量子複雑ネットワーク

量子複雑ネットワークは、ノードが量子コンピューティングデバイスである複雑ネットワークです。^{[1] [2]}量子力学は、ハッキングから保護された安全な量子通信チャネルを作成するために使用されています。[ ^{3] [4]量子通信は、安全な}エンタープライズ規模のソリューションを実現する可能性を秘めています。^{[5] [2] [6]}

理論的には、量子力学を利用して、量子鍵配送などの機能を使用して安全な通信を作成することが可能です。量子鍵配送は、安全な通信を可能にする量子暗号の応用です。 ^[3]量子テレポーテーションは、古典的なチャネルよりも高速にデータを転送できます。^{[4] [関連性がありますか? ]}

1998年に量子テレポーテーション実験が成功しました。 ^[7]プロトタイプの量子通信ネットワークは2004年に登場しました。 ^[8] 大規模通信ネットワークは、スモールワールド効果、コミュニティ構造、スケールフリーなどの非自明なトポロジーと特性を持つ傾向があります。^[6]

量子情報理論では、量子ビットは古典システムのビットに類似しています。量子ビットは、測定すると2つの状態のうちの1つであることが判明し、情報の伝達に使用される量子オブジェクトです。^[3] 光子の偏光や核スピンは、量子ビットとして使用できるバイナリ現象の例です。^[3]

量子もつれは、物理的に離れた2つ以上の量子ビットの量子状態間の相関によって特徴付けられる物理現象である。^{[3]最大もつれ状態とは、}もつれのエントロピーが最大となる状態である。^{[9] [10]}量子通信の文脈では、もつれ量子ビットは量子チャネルとして使用される。^[3]

ベル測定は、2つの量子ビットの量子力学的共同測定の一種であり、測定後、2つの量子ビットは最大限にエンタングルメントされる。^{[3] [10]}

エンタングルメントスワッピングは、量子ネットワークの研究で使用される戦略であり、ネットワーク内の接続を変更できる。^{[1] [11]}たとえば、4 つの量子ビット A、B、C、D があり、量子ビット C と D は同じステーション^{[明確化が必要]に属し、A と C は 2 つの異なるステーション[明確化が必要]}に属し、量子ビット A は量子ビット C とエンタングルメントされ、量子ビット B は量子ビット D とエンタングルメントされているとします。量子ビット A と B に対してベル測定を実行すると、量子ビット A と B がエンタングルメントされます。また、これら 2 つの量子ビットが直接相互作用することはないにもかかわらず、量子ビット C と D をエンタングルメントすることも可能です。このプロセスの後、量子ビット A と C、および量子ビット B と D 間のエンタングルメントは失われます。この戦略は、ネットワークトポロジを定義するために使用できます。^{[1] [11] [12]}

量子複雑ネットワークのモデルは同一の構造ではないが、通常、ノードは同じステーション（ベル測定やエンタングルメントスワッピングなどの操作を適用できる）内の量子ビットのセットを表し、ノードとノード間のエッジは、ノード内の量子ビットがノード内の量子ビットにエンタングルされていることを意味するが、これら2つの量子ビットは異なる場所にあるため物理的に相互作用することはできない。^{[1] [11]}リンクがエンタングルメントではなく相互作用項^{[説明が必要]}である量子ネットワークも興味深い^{[13] [どれ？ ]}${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

ネットワーク内の各ノードには、異なる状態の量子ビットのセットが含まれています。これらの量子ビットの量子状態を表すには、ディラック表記法を使用して、各量子ビットの2つの可能な状態をおよびと表すと便利です。^{[1] [11]この表記法では、結合}波動関数、が次のように分解できない場合、2つの粒子はエンタングルメント状態にあります。^{[3] [10]}${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |\psi _{ij}\rangle }$

${\displaystyle |\psi _{ij}\rangle =|\phi \rangle _{i}\otimes |\phi \rangle _{j},}$

ここで、 はノードiの量子ビットの量子状態を表し、 はノードjの量子ビットの量子状態を表します。 ${\displaystyle |\phi \rangle _{i}}$${\displaystyle |\phi \rangle _{j}}$

もう一つの重要な概念は最大エンタングルメント状態である。2つの量子ビット間のエンタングルメントのエントロピーを最大化する4つの状態（ベル状態）は次のように表される：^{[3] [10]}

${\displaystyle |\Phi _{ij}^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{i}\otimes |0\rangle _{j}+|1\rangle _{i}\otimes |1\rangle _{j}),}$

${\displaystyle |\Phi _{ij}^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{i}\otimes |0\rangle _{j}-|1\rangle _{i}\otimes |1\rangle _{j}),}$

${\displaystyle |\Psi _{ij}^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{i}\otimes |1\rangle _{j}+|1\rangle _{i}\otimes |0\rangle _{j}),}$

${\displaystyle |\Psi _{ij}^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{i}\otimes |1\rangle _{j}-|1\rangle _{i}\otimes |0\rangle _{j}).}$

