中心性

グラフ理論とネットワーク分析では、中心性指標は、グラフ内のノードにネットワーク上の位置に応じて番号または順位を割り当てます。応用例としては、ソーシャルネットワークで最も影響力のある人物、インターネットや都市ネットワークの主要インフラストラクチャノード、病気のスーパースプレッダー、脳ネットワークの特定などがあります。^{[ 1 ] [ 2 ]}中心性の概念は、最初にソーシャルネットワーク分析で開発され、中心性を測定するために使用される用語の多くは、その社会学的起源を反映しています。^{[ 3 ]}時間の経過とともに、この概念は大幅に拡大し、数百の異なる中心性尺度の開発につながり、その最も包括的なリストは、CentralityZoo オンラインカタログに記載されています。^{[ 4 ]}

中心性指標は「重要な頂点を特徴づけるものは何か？」という問いに対する答えです。答えはグラフの頂点上の実数値関数で与えられ、生成された値は最も重要なノードを特定するランキングを提供することが期待されます。^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

「重要性」という言葉には多くの意味があり、中心性の定義も多岐に渡ります。2つの分類スキームが提案されています。「重要性」は、ネットワークを横断するフローや転送の種類に関連して考えることができます。これにより、中心性を重要と考えるフローの種類によって分類することができます。 ^{[ 6 ]}また、「重要性」は、ネットワークの凝集性への関与として考えることができます。これにより、中心性を凝集性の測定方法に基づいて分類することができます。^{[ 8 ]}これらのアプローチはいずれも、中心性を明確なカテゴリに分類します。さらに、あるカテゴリに適した中心性は、別のカテゴリに適用すると「間違っている」ことが多いという結論もあります。^{[ 6 ]}

中心性尺度の多くは、特定の頂点を通過する何らかのタイプのパス（ウォークとも呼ばれる）の数を効果的にカウントしますが、すべてではありません。尺度によって、関連するウォークの定義とカウント方法が異なります。このグループに限定して検討することで、長さ 1 のウォーク（次数中心性）から無限のウォーク（固有ベクトル中心性）まで、多くの中心性をスペクトル上に配置できる分類が可能になります。^{[ 5 ] [ 9 ]}媒介中心性などの他の中心性尺度は、全体的な接続性だけでなく、ネットワークの接続性にとって重要な位置を占めることにも焦点を当てています。

中心性指標には、明白なものと微妙なものの 2 つの重要な制限があります。明白な制限は、あるアプリケーションで最適な中心性が、別のアプリケーションでは最適ではないことが多いということです。実際、そうでなければ、これほど多くの異なる中心性は必要ないでしょう。この現象の例として、クラックハルト凧グラフが挙げられます。このグラフでは、3 つの異なる中心性の概念によって、最も中心的な頂点の 3 つの異なる選択肢が得られます。^{[ 13 ]}

より微妙な制限は、頂点中心性が頂点の相対的な重要性を示すという、一般的に信じられている誤謬です。中心性指標は、最も重要な頂点を示すことができるランキングを生成するように明示的に設計されています。^{[ 5 ] [ 6 ]}前述の制限の下では、これはうまく機能します。これらは、一般的にノードの影響を測定するように設計されていません。最近、ネットワーク物理学者は、 この問題に対処するためにノード影響度指標の開発を開始しました。

誤りは2つあります。まず、ランキングは重要度に基づいて頂点を順序付けるだけで、ランキングの異なるレベル間の重要度の違いを定量化しません。これは、問題の中心性尺度にフリーマン中心化を適用することで軽減できます。フリーマン中心化は、中心化スコアの違いに応じてノードの重要性に関する洞察を提供します。さらに、フリーマン中心化を使用すると、最も高い中心化スコアを比較することで、複数のネットワークを比較できます。^{[ 14 ]}

第二に、特定のネットワーク/アプリケーションで最も重要な頂点を（正しく）識別する特徴は、残りの頂点に必ずしも一般化できるとは限りません。他のほとんどのネットワークノードでは、ランキングは意味をなさない可能性があります。^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}これは、たとえば、Google 画像検索の最初の数件の結果だけが適切な順序で表示される理由を説明しています。ページランクは非常に不安定な尺度であり、ジャンプパラメータを少し調整すると頻繁にランクが逆転します。^{[ 19 ]}

