ネットワーク科学

決定論的ネットワークの定義は、確率的ネットワークの定義と比較して定義されます。重み付けのない決定論的ネットワークでは、エッジは存在するか存在しないかのどちらかであり、通常、エッジが存在しない場合は0、存在する場合は1で表します。重み付けのある決定論的ネットワークでは、エッジの値は各エッジの重み、例えば強度レベルを表します。

確率ネットワークでは、各エッジの背後にある値は、各エッジが存在する可能性を表します。たとえば、あるエッジの値が0.9の場合、そのエッジの存在確率は0.9であると言います。^{[ 10 ]}

ネットワークの規模は、ノードの数を指す場合がある。${\displaystyle N}$または、あまり一般的ではないが、辺の数${\displaystyle E}$（多重エッジのない連結グラフの場合）範囲は${\displaystyle N-1}$（木）${\displaystyle E_{\max }}$（完全グラフの場合）。単純グラ​​フ（各頂点ペア間に最大で1つの（無向）エッジが存在し、頂点同士が接続していないネットワーク）の場合、次のようになります。${\displaystyle E_{\max }={\tbinom {N}{2}}=N(N-1)/2}$; 有向グラフ（自己連結ノードなし）の場合、${\displaystyle E_{\max }=N(N-1)}$; 自己接続が許容される有向グラフの場合、${\displaystyle E_{\max }=N^{2}}$グラフにおいて、2つの頂点間に複数の辺が存在する可能性がある場合、${\displaystyle E_{\max }=\infty }$。

密度${\displaystyle D}$ネットワークの は、エッジ数の 0 から 1 の間の正規化された比率として定義されます。${\displaystyle E}$ネットワーク内の可能なエッジの数に対して${\displaystyle N}$ノード。ネットワーク密度は、ネットワーク内に存在する「オプション」エッジの割合を示す尺度であり、次のように計算できます。 ${\displaystyle D={\frac {E-E_{\mathrm {min} }}{E_{\mathrm {max} }-E_{\mathrm {min} }}}}$ どこ${\displaystyle E_{\mathrm {分} }}$そして${\displaystyle E_{\mathrm {max} }}$接続されたネットワークにおけるエッジの最小数と最大数は、${\displaystyle N}$それぞれノード。単純グラ​​フの場合、${\displaystyle E_{\mathrm {max} }}$二項係数によって与えられる${\displaystyle {\tbinom {N}{2}}}$そして${\displaystyle E_{\mathrm {min} }=N-1}$密度を与える ${\displaystyle D={\frac {E-(N-1)}{E_{\mathrm {max} }-(N-1)}}={\frac {2(E-N+1)}{N(N-3)+2}}}$もう一つの可能​​性のある方程式は${\displaystyle D={\frac {T-2N+2}{N(N-3)+2}},}$一方、ネクタイは${\displaystyle T}$単方向である（Wasserman & Faust 1994）。^{[ 11 ]}単方向の関係を測定できるため、ネットワーク密度のより良い概要が得られます。

密度${\displaystyle D}$エッジ間に交差がないネットワークの は、エッジの数の比率として定義されます。${\displaystyle E}$ネットワーク内の可能なエッジの数に対して${\displaystyle N}$ノードは、交差するエッジを持たないグラフによって与えられる。${\displaystyle (E_{\max }=3N-6)}$与える${\displaystyle D={\frac {E-N+1}{2N-5}}.}$

学位​${\displaystyle k}$ノードの密度は、そのノードに接続されているエッジの数です。ネットワークの密度と密接に関係しているのは、平均次数です。${\displaystyle \langle k\rangle ={\tfrac {2E}{N}}}$（または、有向グラフの場合は、${\displaystyle \langle k\rangle ={\tfrac {E}{N}}}$（無向グラフの各辺から生じる2の係数は、2つの異なる頂点の次数に寄与する）。ERランダムグラフモデルでは（${\displaystyle G(N,p)}$) 期待値を計算できます ${\displaystyle \langle k\rangle }$（期待値に等しい）${\displaystyle k}$任意の頂点の場合）：ランダムな頂点は${\displaystyle N-1}$ネットワーク内の他の頂点が利用可能であり、確率${\displaystyle p}$それぞれに接続します。したがって、${\displaystyle \mathbb {E} [\langle k\rangle ]=\mathbb {E} [k]=p(N-1)}$。

