スケールフリーネットワーク

スケールフリーネットワークとは、次数分布が少なくとも漸近的にはべき乗則に従うネットワークである。つまり、ネットワーク内のノードのうち他のノードとk個の接続を持つノードの割合P(k)は、 kの値が大きければ、

${\displaystyle P(k)\ \sim \ k^{\boldsymbol {-\gamma }}}$

ここで、 は、その値が通常 の範囲内にあるパラメータです（ の2番目のモーメント（スケールパラメータ）は無限大ですが、1番目のモーメントは有限です）。ただし、この範囲外になることもあります。^{[1] [2]}「スケールフリー」という名前は、次数分布のいくつかのモーメントが定義されていないため、ネットワークに特徴的なスケールまたは「サイズ」がないという事実によって説明できます。 ${\displaystyle \gamma }$${\textstyle 2<\gamma <3}$${\displaystyle k^{\boldsymbol {-\gamma }}}$

多くのネットワークはスケールフリーであると報告されているが、統計分析によりこれらの主張の多くに反論され、他の主張には深刻な疑問が投げかけられている。^{[3] [4]}さらに、次数分布がファットテールであることを知ることの方が、統計的に厳密な定義に従ってネットワークがスケールフリーであるかどうかを知ることよりも重要であると主張する人もいる。^{[5] [6]} 優先的付着と適応度モデルは、実際のネットワークで想定されるべき乗法則次数分布を説明するメカニズムとして提案されている。超線形優先的付着や第2隣接優先的付着などの代替モデルは、一時的なスケールフリーネットワークを生成するように見えるかもしれないが、ネットワークが非常に大きくなると次数分布はべき乗法則から逸脱する。^{[7] [8]}

科学論文間の引用ネットワークの研究において、デレク・デ・ソラ・プライスは1965 年に、論文へのリンク数、つまり論文が受ける引用数はパレート分布またはべき乗法則に従う重裾分布を示し、したがって引用ネットワークはスケールフリーであることを示した。しかし、彼は「スケールフリー ネットワーク」という用語は使用しなかった。この用語は数十年後まで造られなかった。1976 年の後の論文で、プライスは引用ネットワークにおけるべき乗法則の発生を説明するメカニズムも提案した。彼はこれを「累積的優位性」と呼んだが、今日では優先的付着という名前でより一般的に知られている。

スケールフリー ネットワークへの最近の関心は、1999 年にノートルダム大学のAlbert-László BarabásiとRéka Albertによる研究に始まりました。彼らは World Wide Web の一部のトポロジをマッピングし、^[9]彼らが「ハブ」と呼ぶ一部のノードは他のノードよりも多くの接続を持ち、ネットワーク全体ではノードに接続するリンクの数のべき乗分布を示すことを発見しました。Barabási とRéka Albert は、社会ネットワークや生物ネットワークを含むいくつかの他のネットワークもヘビーテールの次数分布を持つことを発見した後、べき乗次数分布を示すネットワークのクラスを表すために「スケールフリー ネットワーク」という用語を作り出しました。しかし、Amaral らは、社会、経済、技術、生物、物理システムの 7 つのネットワーク例を研究しましたが、これら 7 つの例の中にスケールフリー ネットワークを見つけることができませんでした。これらの例のうち、映画俳優ネットワークの1つだけが、中程度のkに対してべき乗則に従う次数分布P ( k )を持っていましたが、最終的にはこのべき乗則の後に、大きなkに対して指数関数的な減少を示す急激なカットオフが続きました。^[10]

バラバシとレカ・アルバートは、べき乗分布の出現を説明する生成メカニズムを提案した。彼らはこれを「優先的付着」と呼び、これは本質的にプライスが提案したものと同じである。このメカニズムの解析解（これもプライスの解に似ている）は、2000年にドロゴフツェフ、メンデス、サムキン^[11]によって、またクラピフスキー、レドナー、レイブラズによって独立に提示され、後に数学者ベラ・ボロバによって厳密に証明された。^[12]ただし、注目すべきことに、このメカニズムはスケールフリークラスのネットワークの特定のサブセットのみを生成するため、それ以来多くの代替メカニズムが発見されている。^[13]

スケールフリーネットワークの歴史には、いくつかの意見の相違もあります。経験的なレベルでは、いくつかのネットワークのスケールフリー性が疑問視されてきました。たとえば、ファロウトソス三兄弟は、トレースルートデータに基づいて、インターネットはべき乗法則の次数分布を持っていると信じていました。しかし、これはルーターによって作り出されたレイヤー3の錯覚であり、ルーターは高次ノードとして現れますが、相互接続するASの内部レイヤー2構造を隠しているのではないかと言われています。 ^[14]

