には扱いにくくなります。一部 の著者は、通常小文字のローマ数字を使用し続けています^{[4] [5] 。}${\displaystyle f''(x)}$${\displaystyle f'''(x)}$

${\displaystyle f^{\mathrm {iv} }(x),f^{\mathrm {v} }(x),f^{\mathrm {vi} }(x),\ldots ,}$

4次、5次、6次、さらに高次の導関数を表すためにアラビア数字を使用する著者もいる。

${\displaystyle f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),f^{(6)}(x),\ldots .}$

この表記法は、 nを変数と するn次の導関数を記述することも可能とする。これは次のように書かれる。

${\displaystyle f^{(n)}(x).}$

ラグランジュ記法に関連するUnicode文字には以下のものがある。

• U+2032 ◌′ PRIME（派生語）
• U+2033 ◌″ 二重プライム（二重導関数）
• U+2034 ◌‴ 三重素数（三次導関数）
• U+2057 ◌⁗ 四重素数（4次導関数）

関数f ( x ,  y )に2つの独立変数がある場合、次のような規則に従うことができる: ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}\\[5pt]f_{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial y}}=f_{y}\\[5pt]f^{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}\\[5pt]f_{\prime }^{\prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\ =f_{xy}\\[5pt]f_{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=f_{yy}\end{aligned}}}$

ラグランジュは原始微分を取る際にライプニッツの記法に従った。^[7]

${\displaystyle f(x)=\int f'(x)\,dx=\int y'\,dx.}$

しかし、積分は微分の逆演算なので、ラグランジュの高階微分表記は積分にも適用できる。fの繰り返し積分は次のように書ける。

${\displaystyle f^{(-1)}(x)}$最初の積分（これは逆関数 と混同されやすい）については、${\displaystyle f^{-1}(x)}$

${\displaystyle f^{(-2)}(x)}$2番目の積分については、

${\displaystyle f^{(-3)}(x)}$3番目の積分については、

${\displaystyle f^{(-n)}(x)}$n番目の積分について。

この表記法は、オイラーの記法はルイ・フランソワ・アントワーヌ・アルボガストによって導入されたが、レオンハルト・オイラーは使用しなかったようである。^[要出典]

この表記法では、 D ( D演算子) ^{[8] [検証失敗]}またはD̃ (ニュートン・ライプニッツ演算子) ^[9]と表記される微分演算子が使用される。 関数f ( x )に適用すると、次のように定義される。

${\displaystyle (Df)(x)={\frac {df(x)}{dx}}.}$

高次の導関数はDの「べき乗」として表記される（上付き文字はDの反復合成を表す）^[6]

${\displaystyle D^{2}f}$2次導関数については、

${\displaystyle D^{3}f}$3次導関数については、

${\displaystyle D^{n}f}$n次導関数の場合。

D記法では、微分を行う変数は暗黙的に残される。しかし、この変数は、その名前を添え字として置くことで明示的にすることもできる。fが変数xの関数である場合、これは次のように書くことができる^[6]。

${\displaystyle D_{x}f}$一次導関数については、

${\displaystyle D_{x}^{2}f}$2次導関数については、

${\displaystyle D_{x}^{3}f}$3次導関数については、

${\displaystyle D_{x}^{n}f}$n次導関数の場合。

f が複数の変数の関数である場合、" D "ではなく、様式化された筆記体の小文字の d である" ∂ " を使用するのが一般的です。上記のように、下付き文字は取得される導関数を示します。たとえば、関数f ( x , y )の2番目の偏導関数は次のようになります。^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{xx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\\[5pt]&\partial _{xy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}},\\[5pt]&\partial _{yx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\\[5pt]&\partial _{yy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}.\end{aligned}}}$

§ 偏微分を参照してください。

D 表記法は微分方程式の研究 や微分代数に役立ちます。

^{D表記法はラグランジュ表記法[10]}と同様に不定積分にも使用できる^[9]。

${\displaystyle D^{-1}f(x)}$第一不定積分の場合、

${\displaystyle D^{-2}f(x)}$2番目の不定積分については、

${\displaystyle D^{-n}f(x)}$n番目の原始関数の場合。

アイザック・ニュートンの微分法（ドット表記、フラクシオン表記、または時には粗雑にフライスペック表記^[11]とも呼ばれる）では、従属変数の上にドットを配置する。つまり、yがtの関数である場合、 tに関するyの導関数は