次数分布${\displaystyle P(k)}$これは、インターネットやソーシャルネットワークなどの実際のネットワークと理論モデルの両方に共通する基本的な特性です。ネットワークの次数分布P ( k ) は、次数がkであるネットワーク内のノードの割合として定義されます。最も単純なネットワークモデル、例えば (エルデシュ・レニーモデル)ランダムグラフでは、n個のノードがそれぞれ確率p (または 1 − p )で独立して接続 (または接続されない)され、次数kは二項分布(またはnが大きい極限ではポアソン分布) に従います。しかし、 WWWからタンパク質相互作用ネットワークまで、ほとんどの実際のネットワークでは、次数分布は右に大きく偏っており、ノードの大部分は次数が低く、少数のノード (「ハブ」と呼ばれる) は次数が高いことを意味します。このようなスケールフリーネットワークの場合、次数分布はおおよそべき乗則に従います。${\displaystyle P(k)\sim k^{-\gamma }}$ここで、γは次数指数であり、 は定数です。このようなスケールフリーネットワークは、次数分布の2次モーメントの発散に起因する、予期せぬ構造的および動的な特性を持っています。^{[ 6 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}

平均最短経路長は、すべてのノードペア間の最短経路を見つけ、その長さをすべての経路にわたって平均することによって計算されます（長さは経路に含まれる中間エッジの数、つまり距離です）。${\displaystyle d_{u,v}}$2つの頂点の間${\displaystyle u,v}$グラフ内）。これは、ネットワークのあるメンバーから別のメンバーに到達するのに必要なステップ数を平均的に示しています。頂点の数の関数としての期待平均最短経路長（つまり、平均最短経路長のアンサンブル平均）の挙動${\displaystyle N}$ランダムネットワークモデルのスケーリングは、そのモデルがスモールワールド効果を示すかどうかを定義します。${\displaystyle O(\ln N)}$の場合、モデルはスモールワールドネットを生成します。対数成長よりも速い成長の場合、モデルはスモールワールドを生成しません。${\displaystyle O(\ln \ln N)}$これは超小世界効果として知られています。

ネットワークグラフを測定する別の方法として、ネットワークの直径を、ネットワーク内で計算されたすべての最短経路の中で最長のものとして定義できます。これは、ネットワーク内で最も遠い2つのノード間の最短距離です。言い換えれば、すべてのノードから他のすべてのノードへの最短経路長が計算されると、直径は計算されたすべての経路長の中で最長になります。直径は、ネットワークの線形サイズを表します。ノードABCDが接続されている場合、A→Dの経路は直径3（3ホップ、3リンク）になります。

クラスタリング係数は、「私の友人は皆お互いを知っている」という性質の尺度です。これは、「私の友人の友人は私の友人である」と表現されることもあります。より正確には、ノードのクラスタリング係数は、ノードの隣接ノード同士を接続する既存のリンクの数と、そのようなリンクの最大可能数との比率です。ネットワーク全体のクラスタリング係数は、すべてのノードのクラスタリング係数の平均です。ネットワークのクラスタリング係数が高いことは、スモールワールドのもう一つの指標です。^{[ 6 ]}

クラスタリング係数${\displaystyle i}$'番目のノードは

${\displaystyle C_{i}={2e_{i} \over k_{i}{(k_{i}-1)}}\,,}$

どこ${\displaystyle k_{i}}$は、${\displaystyle i}$'番目のノード、そして${\displaystyle e_{i}}$は、これらの隣接ノード間の接続数です。したがって、隣接ノード間の接続の最大可能数は、

${\displaystyle {\binom {k}{2}}={{k(k-1)} \over 2}\,.}$

確率論的な観点から言えば、期待される局所クラスタリング係数は、同じノードの任意の2つの隣接ノード間にリンクが存在する可能性を表す。

ネットワークの接続方法は、ネットワークの分析と解釈に大きく影響します。ネットワークは、以下の4つのカテゴリに分類されます。

• クリーク／完全グラフ：すべてのノードが他のすべてのノードに接続されている、完全に連結されたネットワーク。これらのネットワークは、すべてのノードが他のすべてのノードから入力リンクと出力リンクを持つという点で対称的です。
• 巨大コンポーネント：ネットワーク内のほとんどのノードを含む単一の連結コンポーネント。
• 弱連結成分：エッジの方向性を無視して、任意のノードから他の任意のノードへのパスが存在するノードの集合。
• 強連結成分：任意のノードから他の任意のノードへの有向パスが存在するノードの集合。