中心性指標がネットワークの残りの部分に一般化できないことは、一見すると直感に反するように思えるかもしれないが、これは上記の定義から直接導かれる。 複雑なネットワークは異質なトポロジーを持つ。最適な尺度が最も重要な頂点のネットワーク構造に依存する限り、そのような頂点に対して最適な尺度は、ネットワークの残りの部分に対して最適ではない。^{[ 15 ]}

中心性尺度のもう 1 つの制限は、通常、頂点の集合ではなく、ネットワーク内の個々の頂点に数値や順位を割り当てるように設計されていることです。しかし、アプリケーションによっては、たとえば、特定の個人のグループが組織のネットワーク内でどの程度中心的または周縁的であるかに関心がある場合があります。^{[ 20 ]}これにより、中心性が頂点のグループに一般化されました。

歴史的に最も古く、概念的に最も単純なのは次数中心性であり、これはノードに接続するリンクの数（つまり、ノードが持つつながりの数）として定義されます。次数は、ネットワークを流れるもの（ウイルスや情報など）にノードが直接感染するリスクという観点から解釈できます。有向ネットワーク（つながりに方向性がある）の場合、次数中心性の尺度として、通常は入次数と出次数の2つを別々に定義します。したがって、入次数はノードに向かうつながりの数であり、出次数はノードが他のノードに向けるつながりの数です。つながりが友情や協力といった肯定的な側面と関連付けられる場合、入次数は人気度、出次数は社交性の一形態として解釈されることがよくあります。

頂点の次数中心性${\displaystyle v}$与えられたグラフに対して${\displaystyle G:=(V,E)}$と${\displaystyle |V|}$頂点と${\displaystyle |E|}$エッジは次のように定義されます。

${\displaystyle C_{D}(v)=\deg(v)}$

グラフ内のすべてのノードの次数中心性を計算するには${\displaystyle \シータ (V^{2})}$グラフの密な隣接行列表現では、エッジは${\displaystyle \Theta (E)}$疎行列表現において。

ノードレベルでの中心性の定義はグラフ全体に拡張することができ、その場合、グラフ中心化について話すことになる。^{[ 21 ]}${\displaystyle v*}$次数中心性が最も高いノードとなる${\displaystyle G}$。 させて${\displaystyle X:=(Y,Z)}$になる${\displaystyle |Y|}$次の量を最大化するノード連結グラフ（${\displaystyle y*}$次数中心性が最も高いノードである${\displaystyle X}$):

${\displaystyle H=\sum _{j=1}^{|Y|}[C_{D}(y*)-C_{D}(y_{j})]}$

それに応じて、グラフの次数中心化${\displaystyle G}$内容は以下のとおりです。

${\displaystyle C_{D}(G)={\frac {\sum _{i=1}^{|V|}[C_{D}(v*)-C_{D}(v_{i})]}{H}}}$

価値${\displaystyle H}$グラフが最大化されるとき${\displaystyle X}$すべての他のノードが接続されている1つの中心ノードを含み（スターグラフ）、この場合

${\displaystyle H=(n-1)\cdot ((n-1)-1)=n^{2}-3n+2.}$

したがって、任意のグラフについて${\displaystyle G:=(V,E),}$

${\displaystyle C_{D}(G)={\frac {\sum _{i=1}^{|V|}[C_{D}(v*)-C_{D}(v_{i})]}{|V|^{2}-3|V|+2}}}$

また、次数中心性に関する新しい包括的なグローバル指標であるTendency to Make Hub (TMH)は、次のように定義されます。^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\text{TMH}}={\frac {\sum _{i=1}^{|V|}\deg(v)^{2}}{\sum _{i=1}^{|V|}\deg(v)}}}$

ここで、TMHはネットワークにおける次数中心性の出現によって増加する。

連結グラフにおいて、ノードの正規化された近接中心性（または近接性）とは、そのノードとグラフ内の他のすべてのノードとの間の最短経路の平均長のことです。したがって、ノードの中心性が高いほど、他のすべてのノードとの距離が近くなります。

アレックス・バベラス（1950）は、近さを^遠さの逆数として定義した[ ^{22 ] [ 23 ]}。${\textstyle C_{B}(v)=(\sum _{u}d(u,v))^{-1}}$どこ${\displaystyle d(u,v)}$は頂点uとvの間の距離です。ただし、近接中心性について話す場合、通常は、前の式に を掛けた正規化された形式が用いられます。${\displaystyle N-1}$、 どこ${\displaystyle N}$はグラフ内のノード数です