${\displaystyle {\dot {y}}}$

高次の導関数は複数のドットを使って表される。

${\displaystyle {\ddot {y}},{\overset {...}{y}}}$

ニュートンはこの考えをかなり拡張した。^[12]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {y}}&\equiv {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}{\dot {y}}{\Bigr )}={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}f'(t){\Bigr )}=D_{t}^{2}y=f''(t)=y''_{t}\\[5pt]{\overset {...}{y}}&={\dot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}=D_{t}^{3}y=f'''(t)=y'''_{t}\\[5pt]{\overset {\,4}{\dot {y}}}&={\overset {....}{y}}={\ddot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{4}y}{dt^{4}}}=D_{t}^{4}y=f^{\rm {IV}}(t)=y_{t}^{(4)}\\[5pt]{\overset {\,5}{\dot {y}}}&={\ddot {\overset {...}{y}}}={\dot {\ddot {\ddot {y}}}}={\ddot {\dot {\ddot {y}}}}\equiv {\frac {d^{5}y}{dt^{5}}}=D_{t}^{5}y=f^{\rm {V}}(t)=y_{t}^{(5)}\\[5pt]{\overset {\,6}{\dot {y}}}&={\overset {...}{\overset {...}{y}}}\equiv {\frac {d^{6}y}{dt^{6}}}=D_{t}^{6}y=f^{\rm {VI}}(t)=y_{t}^{(6)}\\[5pt]{\overset {\,7}{\dot {y}}}&={\dot {\overset {...}{\overset {...}{y}}}}\equiv {\frac {d^{7}y}{dt^{7}}}=D_{t}^{7}y=f^{\rm {VII}}(t)=y_{t}^{(7)}\\[5pt]{\overset {\,10}{\dot {y}}}&={\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {y}}}}}}\equiv {\frac {d^{10}y}{dt^{10}}}=D_{t}^{10}y=f^{\rm {X}}(t)=y_{t}^{(10)}\\[5pt]{\overset {\,n}{\dot {y}}}&\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}=D_{t}^{n}y=f^{(n)}(t)=y_{t}^{(n)}\end{aligned}}}$

ニュートン記法に関連する Unicode 文字には次のものがあります。

• U+0307 ◌̇ 上結合点（派生語）
• U+0308 ◌̈ 結合分音（二重導関数）
• U+20DB ◌⃛ 上に三つのドットを結合（三次導関数）←「結合分音記号」+「上に結合ドット」に置き換えられました。
• U+20DC ◌⃜ COMBINING FOUR DOTS ABOVE (4 次導関数) ← 「combining diaeresis」を 2 回置き換えます。
• U+030D ◌̍ 上向きの結合縦線（積分）
• U+030E ◌̎ 上に二重の縦線（第2積分）
• U+25AD ▭ 白い長方形（整数）
• U+20DE ◌⃞ 結合囲み正方形（積分）
• U+1DE0 ◌ᷠ 結合ラテン小文字N（ n次導関数）

ニュートン記法は、独立変数が時間を表すときに一般的に使用されます。位置yがtの関数である場合、は速度^[13]を表し、加速度^[14]を表します。この記法は物理学と数理物理学でよく使用されます。また、微分方程式など、物理学に関連する数学の分野でも使用されます。 ${\displaystyle {\dot {y}}}$${\displaystyle {\ddot {y}}}$

従属変数y = f ( x )の微分をとる場合、別の表記法が存在する: ^[15]

${\displaystyle {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\dot {y}}:{\dot {x}}\equiv {\frac {dy}{dt}}:{\frac {dx}{dt}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}f(x){\Bigr )}=Dy=f'(x)=y'.}$