中心性指標は、ネットワークモデルにおいて最も重要なノードを特定するためのランキングを生成します。異なる中心性指標は、「重要性」という言葉に異なる意味合いを持たせています。例えば、媒介中心性は、多くの他のノード間の橋渡し役となるノードを非常に重要とみなします。一方、固有値中心性は、他の多くの重要なノードがそのノードにリンクしている場合に、そのノードを非常に重要とみなします。このような指標は、これまで数百種類も提案されてきました。

中心性指標は、最も重要なノードを特定するのにのみ正確です。これらの指標は、ネットワークの残りのノードに対して意味を持つことはほとんどありません。^{[ 16 ] [ 17 ]}また、その指標は、重要性に関する想定されたコンテキスト内でのみ正確であり、他のコンテキストでは「間違っている」傾向があります。^{[ 18 ]}例えば、各コミュニティの最年少メンバー間のエッジのみがリンクとなっている2つの別々のコミュニティを想像してみてください。一方のコミュニティから他方のコミュニティへの転送はすべてこのリンクを経由する必要があるため、2人の年少メンバーは高い媒介中心性を持ちます。しかし、彼らは年少であるため、（おそらく）コミュニティ内の「重要な」ノードとの接続が少なく、つまり、彼らの固有値中心性はかなり低くなります。

中心性尺度の限界から、より一般的な尺度の開発が進められてきた。その例として、ランダムウォークの多様性を用いて、特定の開始ノードからネットワークの残りの部分へのアクセスしやすさを測定するアクセシビリティ^{[ 19 ]} と、ノードによって生成される感染力の期待値から導出される期待力^{[ 16 ]}が挙げられる。 これらの尺度はどちらも、ネットワークの構造のみから意味のある計算を行うことができる。

ネットワーク内のノードは、コミュニティを表すグループに分割されることがあります。状況によっては、コミュニティは明確に区別される場合もあれば、重複する場合もあります。通常、このようなコミュニティ内のノードは、同じコミュニティ内の他のノードとは強く接続されていますが、コミュニティ外のノードとは弱く接続されています。特定のネットワークのコミュニティ構造を記述する真のデータがない場合、教師ありクラスタリング手法または教師なしクラスタリング手法を用いて、考えられるコミュニティ構造を推論するアルゴリズムがいくつか開発されています。

ポール・エルデシュとアルフレッド・レニーにちなんで名付けられたエルデシュ・レニーモデルは、ノード間に等しい確率で辺が配置されるランダムグラフを生成するために用いられる。このモデルは、確率論的手法において、様々な特性を満たすグラフの存在を証明したり、ほぼすべてのグラフに対してある特性が成り立つことの意味を厳密に定義したりするために利用できる。

エルデシュ・レーニ モデルを生成するには${\displaystyle G(n,p)}$2つのパラメータを指定する必要があります。1つはノードの総数n 、もう1つはランダムに選ばれた2つのノードがエッジを持つ確率pです。

モデルは特定のノードに偏りなく生成されるため、次数分布は二項分布になります。ランダムに選択された頂点の場合、${\displaystyle v}$、

${\displaystyle P(\deg(v)=k)={n-1 \choose k}p^{k}(1-p)^{n-1-k}.}$

このモデルではクラスタリング係数は0です。${\displaystyle G(n,p)}$ 3つの地域に分けられる。

亜臨界${\displaystyle np<1}$: すべてのコンポーネントはシンプルで非常に小さく、最大のコンポーネントのサイズは${\displaystyle |C_{1}|=O(\log n)}$;

致命的${\displaystyle np=1}$:${\displaystyle |C_{1}|=O(n^{\frac {2}{3}})}$;

超臨界${\displaystyle np>1}$:${\displaystyle |C_{1}|\approx yn}$どこ${\displaystyle y=y(np)}$は、方程式の正の解です。${\displaystyle e^{-pny}=1-y}$。