理論レベルでは、スケールフリーの抽象的な定義の改良が提案されている。例えば、Li et al. (2005) は、より正確な「スケールフリーメトリック」を提案した。簡単に言うと、G を辺集合Eを持つグラフとし、頂点の次数(つまり、 に接続する辺の数) を で表す。定義する。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \deg(v)}$

${\displaystyle s(G)=\sum _{(u,v)\in E}\deg(u)\cdot \deg(v).}$

これは高次ノードが他の高次ノードと接続されたときに最大化されます。ここで定義します。

${\displaystyle S(G)={\frac {s(G)}{s_{\max }}},}$

ここで、s _{max は、} Gと同一の次数分布を持つすべてのグラフの集合における Hのs ( H )の最大値です。これは 0 から 1 の間のメトリックを与え、S ( G )が小さいグラフG は「スケールリッチ」であり、S ( G )が1 に近いグラフG は「スケールフリー」です。この定義は、「スケールフリー」という名前に暗示されている 自己相似性の概念を捉えています。

「スケールフリー」という概念がネットワークの文脈で最初に導入されたとき、^[9]それは主に特定の特性、すなわち与えられた変数に対するべき乗分布を指し、 と表現されました。この特性は連続的なスケール変換を受けてもその形を維持し、統計場理論における繰り込み群の手法との類似点を想起させます。^{[15] [16]}${\displaystyle k}$${\displaystyle f(k)\propto k^{-\gamma }}$${\displaystyle k\to k+\epsilon k}$

ただし、重要な違いがあります。統計場理論では、「スケール」という用語は多くの場合、システムのサイズに関係します。ネットワークの領域では、「スケール」は接続性の尺度であり、通常はノードの次数、つまりノードに接続されているリンクの数によって定量化されます。高次ノードの数が多いネットワークは、接続性が高いと見なされます。 ${\displaystyle k}$

べき乗法則の次数分布により、高次ノードの普及について「スケールフリー」な主張をすることができます。^[17]たとえば、「平均接続性の 3 倍のノードは、平均接続性のノードの半分の頻度で出現する」と言えます。「平均接続性」を構成する具体的な数値は、100 であろうと 100 万であろうと無関係になります。^[18]

スケールフリー ネットワークの最も顕著な特徴は、平均を大幅に超える次数を持つ頂点が比較的多く存在することです。最高次数のノードは「ハブ」と呼ばれることが多く、ネットワーク内で特定の目的を果たすと考えられていますが、これはドメインによって大きく異なります。

スケールフリー ネットワークのもう 1 つの重要な特性は、クラスタリング係数の分布です。これは、ノードの次数が増加するにつれて減少します。この分布もべき乗法則に従います。これは、低次数のノードが非常に密なサブグラフに属し、それらのサブグラフがハブを介して互いに接続されていることを意味します。ノードが人々で、リンクが人々の知り合い関係であるソーシャル ネットワークを考えてみましょう。人々がコミュニティ、つまり全員が全員を知っている小さなグループを形成する傾向があることは簡単にわかります (このようなコミュニティは完全なグラフと考えることができます)。さらに、コミュニティのメンバーは、そのコミュニティ外の人々とも少数の知り合い関係を持っています。ただし、一部の人々は多数のコミュニティに接続しています (例: 有名人、政治家)。これらの人々は、スモール ワールド現象の原因となるハブと考えることができます。

現在、スケールフリー ネットワークのより具体的な特性は、ネットワークの作成に使用される生成メカニズムによって異なります。たとえば、優先接続によって生成されるネットワークでは、通常、高次数の頂点がネットワークの中央に配置され、それらが接続されてコアが形成され、次第に低次数のノードがコアと周辺の間の領域を構成します。頂点の大部分をランダムに削除しても、ネットワーク全体の接続性にはほとんど影響がないため、このようなトポロジはセキュリティに役立つ可能性がありますが、標的型攻撃によって接続性が非常に急速に破壊されます。高次数の頂点を周辺に配置するその他のスケールフリー ネットワークでは、これらの特性は示されません。同様に、スケールフリー ネットワークのクラスタリング係数は、他のトポロジの詳細によって大きく異なる場合があります。