Perseguers ら (2009) ^{[1]が提案した量子ランダムネットワークモデルは、}エルデシュ-レーニイモデルの量子版と考えることができます。このモデルでは、各ノードには、他の各ノードに 1 つずつ、量子ビットが含まれています。 で表されるノード間のエンタングルメントの度合いは、2 つのノードが確率 で接続を形成するエルデシュ-レーニイモデルのパラメータと同様の役割を果たしますが、量子ランダムネットワークの文脈では、 は、ローカル操作と古典的な通信のみを使用して、エンタングルメントされた量子ビットのペアを最大限エンタングルメントされた状態に変換する確率を指します。^[14]${\displaystyle N-1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

ディラック記法を用いると、ノードとノードを接続する一対のエンタングルメントされた量子ビットは次のように表される。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle |\psi _{ij}\rangle ={\sqrt {1-p/2}}|0\rangle _{i}\otimes |0\rangle _{j}+{\sqrt {p/2}}|1\rangle _{i}\otimes |1\rangle _{j},}$

の場合、2つの量子ビットはエンタングルメントされていません。 ${\displaystyle p=0}$

${\displaystyle |\psi _{ij}\rangle =|0\rangle _{i}\otimes |0\rangle _{j},}$

そして に対して、最大限にエンタングルメントされた状態が得られる。 ${\displaystyle p=1}$

${\displaystyle |\psi _{ij}\rangle ={\sqrt {1/2}}(|0\rangle _{i}\otimes |0\rangle _{j}+|1\rangle _{i}\otimes |1\rangle _{j})}$。

の中間値の場合、任意のエンタングルメント状態は、確率 で、LOCC操作を使用して最大エンタングルメント状態に正常に変換されます。^[14]${\displaystyle p}$${\displaystyle 0<p<1}$${\displaystyle p}$

このモデルを古典的な類似物と区別する特徴の 1 つは、量子ランダム ネットワークでは、リンクは測定された後にのみ実際に確立され、この事実を利用してネットワークの最終状態を形成することが可能であるという事実です。^{[関連性? ]}無限の数のノードを持つ初期の量子複雑ネットワークについて、Perseguers ら^{[1] は}、適切な測定とエンタングルメント スワッピングにより、がとしてスケールする場合に^、初期ネットワークを任意の有限サブグラフを含むネットワークに縮小することが可能になることを示しました (ただし) 。この結果は、ネットワークに含まれるサブグラフの種類が の値によって制限される古典的なグラフ理論とは矛盾しています。^{[15] [なぜ? ]}${\displaystyle p}$${\displaystyle N}$${\textstyle p\sim N^{Z}}$${\displaystyle Z\geq -2}$${\displaystyle z}$

エンタングルメントパーコレーションモデルは、量子ネットワークがエンタングルメントを通じて任意の2つのノード間の接続を確立できるかどうかを判断し、そのような接続を作成するための最良の戦略を見つけようとします。^{[11] [16]}

Cirac et al. (2007) ^{[16]は、Cuquet et al. (2009) [11]}によるモデルを複雑ネットワークに適用しました。このモデルでは、ノードは格子^[16]または複雑ネットワーク^[11 ] に分散され、各隣接ノードは、確率 で最大限にエンタングルされた量子ビット ペアに変換できる 2 組のエンタングルされた量子ビットを共有します。最大限にエンタングルされた量子ビットは、ノード間の真のリンクと考えることができます。古典的なパーコレーション理論では、 2 つのノードが接続される確率 で、 は臨界値 ( で示される) を持ちます。つまり、ランダムに選択された 2 つのノード間のパスが有限の確率で存在する場合、そのようなパスが存在する確率は漸近的にゼロになります。^{[17] は、}ネットワーク トポロジーにのみ依存します。^[17]${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p_{c}}$${\displaystyle p>p_{c}}$${\displaystyle p<p_{c}}$ ${\displaystyle p_{c}}$

^{同様の現象は、Cirac ら (2007) [16} ] が提案したモデルでも見られ、の場合、ランダムに選択された 2 つのノード間で最大限にエンタングルされた状態が形成される確率は の場合にゼロで の場合に有限です。古典的なパーコレーションとエンタングルされたパーコレーションの主な違いは、量子ネットワークでは、ネットワークの有効なトポロジーを変更する方法で、ネットワーク内のリンクを変更できることです。その結果、 は、部分的にエンタングルされた量子ビットを最大限に接続された^{[明確化が必要]}量子ビットに変換するために使用される戦略に依存します。^{[11] [16]}素朴なアプローチでは、量子ネットワークの場合 は、同じトポロジーを持つ古典的なネットワークの場合 に等しくなります。^{[16]ただし、量子スワッピングを利用して、}規則的な格子^[16]と複雑なネットワークの両方を下げることが可能であることが示されました。^[11]${\displaystyle p<p_{c}}$${\displaystyle p>p_{c}}$${\displaystyle p_{c}}$${\displaystyle p_{c}}$${\displaystyle p_{c}}$${\displaystyle p_{c}}$

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