最大の連結成分は複雑度が高い。その他の成分はすべて単純で小さい。${\displaystyle |C_{2}|=O(\log n)}$。

構成モデルは、次数列^{[ 20 ] [ 21 ]}または次数分布^{[ 22 ] [ 23 ]} (後続して次数列を生成するために使用される) を入力として受け取り、次数列以外のすべての点でランダムに接続されたグラフを生成します。これは、次数列の選択が与えられた場合、その次数列に準拠するすべてのグラフの集合からグラフが一様にランダムに選択されることを意味します。次数は、${\displaystyle k}$ランダムに選択された頂点の は、整数値を持つ 独立同分布の確率変数です。${\textstyle \mathbb {E} [k^{2}]-2\mathbb {E} [k]>0}$構成グラフには、無限大のサイズを持つ巨大連結成分が含まれています。^{[ 21 ]}残りの成分は有限のサイズを持ち、サイズ分布の概念で定量化できます。確率${\displaystyle w(n)}$ランダムにサンプリングされたノードがサイズのコンポーネントに接続されている${\displaystyle n}$次数分布の畳み込みべき乗によって与えられる: ^{[ 24 ]}$${\displaystyle w(n)={\begin{cases}{\frac {\mathbb {E} [k]}{n-1}}u_{1}^{*n}(n-2),&n>1,\\u(0)&n=1,\end{cases}}}$$どこ${\displaystyle u(k)}$次数分布を表し、${\displaystyle u_{1}(k)={\frac {(k+1)u(k+1)}{\mathbb {E} [k]}}}$巨大コンポーネントは、臨界分数をランダムに除去することで破壊できる。${\displaystyle p_{c}}$すべてのエッジについて。このプロセスはランダムネットワーク上のパーコレーションと呼ばれます。次数分布の2次モーメントが有限である場合、${\textstyle \mathbb {E} [k^{2}]<\infty }$この臨界エッジ分率は^{[ 25 ]で与えられる。}${\displaystyle p_{c}=1-{\frac {\mathbb {E} [k]}{\mathbb {E} [k^{2}]-\mathbb {E} [k]}}}$、および頂点間の平均距離${\displaystyle l}$巨大コンポーネントでは、ネットワーク全体のサイズに対して対数的にスケーリングし、${\displaystyle l=O(\log N)}$[ ^{23 ]​}

有向構成モデルでは、ノードの次数は、入次数という2つの数値で表されます。${\displaystyle k_{\text{in}}}$およびアウトディグリー${\displaystyle k_{\text{out}}}$、したがって次数分布は2変数である。入エッジと出エッジの期待値は一致するので、${\textstyle \mathbb {E} [k_{\text{in}}]=\mathbb {E} [k_{\text{out}}]}$指向性構成モデルには、巨大成分が含まれるのは、^{[ 26 ]}$${\displaystyle 2\mathbb {E} [k_{\text{in}}]\mathbb {E} [k_{\text{in}}k_{\text{out}}]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}]\mathbb {E} [k_{\text{out}}^{2}]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}]\mathbb {E} [k_{\text{in}}^{2}]+\mathbb {E} [k_{\text{in}}^{2}]\mathbb {E} [k_{\text{out}}^{2}]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}k_{\text{out}}]^{2}>0.}$$ご了承ください${\textstyle \mathbb {E} [k_{\text{in}}]}$そして${\textstyle \mathbb {E} [k_{\text{out}}]}$後者の不等式では、これらは等しく、したがって互換性があります。ランダムに選択された頂点がサイズのコンポーネントに属する確率${\displaystyle n}$は次のように与えられる：^{[ 27 ]}$${\displaystyle h_{\text{in}}(n)={\frac {\mathbb {E} [k_{in}]}{n-1}}{\tilde {u}}_{\text{in}}^{*n}(n-2),\;n>1,\;{\tilde {u}}_{\text{in}}={\frac {k_{\text{in}}+1}{\mathbb {E} [k_{\text{in}}]}}\sum \limits _{k_{\text{out}}\geq 0}u(k_{\text{in}}+1,k_{\text{out}}),}$$コンポーネント内、

${\displaystyle h_{\text{out}}(n)={\frac {\mathbb {E} [k_{\text{out}}]}{n-1}}{\tilde {u}}_{\text{out}}^{*n}(n-2),\;n>1,\;{\tilde {u}}_{\text{out}}={\frac {k_{\text{out}}+1}{\mathbb {E} [k_{\text{out}}]}}\sum \limits _{k_{\text{in}}\geq 0}u(k_{\text{in}},k_{\text{out}}+1),}$

外部コンポーネント用。

ワッツ・ストロガッツモデルは、スモールワールド特性を持つグラフを生成するランダムグラフ生成モデルである。

初期格子構造を用いてワッツ・ストロガッツモデルを生成する。ネットワーク内の各ノードは、最初はそのノードにリンクされている。${\displaystyle \langle k\rangle }$最も近い隣接ノード。もう1つのパラメータは再配線確率として指定されます。各エッジには確率があります。${\displaystyle p}$それはランダムなエッジとしてグラフに再配線されます。モデルにおける再配線されるリンクの期待値は${\displaystyle pE=pN\langle k\rangle /2}$。