インターネットやソーシャル ネットワークなどの現実的なネットワークを表すスケール フリー ネットワークを効率的に免疫化する方法は、広く研究されてきました。そのような戦略の 1 つは、最大次数ノード、つまり標的型 (意図的) 攻撃を免疫化することです。この場合、p は比較的高く、免疫化に必要なノードの数が少なくなるためです。ただし、多くの現実的なケースでは、グローバル構造は利用できず、最大次数ノードは不明です。 ${\displaystyle c}$

ランダムグラフの特性はグラフ変換によって変化したり不変のままになったりする。例えば、 Mashaghi A.らは、ランダムグラフをエッジデュアルグラフ（または線グラフ）に変換する変換によって、次数分布はほぼ同じだが次数相関と大幅に高いクラスタリング係数を持つグラフの集合が生成されることを実証した。スケールフリーグラフは、そのような変換の下でもスケールフリーのままである。^[19]

現実世界のネットワークの多くはスケールフリーであると考えられていますが、より厳密なデータ分析手法に対する認識が高まっているため、その証拠はしばしば決定的なものではありません。^[3]そのため、多くのネットワークのスケールフリー性は、科学界でまだ議論されています。スケールフリーであると主張されているネットワークの例をいくつか挙げると、次のようになります。

• コラボレーション ネットワークを含むいくつかのソーシャル ネットワーク。広く研究されてきた 2 つの例としては、映画における映画俳優のコラボレーションと、数学者による論文の共著があります。
• インターネットやWorld Wide Webのウェブグラフを含む、さまざまな種類のコンピュータ ネットワーク。
• 銀行間決済ネットワークなどの金融ネットワーク^{[20] [21]}
• タンパク質間相互作用ネットワーク。
• 意味ネットワーク[ ^22]
• 航空会社のネットワーク。

スケールフリートポロジーは高温超伝導体にも見つかっている。^[23]高温超伝導体（電子が量子物理学の法則に従い、摩擦なく完全に同期して流れる化合物）の特性は、一見ランダムな酸素原子のフラクタル配列と格子歪みに関連していると思われる。^[24]

最近、空間充填セル構造である重み付き平面確率格子 (WPSL)が提案されました。この構造の配位数分布はべき乗法則に従います。これは、格子に、共通の境界を共有する驚くほど多数の隣接ブロックを持つ少数のブロックがあることを意味します。この構造は、イニシエーター (たとえば単位面積の正方形) と、それをランダムに 4 つのブロックに分割するジェネレーターから始まります。その後、ジェネレーターは、面積に関して優先的に選択された利用可能なブロックの 1 つだけに、連続して何度も適用されます。その結果、正方形は、互いに排他的なより小さな長方形のブロックに分割されます。各ブロックをその中心にあるノードに置き換え、ブロック間の各共通境界を 2 つの対応する頂点を結ぶ辺に置き換えることによって得られる WPSL の双対 (DWPSL) は、次数分布がべき乗法則に従うネットワークとして現れます。^{[25] [26]}その理由は、優先的愛着ルールを体現しているが、それを隠している 仲介主導型愛着モデルルールに従って成長するためです。

スケールフリー ネットワークは、偶然だけでは発生しません。Erdősと Rényi (1960)は、各ステップで 2 つのノードが均一にランダムに選択され、その間にリンクが挿入されるグラフの成長モデルを研究しました。これらのランダム グラフの特性は、スケールフリー ネットワークに見られる特性とは異なるため、この成長プロセスのモデルが必要です。

スケールフリー ネットワークのサブセットに対する最も広く知られている生成モデルは、Barabási と Albert (1999) のrich get richer生成モデルです。このモデルでは、新しい Web ページごとに、一様ではなく現在の Web ページの入次数に比例する確率分布に従って、既存の Web ページへのリンクが作成されます。このモデルは、もともとDerek J. de Solla Priceによって 1965 年に累積的優位性という用語で発明されましたが、Barabási が現在の名前 ( BA モデル)で結果を再発見するまで人気はありませんでした。このプロセスによると、多くの入リンクを持つページは、通常のページよりも多くの入リンクを引き付けます。これによりべき乗則が生成されますが、結果として得られるグラフは、小さな密接に接続されたコミュニティの存在など、他のプロパティにおいて実際の Web グラフとは異なります。より一般的なモデルとネットワーク特性が提案され、研究されています。たとえば、Pac​​hon らは、 (2018)は、2つの異なる接続ルール、すなわち優先接続メカニズムと最新のノードのみに対する均一な選択を考慮した、金持ちはさらに金持ちになる生成モデルの変形を提案した。 ^{[27]レビューについては、Dorogovtsevと}Mendesの書籍を参照のこと。^[要出典]超線形優先接続や第二近隣接続などのメカニズムは、一時的にスケールフリーであるが、ネットワークが大きくなるにつれてべき乗法則から逸脱するネットワークを生成する。^{[7] [8]}

