構造的遮断

構造的カットオフとは、ネットワーク科学における概念であり、構造的な制約（単純グラフの特性など）により、有限サイズのネットワークの次数分布に次数カットオフを設けるものです。次数が構造的カットオフよりも高い頂点を持つネットワークは、構造的不一致性を示します。

構造的カットオフとは、有限サイズのネットワークの構造から生じる最大次数カットオフのことである。

させて${\displaystyle E_{kk'}}$次数が のすべての頂点間の辺の数とする${\displaystyle k}$そして${\displaystyle k'}$もし${\displaystyle k\neq k'}$、そしてその2倍の数${\displaystyle k=k'}$2 つの頂点間に複数のエッジは許可されていないため、${\displaystyle E_{kk'}}$2つの次数クラス間の最大エッジ数によって制限される${\displaystyle m_{kk'}}$。

すると、比率は次のように書ける。

${\displaystyle r_{kk'}\equiv {\frac {E_{kk'}}{m_{kk'}}}={\frac {\langle k\rangle P(k,k')}{\min\{kP(k),k'P(k'),NP(k)P(k')\}}}}$、

どこ${\displaystyle \langle k\rangle }$はネットワークの平均次数であり、${\displaystyle N}$は頂点の総数です。${\displaystyle P(k)}$ランダムに選択された頂点の次数が${\displaystyle k}$、 そして${\displaystyle P(k,k')=E_{kk'}/\langle k\rangle N}$は、ランダムに選択された辺が、次数 の頂点の片側に接続する確率です。${\displaystyle k}$次数が の頂点を持つ${\displaystyle k'}$。

物理的領域にいるためには、$\displaystyle r_{kk'}\leq 1$満足しなければならない。

構造的遮断${\displaystyle k_{s}}$は次のように定義される。 ${\displaystyle r_{k_{s}k_{s}}=1}$[ ^{1 ]​}

構造的カットオフは、同類性を持たない中立（または無相関）ネットワークにおいて重要な役割を果たす。カットオフは次の形式をとる。

${\displaystyle k_{s}\sim (\langle k\rangle N)^{1/2}}$

これは、実際のネットワークにおいては有限である。

したがって、次数が${\displaystyle k\geq k_{s}}$存在する場合、ネットワークの中立性を維持するために十分な数のエッジをそれらの間に接続することは物理的に不可能です。

スケールフリーネットワークでは、次数分布は特性指数を持つべき乗則で記述される。${\displaystyle \gamma }$、${\displaystyle P(k)\sim k^{-\gamma }}$有限スケールフリーネットワークでは、任意の頂点の最大次数（自然カットオフとも呼ばれる）は、

${\displaystyle k_{\text{max}}\sim N^{\frac {1}{\gamma -1}}}$。

次に、ネットワークは$\displaystyle \gamma <3}$これは、ほとんどの実際のネットワークの体制であり、$\displaystyle k_{\text{max}}}$より速く発散する${\displaystyle k_{s}\sim N^{1/2}}$中立的なネットワークにおいて。これは、そうでなければ中立的なネットワークであっても、次のような場合に異類相関次数相関を示す可能性があるという重要な意味を持つ。${\displaystyle k_{\text{max}}>k_{s}}$この不一致は、ネットワークの微視的な特性によるものではなく、純粋にネットワークの構造的な制約によるものです。ネットワーク分析において、次数相関が意味を持つためには、その相関が構造的な原因によるものではないことを確認する必要があります。

• 同類性
• 複雑なネットワーク
• 学位分布
• 富裕層クラブ係数