ワッツ・ストロガッツモデルは非ランダムな格子構造として始まるため、クラスタリング係数が非常に高く、平均経路長も長くなります。再配線が行われるたびに、接続性の高いクラスタ間にショートカットが形成される可能性が高くなります。再配線の確率が増加するにつれて、クラスタリング係数の減少速度は平均経路長の減少速度よりも遅くなります。結果として、クラスタリング係数のわずかな減少だけで、ネットワークの平均経路長を大幅に短縮することができます。pの値が大きいほど再配線されるエッジが多くなり、結果としてワッツ・ストロガッツモデルはランダムネットワークになります。

バラバシ・アルバートモデルは、優先的接続または「富める者はさらに富む」効果を示すために使用されるランダムネットワークモデルです。このモデルでは、エッジは次数が高いノードに接続される可能性が最も高くなります。ネットワークは、m ₀個のノードからなる初期ネットワークから始まります。m 0 ≥ 2 であり、初期ネットワークの各ノードの次数は少なくとも 1 である必要があります。そうでない場合_、そのノードは常にネットワークの残りの部分から切断されたままになります。   

BAモデルでは、新しいノードがネットワークに1つずつ追加されます。各新しいノードは、${\displaystyle m}$既存のノードが既に持っているリンクの数に比例する確率で、既存のノードが接続されます。正式には、新しいノードがノードiに接続される確率p _iは^{[ 28 ]}です。

${\displaystyle p_{i}={\frac {k_{i}}{\sum _{j}k_{j}}},}$

ここでk _iはノードiの次数です。リンク数の多いノード（「ハブ」）は、さらに多くのリンクを急速に蓄積する傾向がありますが、リンク数が少ないノードは、新しいリンクの宛先として選ばれる可能性は低いです。新しいノードは、既にリンク数の多いノードに接続することを「優先」します。

BAモデルから得られる次数分布はスケールフリーであり、特に次数が大きい場合は、次の形式のべき乗則となる。

${\displaystyle P(k)\sim k^{-3}\,}$

ハブは高い媒介中心性を示し、ノード間に短い経路が存在することを可能にする。その結果、BAモデルは平均経路長が非常に短くなる傾向がある。このモデルのクラスタリング係数も0に近づく傾向がある。

バラバシ・アルバートモデル^{[ 29 ]}は、スケールフリー特性の普遍性を説明することを目的として無向ネットワーク向けに開発され、さまざまなネットワークやアプリケーションに幅広く適用されています。このモデルの有向バージョンはプライスモデル^{[ 30 ] [ 31 ]}で、引用ネットワークのみを対象に開発されました。

頂点の性質が重要な要素となる別のモデルがCaldarelliらによって導入されている^{[ 34 ]} 。ここでは2つの頂点の間にリンクが作成される。${\displaystyle i,j}$連結関数によって与えられる確率で${\displaystyle f(\eta _{i},\eta _{j})}$関係する頂点の適合度。頂点 i の次数は^{[ 35 ]で与えられる。}

${\displaystyle k(\eta _{i})=N\int _{0}^{\infty }f(\eta _{i},\eta _{j})\rho (\eta _{j})\,d\eta _{j}}$

もし${\displaystyle k(\eta _{i})}$は、の可逆かつ増加関数である。${\displaystyle \eta _{i}}$すると確率分布${\displaystyle P(k)}$は

${\displaystyle P(k)=\rho (\eta (k))\cdot \eta '(k)}$

その結果、適応度が${\displaystyle \eta }$がべき乗則に従って分布する場合、ノード次数も同様にべき乗則に従って分布します。

直感的には、急速に減衰する確率分布では ${\displaystyle \rho (\eta )=e^{-\eta }}$次のようなリンク機能とともに

${\displaystyle f(\eta _{i},\eta _{j})=\Theta (\eta _{i}+\eta _{j}-Z)}$

と${\displaystyle Z}$一定の${\displaystyle \Theta }$ヘビーサイド関数を用いると、スケールフリーネットワークも得られる。

このようなモデルは、GDPをさまざまなノードの適合度として使用することにより、国家間の貿易を記述するためにうまく適用されてきた。${\displaystyle i,j}$^{そして、 [ 36 ] [ 37 ]}のようなリンク関数

${\displaystyle {\frac {\delta \eta _{i}\eta _{j}}{1+\delta \eta _{i}\eta _{j}}}.}$

指数族ランダムグラフモデル（ERGM）は、ソーシャルネットワークやその他のネットワークからのデータを分析するための統計モデルのファミリーです。 ^{[ 6 ] [ 38 ]}指数族は、ネットワークだけでなく、多くの種類のデータを網羅する幅広いモデルのファミリーです。ERGMは、このファミリーに属するネットワークを記述するモデルです。