ニュートンは曲線X（ⵋ）上の点線を用いて次のような偏微分演算子を開発した。ホワイトサイドによる定義は以下の通りである：^{[16] [17]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {X}}\ &=\ f(x,y)\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\ &=\ x{\frac {\partial f}{\partial x}}=xf_{x}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\!\cdot \ &=\ y{\frac {\partial f}{\partial y}}=yf_{y}\,,\\[5pt]\colon \!{\mathcal {X}}\,{\text{ or }}\,\cdot \!\left(\cdot {\mathcal {X}}\right)\ &=\ x^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=x^{2}f_{xx}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\colon \,{\text{ or }}\,\left({\mathcal {X}}\cdot \right)\!\cdot \ &=\ y^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=y^{2}f_{yy}\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\!\cdot \ \ &=\ xy{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}=xyf_{xy}\,,\end{aligned}}}$

ニュートンは、彼の著書『曲率角運動量』（1704年）やその後の著作の中で、積分のためのさまざまな表記法を開発しました。流動積分や時間積分（欠落積分）を表すために、従属変数（ y̍ ）の上に小さな縦線やプライムを書いたり、接頭辞の四角形（▭y）を書いたり、項を四角形（y）で囲んだりしました。

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=\Box {\dot {y}}\equiv \int {\dot {y}}\,dt=\int f'(t)\,dt=D_{t}^{-1}(D_{t}y)=f(t)+C_{0}=y_{t}+C_{0}\\{\overset {\,\prime }{y}}&=\Box y\equiv \int y\,dt=\int f(t)\,dt=D_{t}^{-1}y=F(t)+C_{1}\end{aligned}}}$

ニュートンは多重積分を表すために、2 つの小さな縦棒またはプライム ( y̎ )、または以前の記号の組み合わせ▭ y̍  y̍を使用して、2 番目の時間積分 (絶対値) を表しました。

${\displaystyle {\overset {\,\prime \prime }{y}}=\Box {\overset {\,\prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime }{y}}\,dt=\int F(t)\,dt=D_{t}^{-2}y=g(t)+C_{2}}$

高次の時間積分は次の通りである。^[18]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}&=\Box {\overset {\,\prime \prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime \prime }{y}}\,dt=\int g(t)\,dt=D_{t}^{-3}y=G(t)+C_{3}\\{\overset {\,\prime \prime \prime \prime }{y}}&=\Box {\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}\,dt=\int G(t)\,dt=D_{t}^{-4}y=h(t)+C_{4}\\{\overset {\;n}{\overset {\,\prime }{y}}}&=\Box {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y}}}\equiv \int {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y}}}\,dt=\int s(t)\,dt=D_{t}^{-n}y=S(t)+C_{n}\end{aligned}}}$

この数学表記法は、印刷の難しさやライプニッツ・ニュートン微積分論争のために普及しませんでした。

多変量解析やテンソル解析など、より特殊なタイプの微分化が必要な場合は、他の表記法が一般的です。

単一の独立変数xの関数fの場合、独立変数の添え字を使用して導関数を表すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&={\frac {df}{dx}}\\[5pt]f_{xx}&={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}.\end{aligned}}}$

このタイプの表記法は、複数の変数の関数の 偏微分を取る場合に特に便利です。

偏微分は一般に、微分演算子d を" ∂ " 記号に置き換えることで通常の微分と区別されます。たとえば、f ( x ,  y ,  z )のxに関する偏微分は、 yやzに関するものではなく、いくつかの方法で示すことができます。

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f.}$

この区別が重要なのは、 のような非偏微分は、文脈に応じて、すべての変数が同時に変化することを許した場合のに対するの変化率として解釈される可能性があるのに対し、 のような偏微分では、1 つの変数だけが変化することが明示されていることです。 ${\displaystyle \textstyle {\frac {df}{dx}}}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$

数学、物理学、工学のさまざまな分野では、他の表記法も見られます。たとえば、熱力学のマクスウェルの関係式を参照してください。記号は、エントロピー（下付き文字） S を一定に保ったまま、温度Tを体積Vに関して微分したものであり、記号は、圧力P を一定に保ったまま、温度を体積に関して微分したものです。これは、変数の数が自由度を超える状況で必要になり、他のどの変数を固定しておくかを選択しなければなりません。 ${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!S}}$${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!P}}$

1つの変数に関する高階偏微分は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx},\\[5pt]&{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}=f_{xxx},\end{aligned}}}$