${\displaystyle C(v)={\frac {N-1}{\sum _{u}d(u,v)}}.}$

この正規化により、異なるサイズのグラフのノード間の比較が可能になります。多くのグラフでは、近接度の逆数と次数の対数の間に強い相関関係があります。^{[ 24 ]}${\displaystyle (C(v))^{-1}\おおよそ -\alpha \ln(k_{v})+\beta }$どこ${\displaystyle k_{v}}$は頂点vの次数であり、α と β は各ネットワークの定数です。

無向グラフでは、他のすべてのノードとの距離を計算することは無意味ですが、有向グラフでは全く異なる結果が生じる可能性があります（例えば、ウェブサイトは発信リンクからの近接中心性は高いものの、着信リンクからの近接中心性は低い場合があります）。

媒介中心性とは、グラフ内の頂点の中心性を表す尺度です（エッジ媒介中心性もありますが、ここでは説明しません）。媒介中心性とは、ノードが他の2つのノード間の最短経路に沿って橋渡し役を果たす回数を定量化したものです。これは、Linton Freemanによって、ソーシャルネットワークにおける他の人間間のコミュニケーションに対する人間の制御を定量化する尺度として導入されました。^{[ 28 ]}彼の考えでは、ランダムに選択された2つの頂点間のランダムに選択された最短経路上に現れる確率が高い頂点は、媒介中心性が高いとされます。

頂点の中間性${\displaystyle v}$グラフにおいて${\displaystyle G:=(V,E)}$と${\displaystyle V}$頂点数は次のように計算されます。

1. 頂点のペア ( s , t )ごとに、それらの間の最短経路を計算します。
2. 各頂点のペア ( s , t ) について、問題の頂点 (ここでは頂点v ) を通過する最短経路の割合を決定します。
3. この分数をすべての頂点のペア ( s , t ) について合計します。

より簡潔に言えば、中間性は次のように表すことができます。^{[ 29 ]}

${\displaystyle C_{B}(v)=\sum _{s\neq v\neq t\in V}{\frac {\sigma _{st}(v)}{\sigma _{st}}}}$

どこ$\displaystyle \sigma _{st}}$ノードからの最短経路の総数${\displaystyle s}$ノードへ${\displaystyle t}$そして${\displaystyle \sigma _{st}(v)}$は、通過するパスの数です${\displaystyle v}$。 媒介中心性は、vを含まない頂点のペアの数で割ることによって正規化できます。有向グラフの場合、${\displaystyle (n-1)(n-2)}$また、無向グラフの場合は${\displaystyle (n-1)(n-2)/2}$例えば、無向星型グラフでは、中心頂点（すべての最短経路に含まれる）の媒介中心性は${\displaystyle (n-1)(n-2)/2}$（正規化されている場合は 1）一方、葉（最短経路に含まれないもの）の媒介中心性は 0 になります。

計算の観点から見ると、グラフ内のすべての頂点の媒介中心性と近接中心性の両方は、グラフ上のすべての頂点ペア間の最短経路を計算することを必要とし、${\displaystyle O(V^{3})}$フロイド・ウォーシャルアルゴリズムでは 時間が ですが、疎グラフではジョンソンのアルゴリズムの方が効率的で、 時間を にすることができます。${\displaystyle O(|V||E|+|V|^{2}\log |V|)}$時間。重み付けされていないグラフの場合、計算はブランデスのアルゴリズム^{[ 29 ]}で実行でき、${\displaystyle O(|V||E|)}$時間。通常、これらのアルゴリズムは、グラフが無向で、ループと複数のエッジを許容して接続されていることを前提としています。ネットワークグラフを具体的に扱う場合、単純な関係（エッジが2人または2つの頂点間の接続を表す）を維持するために、グラフにはループや複数のエッジがないことがよくあります。この場合、ブランデスのアルゴリズムを使用すると、各最短経路が2回カウントされることを考慮して、最終的な中心性スコアを2で割ります。^{[ 29 ]}

固有ベクトル中心性（固有中心性とも呼ばれる）は、ネットワーク内のノードの影響力の尺度です。これは、高スコアのノードへの接続が、低スコアのノードへの同等の接続よりも、問題のノードのスコアに大きく貢献するという概念に基づいて、ネットワーク内のすべてのノードに相対的なスコアを割り当てます。^{[ 30 ] [ 7 ]} GoogleのPageRankとKatz中心性は、固有ベクトル中心性の変種です。^{[ 31 ]}