ランダムグラフを表すために、以下の表記法を採用する。${\displaystyle Y\in {\mathcal {Y}}}$一連の${\displaystyle n}$ノードとタイ変数のコレクション${\displaystyle \{Y_{ij}:i=1,\dots ,n;j=1,\dots ,n\}}$ノードのペアによってインデックス付けされます${\displaystyle ij}$、 どこ${\displaystyle Y_{ij}=1}$ノードが${\displaystyle (i,j)}$エッジで接続され、${\displaystyle Y_{ij}=0}$さもないと。

ERGMの基本的な仮定は、観測されたグラフの構造が${\displaystyle y}$与えられた十分統計量のベクトルによって説明できる${\displaystyle s(y)}$これらは観測されたネットワークと、場合によってはノード属性の関数です。グラフの確率${\displaystyle y\in {\mathcal {Y}}}$ERGMは以下のように定義されます。

${\displaystyle P(Y=y|\theta )={\frac {\exp(\theta ^{T}s(y))}{c(\theta )}}}$

どこ${\displaystyle \theta }$は、モデルパラメータのベクトルであり、${\displaystyle s(y)}$そして${\displaystyle c(\theta )=\sum _{y'\in {\mathcal {Y}}}\exp(\theta ^{T}s(y'))}$は正規化定数です。

ソーシャルネットワーク分析は、社会的実体間の関係の構造を調べます。^{[ 6 ] [ 39 ]}これらの実体は多くの場合個人ですが、グループ、組織、国民国家、ウェブサイト、学術出版物である場合もあります。

1970年代以降、ネットワークの実証的研究は社会科学において中心的な役割を果たしており、ネットワークの研究に使用される数学的および統計的ツールの多くは、最初に社会学で開発されました。^{[ 6 ] [ 40 ]} 他の多くの応用の中でも、ソーシャル ネットワーク分析は、イノベーション、ニュース、噂の拡散を理解するために使用されてきました。同様に、病気と健康関連行動の両方の拡散を調査するために使用されてきました。また、市場の研究にも適用され、交換関係における信頼の役割と価格設定における社会的メカニズムを調査するために使用されてきました。同様に、政治運動や社会組織への採用を研究するために使用されてきました。また、科学的な意見の相違や学術的名声を概念化するためにも使用されてきました。最近では、ネットワーク分析（およびその近縁のトラフィック分析）は、階層的およびリーダーのいない性質の両方の反乱ネットワークを明らかにするために、軍事情報において重要な用途を獲得しています。^{[ 41 ] [ 42 ]}犯罪学では、犯罪組織における影響力のある人物、犯罪者の動き、共犯関係を特定し、犯罪活動を予測し、政策を策定するために使用されています。^{[ 43 ]}

動的ネットワーク分析は、複雑な社会技術システム効果における異なるクラスのエンティティ間の関係の構造の変化を調べ、新しいグループ、トピック、リーダーの出現などの社会の安定性と変化を反映します。^{[ 44 ] [ 45 ] [ 46 ]}動的ネットワーク分析は、複数のタイプのノード（エンティティ）と複数のタイプのリンク で構成されるメタネットワークに焦点を当てています。これらのエンティティは非常に多様です。例としては、人、組織、トピック、リソース、タスク、イベント、場所、信念などがあります。

動的ネットワーク分析手法は、ネットワークの経時的な傾向や変化を評価したり、新たなリーダーを特定したり、人々とアイデアの共進化を検証したりするのに特に役立ちます。

近年、公開されているハイスループットの生物学的データが爆発的に増加したことで、分子ネットワークの解析が大きな注目を集めている。この内容の解析の種類は、ソーシャルネットワーク解析と密接に関連しているが、ネットワーク内の局所的なパターンに焦点を当てることが多い。たとえば、ネットワークモチーフは、ネットワーク内で過剰に表現されている小さなサブグラフである。アクティビティモチーフは、ネットワーク構造を考慮すると過剰に表現されている、ネットワーク内のノードとエッジの属性における同様の過剰表現パターンである。生物学的ネットワークの解析は、相互作用ネットワークにおける疾患の影響を調べるネットワーク医学の発展につながった。^{[ 47 ]}

意味ネットワーク分析は、ネットワーク分析のサブ分野であり、ネットワーク内の単語と概念の関係に焦点を当てています。単語はノードとして表現され、テキスト内での単語の近接性や共起はエッジとして表現されます。したがって、意味ネットワークは知識のグラフィカルな表現であり、神経言語学や自然言語処理アプリケーションで一般的に使用されています。意味ネットワーク分析は、大規模なテキストを分析して主要なテーマやトピック（ソーシャルメディアの投稿など）を特定したり、偏り（ニュース報道など）を明らかにしたり、研究分野全体をマッピングしたりする手法としても使用されます。^{[ 48 ]}