ウェブリンクのやや異なる生成モデルは、Pennock ら (2002) によって提案されています。彼らは、大学、公的企業、新聞、科学者のホームページなど、特定のトピックに関心を持つコミュニティを調査し、ウェブの主要なハブを除外しました。この場合、リンクの分布はもはやべき乗法則ではなく、正規分布に似ていました。これらの観察に基づいて、著者らは、優先的な接続とリンクを獲得するベースライン確率を組み合わせた生成モデルを提案しました。

もう一つの生成モデルは、クマールら^{[28] （2000）が研究した}コピーモデルであり、新しいノードが既存のノードをランダムに選択し、既存のノードのリンクの一部をコピーする。これもべき乗則を生成する。

バラバシ・アルバートモデルにおけるべき乗分布の出現を説明する主な要素は2つある。成長と優先的結合である。^[29] 「成長」とは、長期間にわたって新しいノードが既存のシステム、ネットワークに参加する成長プロセスを意味する（10年間で数十億のウェブページが成長したワールドワイドウェブなど）。最後に、「優先的結合」とは、新しいノードがすでに他のノードと多数のリンクを持っているノードに接続することを優先することを意味する。したがって、より多くのノードがすでに多くのリンクを持っているノードにリンクする可能性が高くなり、最終的にこのノードがハブにつながる。^[9] ネットワークに応じて、ハブは同類または非同類のいずれかになる可能性がある。同類性は、つながりの深い/有名な人々がお互いをよく知っている傾向があるソーシャルネットワークに見られる。非同類性は、技術的（インターネット、ワールドワイドウェブ）および生物学的（タンパク質相互作用、代謝）ネットワークに見られる。^[29]

しかし、ネットワークの成長（新しいノードの追加）は、スケールフリーネットワークを作成するための必要条件ではありません（Dangalchev ^[30]を参照）。1つの可能性（Caldarelli et al. 2002）は、構造を静的と見なし、関係する2つの頂点の特定の特性に従って頂点間にリンクを描くことです。これらの頂点特性（適応度）の統計分布を指定すると、状況によっては静的ネットワークでもスケールフリー特性が発現することがわかります。

スケールフリー複雑ネットワークのモデリングは活発に行われている。バラバシとアルバートの手法^[31]に続いて、いくつかのバリエーションと一般化^{[32] [33] [34] [35] [27]}が行われ、以前の数学的研究が改訂された。^[36]

今日の言葉で言えば、複雑なネットワークがメトリクスのいずれかのべき乗分布を持つ場合、それは一般的にスケールフリーネットワークと見なされます。同様に、この特徴を持つモデルはすべてスケールフリーモデルと呼ばれます。^[17]

多くの実際のネットワークは（近似的に）スケールフリーであるため、それらを記述するにはスケールフリー モデルが必要です。プライスのスキームでは、スケールフリー モデルを構築するために必要な要素が 2 つあります。

1.ノードの追加または削除。通常は、ネットワークの拡大、つまりノードの追加に集中します。

2.優先接続:新しいノードが「古い」ノードに接続される 確率。${\displaystyle \Pi }$

いくつかのモデル（Dangalchev ^[30]および以下の適応度モデルを参照）は、ノードの数を変えずに静的に動作することもできることに注意してください。また、「優先的付着」モデルがスケールフリーネットワークを生み出すという事実は、これが現実世界のスケールフリーネットワークの進化の根底にあるメカニズムであることを証明するものではないことにも留意する必要があります。現実世界のシステムでは、スケーリングを生み出す異なるメカニズムが機能している可能性があるからです。

スケールフリー ネットワーク プロパティを生成する試みはいくつか行われてきました。次に例をいくつか示します。

バラバシ・アルバートモデルはプライスモデルの無向バージョンであり、線形優先接続を持ち、タイムステップごとに新しいノードを 1 つ追加します。 ${\displaystyle \Pi (k_{i})={\frac {k_{i}}{\sum _{j}k_{j}}}}$

(実際のネットワークにおけるのもう 1 つの一般的な特徴は、 、つまり、新しいノードが孤立したノードに接続される確率がゼロではないことです。したがって、一般に は の形を持ちます。ここで はノードの初期の魅力です。) ${\displaystyle \Pi (k)}$${\displaystyle \Pi (0)\neq 0}$${\displaystyle \Pi (k)}$${\displaystyle \Pi (k)=A+k^{\alpha }}$${\displaystyle A}$