カッツ中心性^{[ 32 ]}は次数中心性の一般化である。次数中心性は直接の隣接ノードの数を測定するが、カッツ中心性はパスを介して接続可能なすべてのノードの数を測定し、遠方のノードの寄与はペナルティを受ける。数学的には、次のように定義される。

${\displaystyle x_{i}=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{N}\alpha ^{k}(A^{k})_{ji}}$

どこ${\displaystyle \alpha }$は減衰係数です ${\displaystyle (0,1)}$。

カッツ中心性は、固有ベクトル中心性の変種と見なすことができる。カッツ中心性の別の形式は

${\displaystyle x_{i}=\alpha \sum _{j=1}^{N}a_{ij}(x_{j}+1).}$

固有ベクトル中心性の表現と比較すると、${\displaystyle x_{j}}$に置き換えられます ${\displaystyle x_{j}+1.}$

^{[ 33 ]}主固有ベクトル（最大の固有値に関連付けられている）は、${\displaystyle A}$（隣接行列）は、カッツ中心性の極限である。${\displaystyle \alpha }$アプローチ${\displaystyle {\tfrac {1}{\lambda }}}$下から。

PageRankは次の式を満たす。

${\displaystyle x_{i}=\alpha \sum _{j}a_{ji}{\frac {x_{j}}{L(j)}}+{\frac {1-\alpha }{N}},}$

どこ

${\displaystyle L(j)=\sum _{i}a_{ji}}$

はノードの隣接ノードの数です${\displaystyle j}$（または有向グラフにおける発信リンクの数）。固有ベクトル中心性やカッツ中心性と比較すると、大きな違いの一つはスケーリング係数である。${\displaystyle L(j)}$PageRankと固有ベクトル中心性のもう1つの違いは、PageRankベクトルが左手固有ベクトルであることです（係数に注目してください）。${\displaystyle a_{ji}}$インデックスが逆になっている）。^{[ 34 ]}

複雑ネットワークにおける単一ノードの「重要性」を判断するために、多数の中心性尺度が存在する。しかし、これらの尺度はノードの重要性を純粋にトポロジー的な観点から定量化するものであり、ノードの値はノードの「状態」には一切依存しない。ネットワークの動態に関係なく、その値は一定のままである。これは、重み付き媒介中心性尺度についても同様である。しかし、ノードは媒介中心性や他の中心性尺度の観点からは中心的な位置にあるかもしれないが、パーコレーションが発生するネットワークの文脈では「中心的な」位置にあるとは限らない。複雑ネットワークでは、さまざまなシナリオで「伝染」のパーコレーションが発生する。たとえば、ウイルスや細菌の感染は、接触ネットワークとして知られる人々のソーシャルネットワークを介して広がる可能性がある。病気の蔓延は、道路、鉄道、または航空路で結ばれた町や人口密集地のネットワークを考察することで、より高い抽象度で考えることもできる。コンピュータウイルスはコンピュータネットワークを介して拡散する可能性がある。ビジネスのオファーや取引に関する噂やニュースも、人々のソーシャルネットワークを通じて広まることがあります。これらのシナリオすべてにおいて、「伝染」は複雑なネットワークのリンクを介して広がり、ノードの「状態」を回復可能またはそうでないものに変化させます。たとえば、疫学的なシナリオでは、感染が広がるにつれて、個人は「感受性」状態から「感染」状態に移行します。上記の例で個々のノードが取り得る状態は、伝染が広がるにつれて、バイナリ（ニュースを受け取った/受け取っていないなど）、離散的（感受性/感染/回復）、または連続的（町の感染者の割合など）になる可能性があります。これらのシナリオすべてに共通する特徴は、伝染の拡散がネットワーク内のノードの状態の変化をもたらすことです。パーコレーション中心性（PC）は、この点を考慮して提案されたもので、ネットワークを通じたパーコレーションを助けるという観点からノードの重要性を具体的に測定します。この尺度は、Piraveenan らによって提案されました^{[ 35 ] 。}

パーコレーション中心性とは、特定の時点における特定のノードについて、そのノードを通過する「パーコレーション経路」の割合として定義されます。「パーコレーション経路」とは、2つのノード間の最短経路であり、始点ノードはパーコレーション状態（感染状態など）にあります。終点ノードは、パーコレーション状態、非パーコレーション状態、または部分的にパーコレーション状態のいずれかになります。