リンク分析はネットワーク分析のサブセットであり、オブジェクト間の関連性を探究します。例えば、警察の捜査の一環として、容疑者や被害者の住所、ダイヤルした電話番号、一定期間に行われた金融取引、そしてこれらの人物間の家族関係などを調査することが挙げられます。リンク分析は、個々の情報からは明らかにならない、異なる種類のオブジェクト間の重要な関係性や関連性を提供します。コンピュータ支援型または完全自動型のコンピュータベースのリンク分析は、銀行や保険会社の不正検出、通信事業者の通信ネットワーク分析、医療分野の疫学や薬理学、法執行機関の捜査、検索エンジンの関連性評価（逆に、スパマーによるスパムデキシングや企業オーナーによる検索エンジン最適化にも利用されています）、そして多数のオブジェクト間の関係性を分析する必要があるあらゆる場面で、ますます活用されています。

SIRモデルは、感染集団内における世界的なパンデミックの拡大を予測するための、最もよく知られたアルゴリズムの一つである。

ウェブ検索ランキングアルゴリズムの多くは、リンクベースの中心性指標を使用しており、その例として（登場順に）マルキオリのハイパーサーチ、GoogleのPageRank、クラインバーグのHITSアルゴリズム、CheiRank、TrustRankアルゴリズムなどが挙げられる。情報科学やコミュニケーション科学においても、ウェブページの集合体の構造を理解し、そこから情報を抽出する目的でリンク分析が行われている。例えば、政治家のウェブサイトやブログ間の相互リンクを分析するといったことが考えられる。

グラフ内のノードとエッジの相対的な重要性に関する情報は、社会学などの分野で広く使用されている中心性尺度によって得ることができます。中心性尺度は、ネットワーク分析が「ネットワーク内のすべてのノードまたはほとんどのノードにメッセージや情報が確実に拡散されるようにするには、ネットワーク内のどのノードをターゲットにすべきか？」、あるいは逆に「病気の蔓延を抑制するには、どのノードをターゲットにすべきか？」といった質問に答える必要がある場合に不可欠です。正式に確立された中心性尺度は、次数中心性、近接中心性、媒介中心性、固有ベクトル中心性、およびカッツ中心性です。一般的に、ネットワーク分析の目的によって、使用する中心性尺度の種類が決まります。^{[ 39 ]}

• ネットワークにおけるノードの次数中心性とは、そのノードに接続されているリンク（頂点）の数のことである。
• 近接中心性とは、ネットワーク内のノードと他のすべてのノードとの間の最短距離（測地線経路）の合計を測定することによって、あるノードがネットワーク内の他のノードとどれだけ「近い」かを決定する指標です。
• 媒介中心性は、ネットワーク内の他のノードへ流れるトラフィック量を測定することで、ノードの相対的な重要性を決定します。これは、すべてのノードペアを接続し、かつ対象となるノードを含むパスの割合を測定することによって行われます。グループ媒介中心性は、ノードのグループを通過するトラフィック量を測定します。
• 固有ベクトル中心性は、次数中心性をより洗練させたもので、ノードの中心性は、そのノードに接続するリンクの数だけでなく、それらのリンクの質にも依存します。この質の要素は、ネットワークの隣接行列の固有ベクトルによって決定されます。
• ノードのカッツ中心性は、そのノードとネットワーク内のすべての（到達可能な）ノードとの間の測地線経路を合計することによって測定されます。これらの経路には重みが付けられており、ノードをそのノードのすぐ隣のノードに接続する経路は、すぐ隣のノードから遠いノードに接続する経路よりも高い重みを持ちます。

1927年、WO KermackとAG McKendrickは、感受性のある3つの区画のみを持つ固定集団を考慮したモデルを作成しました。${\displaystyle S(t)}$、 感染した、${\displaystyle I(t)}$そして回復した。${\displaystyle R(t)}$このモデルで使用される区画は、次の3つのクラスで構成されています。

• ${\displaystyle S(t)}$は、時刻 t においてまだ病気に感染していない個体数、または病気にかかりやすい個体数を表すために使用されます。
• ${\displaystyle I(t)}$これは、病気に感染し、感受性のある人々に病気を広める可能性のある個人の数を示します。
• ${\displaystyle R(t)}$これは、感染後に回復した人々を収容する区画です。このカテゴリーに属する人々は、再び感染したり、他人に感染を広げたりすることはありません。