^{ダンガルチェフ（ [30]}参照）は、優先的接続におけるターゲットノードの各隣接ノードの重要性を考慮して2-Lモデルを構築します。2-Lモデルにおけるノードの魅力は、そのノードにリンクされているノードの数だけでなく、各ノードのリンクの数にも依存します。

${\displaystyle \Pi (k_{i})={\frac {k_{i}+C\sum _{(i,j)}k_{j}}{\sum _{j}k_{j}+C\sum _{j}k_{j}^{2}}},}$

ここで、C は0 から 1 の間の係数です。

2-Lモデルの変形であるk2モデルでは、第1および第2の隣接ノードがターゲットノードの魅力に等しく貢献し、一時的なスケールフリーネットワークの出現を示しています。^[8] k2モデルでは、ネットワークが比較的小さい限り、次数分布はほぼスケールフリーに見えますが、ネットワークが大きくなるにつれて、スケールフリー体制からの大きな逸脱が現れます。その結果、異なる次数を持つノードの相対的な魅力は時間の経過とともに変化しますが、これは実際のネットワークでも観察される特徴です。

仲介駆動型接続（MDA）モデルでは、エッジを持つ新しいノードは、既存の接続ノードをランダムに選択し、そのノードではなく、ランダムに選択されたその隣接ノードに接続します。選択された既存のノードの ノードが、${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \Pi (i)}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle \Pi (i)={\frac {k_{i}}{N}}{\frac {\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{k_{j}}}}{k_{i}}}.}$

係数は、ノードの近傍の次数の調和平均 (IHM) の逆数です。広範な数値調査により、おおよそ に対して、大極限での平均 IHM 値は定数となり、つまり となることが示唆されています。これは、ノードが持つリンク (次数) が高いほど、仲介者を介してより多くの方法でリンクに到達できるため、より多くのリンクを獲得するチャンスが高くなることを意味します。これは、本質的に、金持ちはさらに金持ちになるという直感的なアイデア (またはバラバシ-アルバート モデルの優先的接続ルール) を体現しています。したがって、MDA ネットワークは PA ルールに従っているように見えますが、それは偽装されています。^[37]${\displaystyle {\frac {\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{k_{j}}}}{k_{i}}}}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle m>14}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \Pi (i)\propto k_{i}}$

しかし、これは勝者がすべてを手に入れるメカニズムを説明しています。全ノードのほとんどが次数 1 であり、次数が 1 つの超富裕層であることがわかります。価値が増加すると、超富裕層と貧困層の間の格差が減少し、金持ちがさらに超富裕層になるメカニズムから、金持ちがさらに富裕層になるメカニズムへの移行が見られます。 ${\displaystyle m=1}$${\displaystyle 99\%}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m>14}$

バラバシ・アルバートモデルは、ノードがノード に接続する確率がノード の次数に比例すると仮定します。この仮定には 2 つの仮説が含まれます。1 つ目は、のランダム グラフとは対照的に、は に依存し、2 つ目は、 の関数形式がで線形であるということです。 ${\displaystyle \Pi (k)}$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \Pi (k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \Pi (k)=p}$${\displaystyle \Pi (k)}$${\displaystyle k}$

非線形優先的付着では、の形は線形ではなく、最近の研究では次数分布は関数の形状に強く依存することが実証されている。${\displaystyle \Pi (k)}$${\displaystyle \Pi (k)}$

Krapivsky、Redner、Leyvraz ^[34]は、ネットワークのスケールフリーな性質は非線形の優先的付着では破壊されることを示している。ネットワークのトポロジーがスケールフリーである唯一のケースは、優先的付着が漸近的に線形である場合、つまりとなる場合である。この場合、速度方程式は ${\displaystyle \Pi (k_{i})\sim a_{\infty }k_{i}}$${\displaystyle k_{i}\to \infty }$

${\displaystyle P(k)\sim k^{-\gamma }{\text{ with }}\gamma =1+{\frac {\mu }{a_{\infty }}}.}$

この方法では、次数分布の指数を 2 から の間の任意の値に調整できます。^{[説明が必要]}${\displaystyle \infty }$

階層型ネットワークモデルは、設計上、スケールフリーであり、ノードのクラスタリングが高い。^[38]