など。混合偏微分は次のように表される。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}=f_{xy}.}$

この最後のケースでは、変数は 2 つの表記法間で逆の順序で記述され、次のように説明されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&(f_{x})_{y}=f_{xy},\\[5pt]&{\frac {\partial }{\partial y}}\!\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}.\end{aligned}}}$

いわゆるマルチインデックス表記法は、上記の表記法が煩雑になったり表現力が不十分になったりする状況で使用されます。 上の関数を考えるとき、マルチインデックスを非負整数の順序付きリストとして定義します。。次に、 に対して、表記法 を定義します。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}),\ \alpha _{i}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to X}$

${\displaystyle \partial ^{\alpha }f={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}f}$

この方法により、他の方法では記述するのが面倒ないくつかの結果（ライプニッツの規則など）を簡潔に表現することができます。いくつかの例は、マルチインデックスに関する記事で見つけることができます。^[19]

ベクトル解析はベクトル場またはスカラー場の微分と積分を扱います。3 次元ユークリッド空間の場合に特有の表記法がいくつか一般的です。

( x , y , z )が与えられた直交座標系であり、A が成分を持つベクトル場であり、がスカラー場であると仮定します。 ${\displaystyle \mathbf {A} =(\mathbf {A} _{x},\mathbf {A} _{y},\mathbf {A} _{z})}$${\displaystyle \varphi =\varphi (x,y,z)}$

ウィリアム・ローワン・ハミルトンによって導入された微分演算子は∇と書かれ、デルまたはナブラと呼ばれ、ベクトルの形で記号的に定義される。

${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\!,}$

ここで、この用語は、演算子∇も通常のベクトルとして扱われることを 象徴的に反映しています。

• 勾配:スカラー場の勾配ベクトルであり、∇とスカラー場の積で記号的に表現される。${\displaystyle \mathrm {grad\,} \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {grad} \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\varphi \\&=\nabla \varphi \end{aligned}}}$

• 発散：ベクトル場Aの発散スカラーであり、∇とベクトルAのドット積で記号的に表現される。${\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {A} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \mathbf {A} &={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \mathbf {A} \\&=\nabla \cdot \mathbf {A} \end{aligned}}}$

• ラプラシアン：スカラー場のラプラシアンスカラーであり、∇ ²とスカラー場φのスカラー乗算によって記号的に表現される。${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi &=\nabla \cdot (\nabla \varphi )\\&=(\nabla \cdot \nabla )\varphi \\&=\nabla ^{2}\varphi \\&=\Delta \varphi \\\end{aligned}}}$

• 回転:ベクトル場Aの回転、またははベクトルであり、∇とベクトルAの外積によって記号的に表現されます。${\displaystyle \mathrm {curl} \,\mathbf {A} }$${\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathbf {A} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {A} &=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}},{\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}},{\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\\&=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\mathbf {k} \\&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\cfrac {\partial }{\partial x}}&{\cfrac {\partial }{\partial y}}&{\cfrac {\partial }{\partial z}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix}}\\&=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}}$

微分に関する記号的演算の多くは、直交座標における勾配演算子によって簡単に一般化できる。例えば、一変数積の規則は、勾配演算子を適用することでスカラー場の乗算に直接類似している。

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'~~~\Longrightarrow ~~~\nabla (\phi \psi )=(\nabla \phi )\psi +\phi (\nabla \psi ).}$

一変数微積分学の他の多くの規則には、勾配、発散、回転、ラプラシアンなどの ベクトル計算の類似物があります。

さらに特殊なタイプの空間に対しては、さらに別の表記法が開発されています。ミンコフスキー空間での計算では、ダランベール演算子 は、ダランベール演算子、波動演算子、ボックス演算子とも呼ばれ、 として表されます。ラプラシアンの記号と矛盾しない場合は として表されます。${\displaystyle \Box }$${\displaystyle \Delta }$

• 解析学会 – ニュートン微積分学ではなくライプニッツ微積分学の使用を推進した 19 世紀のイギリスの団体Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 微分 – 瞬間的な変化率（数学）
• 流数 – 歴史的な数学概念、微分形式
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