このモデルの流れは、以下のように考えることができる。

${\displaystyle {\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {R}}}$

固定人口を使用して、${\displaystyle N=S(t)+I(t)+R(t)}$カーマックとマッケンドリックは、以下の式を導き出した。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=-\beta SI\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=\beta SI-\gamma I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I\end{aligned}}}$

これらの方程式の定式化にはいくつかの仮定が置かれました。まず、集団内の個人は、他のすべての個人と同様に、以下の割合で病気に感染する確率が等しいとみなされなければなりません。${\displaystyle \beta }$これは、病気の接触率または感染率と考えられています。したがって、感染した個人が接触し、病気を伝染させる可能性があります。${\displaystyle \beta N}$単位時間あたり、感染者と感受性者との接触の割合は${\displaystyle S/N}$感染者1人あたりの単位時間当たりの新規感染者数は次のようになる。${\displaystyle \beta N(S/N)}$新規感染者数（または感受性カテゴリーから離脱した人数）を次のように表す。${\displaystyle \beta N(S/N)I=\beta SI}$（Brauer & Castillo-Chavez、2001）。2番目と3番目の式では、感受性クラスから離脱する人口は、感染クラスに入る人口と等しいとみなします。ただし、感染者は単位時間あたり、このクラスから離脱して回復/除去クラスに入る割合は、${\displaystyle \gamma }$単位時間あたり（${\displaystyle \gamma }$平均回復率を表す、${\displaystyle 1/\gamma }$ （平均感染期間）。同時に発生するこれらのプロセスは、集団の2つのグループ間の接触率は、関係する各グループの大きさに比例するという広く受け入れられている考え方である「集団作用の法則」と呼ばれています（Daley & Gani、2005）。最後に、感染と回復の速度は出生と死亡の時間スケールよりもはるかに速いと想定されているため、これらの要因はこのモデルでは無視されます。

このモデルの詳細については、疫病モデルのページをご覧ください。

マスター方程式は、各時間ステップで新しいノードがネットワークに追加され、古いノード（ランダムに選択され、優先順位なし）に接続される無向成長ネットワークの挙動を表すことができる。初期ネットワークは、時刻tにおいて2つのノードとそれらを結ぶ2つのリンクで構成されている。${\displaystyle t=2}$この構成は、今後の計算を簡略化するためだけに必要であり、${\displaystyle t=n}$ネットワークは${\displaystyle n}$ノードと${\displaystyle n}$リンク。

このネットワークの基本方程式は次のとおりです。

${\displaystyle p(k,s,t+1)={\frac {1}{t}}p(k-1,s,t)+\left(1-{\frac {1}{t}}\right)p(k,s,t),}$

どこ${\displaystyle p(k,s,t)}$ノードが存在する確率は${\displaystyle s}$学位取得${\displaystyle k}$その時${\displaystyle t+1}$、 そして${\displaystyle s}$これは、このノードがネットワークに追加された時点のタイムステップです。古いノードについては、2つの方法しかないことに注意してください。${\displaystyle s}$持つ${\displaystyle k}$当時のリンク${\displaystyle t+1}$:

• ノード${\displaystyle s}$学位を持っている${\displaystyle k-1}$その時${\displaystyle t}$そして、確率で新しいノードによってリンクされます${\displaystyle 1/t}$
• 既に学位を取得済み${\displaystyle k}$その時${\displaystyle t}$そして、新しいノードによってリンクされることはありません。

このモデルを単純化すると、次数分布は次のようになります。${\displaystyle P(k)=2^{-k}.}$^{[ 50 ]}

この拡大するネットワークに基づいて、単純なルールに従って疫病モデルが開発されます。新しいノードが追加されるたびに、接続する古いノードを選択した後、この新しいノードが感染するかどうかが決定されます。この疫病モデルの基本方程式は次のとおりです。

${\displaystyle p_{r}(k,s,t)=r_{t}{\frac {1}{t}}p_{r}(k-1,s,t)+\left(1-{\frac {1}{t}}\right)p_{r}(k,s,t),}$

どこ${\displaystyle r_{t}}$感染させるという決定を表す（${\displaystyle r_{t}=1}$） か否か （${\displaystyle r_{t}=0}$このマスター方程式を解くと、次の解が得られます。${\displaystyle {\tilde {P}}_{r}(k)=\left({\frac {r}{2}}\right)^{k}.}$^{[ 51 ]}