${\displaystyle PC^{t}(v)={\frac {1}{N-2}}\sum _{s\neq v\neq r}{\frac {\sigma _{sr}(v)}{\sigma _{sr}}}{\frac {{x^{t}}_{s}}{{\sum {[{x^{t}}_{i}}]}-{x^{t}}_{v}}}}$

どこ$\displaystyle \sigma _{sr}}$ノードからの最短経路の総数${\displaystyle s}$ノードへ${\displaystyle r}$そして${\displaystyle \sigma _{sr}(v)}$は、通過するパスの数です${\displaystyle v}$ノードのパーコレーション状態${\displaystyle i}$その時${\displaystyle t}$は、${\displaystyle {x^{t}}_{i}}$そして2つの特別なケースは${\displaystyle {x^{t}}_{i}=0}$これは、時刻において非浸透状態であることを示している。${\displaystyle t}$一方、${\displaystyle {x^{t}}_{i}=1}$これは、時刻において完全に浸透した状態を示している。${\displaystyle t}$その間の値は、部分的に感染が広がっている状態を示します（例えば、町や村のネットワークでは、これはその町で感染している人の割合になります）。

パーコレーションパスに付加される重みは、ソースノードに割り当てられたパーコレーションレベルに依存します。これは、ソースノードのパーコレーションレベルが高いほど、そのノードから始まるパスが重要になるという前提に基づいています。したがって、パーコレーションレベルの高いノードから始まる最短パス上に位置するノードは、パーコレーションにとってより重要になる可能性があります。PCの定義は、ターゲットノードの重みも含むように拡張することもできます。パーコレーション中心性の計算は、${\displaystyle O(NM)}$効率的な実装でブランデスの高速アルゴリズムを採用した場合の時間、また計算でターゲットノードの重みを考慮する必要がある場合は、最悪の場合の時間は次のようになります。${\displaystyle O(N^{3})}$。

複雑なグラフにおける単一ノードのクロスクリーク中心性は、ノードが異なるクリークに接続されているかどうかを決定します。クロスクリーク接続性が高いノードは、グラフ内での情報や病気の伝播を促進します。クリークとは、クリーク内のすべてのノードが他のすべてのノードに接続されている部分グラフです。ノードのクロスクリーク接続性は、${\displaystyle v}$与えられたグラフに対して${\displaystyle G:=(V,E)}$と${\displaystyle |V|}$頂点と${\displaystyle |E|}$エッジは次のように定義されます。${\displaystyle X(v)}$どこ${\displaystyle X(v)}$頂点が属するクリークの数${\displaystyle v}$所属。この尺度は2013年にFaghaniによって使用された^{[ 36 ]}が、最初に提案されたのは1998年にEverettとBorgattiによってで、彼らはこれをクリーク重複中心性と呼んだ。

ネットワークの集中度とは、そのネットワークで最も中心的なノードが、他のすべてのノードの集中度に対してどの程度中心的な存在であるかを示す尺度である。 ^{[ 14 ]}集中度尺度は、(a) ネットワーク内で最も中心的なノードと他のすべてのノードとの中心性の差の合計を計算し、(b) この値を、同じサイズのネットワークにおける理論的に最大の差の合計で割ることによって求められる。^{[ 14 ]} したがって、すべての中心性尺度は、独自の集中度尺度を持つことができる。正式に定義すると、${\displaystyle C_{x}(p_{i})}$点の中心性尺度は${\displaystyle i}$、 もし${\displaystyle C_{x}(p_{*})}$これはネットワーク内で最大のそのような指標であり、以下の条件を満たす場合：

${\displaystyle \max \sum _{i=1}^{N}(C_{x}(p_{*})-C_{x}(p_{i}))}$

点中心性の差の合計が最大である${\displaystyle C_{x}}$ノード数が同じグラフの場合、ネットワークの集中度は次のようになります。^{[ 14 ]}

${\displaystyle C_{x}={\frac {\sum _{i=1}^{N}(C_{x}(p_{*})-C_{x}(p_{i}))}{\max \sum _{i=1}^{N}(C_{x}(p_{*})-C_{x}(p_{i}))}}.}$

このコンセプトはリントン・フリーマンによるものです。

与えられたネットワークのノードのランキングでより良い結果を得るために、Alvarez-Socorroら^{[ 37 ]は}、複雑ネットワークの中心性尺度を充実させるために、非類似度尺度（分類理論とデータマイニングに特有のもの）を使用しました。これは、固有値問題を解くことによって各ノードの中心性を計算する固有ベクトル中心性によって示されます。