反復的な構築により、階層型ネットワークが実現します。5 つのノードが完全に接続されたクラスターから始めて、各クラスターの周辺ノードを元のクラスターの中央ノードに接続する 4 つの同一のレプリカを作成します。これにより、25 個のノード ( N  = 25) のネットワークが得られます。同じプロセスを繰り返すと、元のクラスターのレプリカをさらに 4 つ作成できます。各レプリカの 4 つの周辺ノードは、最初の手順で作成されたノードの中央ノードに接続します。これにより、N  = 125 となり、プロセスは無制限に続行できます。

その考え方は、2つの頂点間のリンクが、すべての頂点のペアに対して等しい確率pでランダムに割り当てられるわけではないというものである。むしろ、すべての頂点jには固有の適応度 xjがあり_、頂点iとjの間のリンクは確率で作成される 。^[39] World Trade Webの場合、国の適応度としてGDPを使用し、 ${\displaystyle p(x_{i},x_{j})}$

${\displaystyle p(x_{i},x_{j})={\frac {\delta x_{i}x_{j}}{1+\delta x_{i}x_{j}}}.}$^[40]

ネットワークが双曲幾何学を基礎としていると仮定すると、空間ネットワークのフレームワークを使用してスケールフリーの次数分布を生成することができます。この不均一な次数分布は、基礎となる双曲幾何学の負の曲率とメトリック特性を単純に反映しています。^[41]

低次の相関とクラスタリング係数を持つスケールフリーグラフから始めて、エッジデュアル変換を適用することで、はるかに高い次数の相関とクラスタリング係数を持つ新しいグラフを生成することができます。^[19]

UPAモデルは、Pachonらが提案した優先的付着モデルの一種で、2つの異なる付着ルールを考慮している。1つは、金持ちがさらに金持ちになるシステムを強調する優先的付着メカニズム（確率1−p）で、もう1つは、最新のノードに対する均一な選択（確率p）である。この修正は、次数分布のスケールフリー挙動の堅牢性を研究するのに興味深い。漸近的にべき乗法則の次数分布が保存されることが解析的に証明されている。^[27]

ネットワーク理論の文脈では、スケールフリー理想ネットワークは、スケールフリー理想気体密度分布に従う次数分布を持つランダムネットワークです。これらのネットワークは、競争的なクラスター成長プロセスをネットワークに適用すると、複雑ネットワーク上の情報理論を使用して社会集団のサイズ分布を解明することで、都市サイズの分布と選挙結果を再現できます。^{[42] [43]スケールフリー理想ネットワークのモデルでは、}ダンバー数が「 6次の隔たり」として知られる現象の原因であることを示すことができます。

ノードとべき乗指数を持つスケールフリーネットワークの場合、より大きい次数を持つ頂点によって構成される誘導サブグラフはを持つスケールフリーネットワークであり、ほぼ確実に である。^[44]${\displaystyle n}$${\displaystyle \gamma >3}$${\displaystyle \log {n}\times \log ^{*}{n}}$${\displaystyle \gamma '=2}$

スケールフリーネットワークのべき乗指数の推定は、通常、均一にサンプリングされた少数のノードの次数による最大尤度推定を使用して行われます。 ^{[3]しかし、均一サンプリングではべき乗次数分布の重要な重い裾から十分なサンプルが得られないため、この方法では大きなバイアスと分散が生じる可能性があります。最近、}友情パラドックスの結果として次数分布の裾から来る可能性が高いランダムな友人（つまり、ランダムリンクのランダムな端）をサンプリングすることが提案されました。^{[45] [46]}理論的には、ランダムな友人を使用した最大尤度推定は、均一サンプリングに基づく古典的なアプローチと比較して、より小さなバイアスとより小さな分散につながります。^[46]${\displaystyle \gamma }$

• ランダムグラフ – ランダムなプロセスによって生成されたグラフ
• Erdős-Rényi モデル – ランダム グラフを生成する 2 つの密接に関連したモデル
• 非線形優先接続
• ボーズ・アインシュタイン凝縮（ネットワーク理論）  - ネットワーク科学におけるモデルPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• スケール不変性 – 長さやエネルギースケールに共通の因数を掛けても変化しない特徴
• 複雑ネットワーク – 非自明なトポロジー特性を持つネットワーク
• Webgraph  – 接続されたウェブページのグラフ
• Barabasi-Albert モデル – スケールフリー ネットワーク生成アルゴリズム
• ビアンコーニ・バラバシ モデル – ネットワーク科学のモデルPages displaying wikidata descriptions as a fallback

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