${\displaystyle W\mathbf {c} =\lambda \mathbf {c} }$

どこ${\displaystyle W_{ij}=A_{ij}D_{ij}}$（座標間積）および${\displaystyle D_{ij}}$は任意の非類似度行列であり、例えばジャッカード非類似度などの非類似度尺度によって定義されます。

${\displaystyle D_{ij}=1-{\dfrac {|V^{+}(i)\cap V^{+}(j)|}{|V^{+}(i)\cup V^{+}(j)|}}}$

この尺度は、各ノードが特定のノードの中心性に及ぼすトポロジー的な寄与（これが寄与中心性と呼ばれる所以です）を定量化することを可能にし、類似性が低いノードほど重み/関連性が高くなります。これは、これらのノードが、自身では直接アクセスできないノードへのアクセスを特定のノードに可能にするためです。

注目すべきは${\displaystyle W}$非負である理由は${\displaystyle A}$そして${\displaystyle D}$これらは非負行列であるため、ペロン・フロベニウスの定理を用いて、上記の問題がλ = λ _max （ cは非負）に対して一意の解を持つことを保証し、ネットワーク内の各ノードの中心性を推測することができます。したがって、i番目のノードの中心性は次のようになります。

${\displaystyle c_{i}={\dfrac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}W_{ij}c_{j},\,\,\,\,\,\,i=1,\cdots ,n}$

どこ${\displaystyle n}$はネットワーク内のノード数です。^{[ 38 ]}ではいくつかの非類似度尺度とネットワークがテストされ、研究対象となったケースで改善された結果が得られました。

道路網や鉄道網などの交通ネットワークは、交通科学や都市計画において広く研究されています。最近の研究では、交通ネットワークを分析するために中心性指標を使用することに重点が置かれています。これらの研究の多くは、媒介中心性などの一般的な中心性指標を単純に使用していますが、交通ネットワーク分析のために特別に定義されたカスタム中心性指標もあります。その中でも特に有名なのが交通中心性です。^{[ 39 ]}

輸送中心性とは、ネットワーク内のノードペアから、対象となるノードを経由するパスの割合の合計を測定する指標です。この点において、輸送中心性は媒介中心性と類似しています。しかし、最短パスのみを考慮する媒介中心性とは異なり、輸送中心性はノードペア間のすべての可能なパスを考慮します。したがって、輸送中心性は媒介中心性の一般化されたバージョンであり、特定の条件下では実際に媒介中心性に帰着します。

特定のノードvの輸送中心性は次のように定義されます: ^{[ 39 ]}

${\displaystyle TC(v)=1/((N-1)(N-2))\Sigma _{s\neq v\neq t}{\frac {\Sigma _{i\in P_{s,t}^{v}}e^{-\beta C_{s,t}^{i}}}{\Sigma _{j\in P_{s,t}^{v}}e^{-\beta C_{s,t}^{j}}}}}$

中心性尺度がネットワーク上の位置に基づいてノードに数値や順位を割り当てるのと同様に、ノードの集合に対しても同様のことが考えられます。そのため、中心性尺度のノード群への一般化が提案されています。^{[ 20 ]}シングルトンの場合、これらのグループ中心性尺度は通常、個々のノード中心性尺度に対応します。例えば、ノード集合のグループ近接中心性は、${\displaystyle S}$サイズの${\displaystyle k}$は次のように定義される。

${\displaystyle C(S)={\frac {N-k}{\sum _{u}\min _{s\in S}d(u,s)}}}$

どこ${\displaystyle N}$はグラフ内のノード数です。この定義は、近接中心性に簡略化されます。${\displaystyle k=1}$。

しかし、個々のノード中心性尺度とは異なり、中心性を最大化するノードは通常多項式時間で見つけることができるのに対し、与えられたサイズの集合を見つけることはNP困難である。${\displaystyle k}$多くの指標においてグループ中心性を最大化する。^{[ 40 ]}

• アルファ中心性
• グループ中心性
• 中心部と周辺部の構造
• グラフにおける距離

• Koschützki, D.; Lehmann, KA; Peeters, L.; Richter, S.; Tenfelde-Podehl, D. および Zlotowski, O. (2005) 中心性指標。Brandes, U. および Erlebach, T. (編) ネットワーク分析: 方法論的基礎、pp.  16–61、LNCS 3418、Springer-Verlag。