双曲群

シュヴァルツ・ミルノール補題^{[ 2 ]}は、群が${\displaystyle G}$適切な長さの空間上で、不連続かつコンパクトな商空間で適切に作用する（このような作用はしばしば幾何学的作用と呼ばれる）。${\displaystyle Y}$すると有限生成となり、任意のケイリーグラフは${\displaystyle G}$は準等長である${\displaystyle Y}$したがって、群が（有限生成かつ）双曲的であるのは、それが適切な双曲空間に幾何学的作用を持つ場合に限る。

もし${\displaystyle G'\subset G}$は有限指数を持つ部分群です（つまり、集合${\displaystyle G/G'}$が有限である場合、包含関係は、局所的に有限なケイリーグラフの頂点に準等長写像を誘導する。${\displaystyle G'}$任意の局所有限ケイリーグラフに${\displaystyle G}$。 したがって${\displaystyle G'}$双曲的であるのは、${\displaystyle G}$それ自体がそうです。より一般的に言えば、2つの群が可換である場合、一方が双曲的であるのは、他方が双曲的である場合に限ります。

双曲群の最も単純な例は有限群（ケイリーグラフは有限直径であるため、${\displaystyle \delta }$-双曲線で${\displaystyle \delta }$この直径に等しい）。

もう一つの簡単な例は、無限巡回群である。${\displaystyle \mathbb {Z} }$: ケイリーグラフ${\displaystyle \mathbb {Z} }$生成集合に関して${\displaystyle \{\pm 1\}}$は直線なので、すべての三角形は線分であり、グラフは${\displaystyle 0}$-双曲的。したがって、実質的に巡回的である群（${\displaystyle \mathbb {Z} }$有限指数の）も双曲的であり、例えば無限二面体群 である。

この種の群の要素は、しばしば初等双曲群と呼ばれる（この用語は、双曲平面上の作用の用語から派生したものである）。

させて${\displaystyle S=\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$有限集合であり、${\displaystyle F}$生成集合を持つ自由群とする${\displaystyle S}$するとケイリーグラフは${\displaystyle F}$に関して${\displaystyle S}$は局所的に有限な木であり、したがって0-双曲空間である。したがって${\displaystyle F}$双曲群である。

より一般的には、任意のグループが${\displaystyle G}$これは、局所的に有限な木に対して適切に不連続に作用します（この文脈では、これはまさに安定化装置が${\displaystyle G}$頂点の数が有限である場合）は双曲型である。実際、これは次の事実から導かれる。${\displaystyle G}$コンパクト商で作用する不変部分木を持ち、スヴァルツ・ミルナー補題が成り立つ。このような群は実際には実質的に自由群（すなわち、有限指数の有限生成自由部分群を含む）であり、これが双曲性の別の証明となる。

興味深い例として、モジュラー群が挙げられる。${\displaystyle G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$:双曲平面の関連するテッセレーションの 1-スケルトンによって与えられる木に作用し、指数 6 の有限指数自由部分群 (2 つの生成元上) を持ちます (例えば、行列の集合)${\displaystyle G}$これは、2 を法とする恒等式に帰着する群です。この例の興味深い特徴に注目してください。双曲空間 (双曲平面) 上では適切に不連続に作用しますが、作用はココンパクトではありません (そして実際${\displaystyle G}$双曲平面に対して準等長ではない。

モジュラー群の例を一般化すると、フックス群は双曲平面上で適切に不連続な作用を許容する群（言い換えれば、離散部分群）である。${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$双曲平面は${\displaystyle \delta }$-双曲空間であり、したがってスヴァルク・ミルナーの補題によれば、ココンパクト・フックス群は双曲的である。

その例としては、負のオイラー標数を持つ閉曲面の基本群が挙げられる。実際、これらの曲面は、ポアンカレ・コーベの一様化定理が示唆するように、双曲平面の商として得られる。

コンパクトフックス群の別の例としては、三角形群が挙げられる。これらの三角形群のうち、有限個を除いてすべて双曲型である。

閉曲面の例を一般化すると、厳密に負の断面曲率を持つコンパクトリーマン多様体の基本群は双曲型である。例えば、直交群またはユニタリ群のココンパクト格子は、ある形式の符号を保存する。${\displaystyle (n,1)}$双曲線的である。

CAT(k)空間上で幾何学的作用を許容する群によって、さらに一般化が与えられる。${\displaystyle k}$は任意の負の数です。^{[ 3 ]}これまでの構成のいずれとも比較できない例が存在します（例えば、双曲的な建物に幾何学的に作用する群など）。

小さな相殺条件を満たす表示を持つ群は双曲群である。これは、上述の例とは異なり、幾何学的な起源を持たない例を生み出す。実際、双曲群が最初に開発された動機の一つは、小さな相殺条件に、より幾何学的な解釈を与えることであった。

ある意味では、定義関係が大きい有限表示群の「ほとんど」は双曲群である。これが何を意味するのかを定量的に説明するには、「ランダム群」を参照のこと。

• 双曲群ではない群の最も単純な例は、自由ランク2アーベル群である。${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$実際、それはユークリッド平面と準等長であり、ユークリッド平面は双曲的ではないことが容易にわかる（例えば、相似変換が存在するため）。
• より一般的には、${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$部分群としては双曲的ではない。^{[ 4 ] [ 5 ]}特に、高階半単純リー群と基本群の格子${\displaystyle \pi _{1}(S^{3}\setminus K)}$非自明な結び目補集合は、この範疇に属し、したがって双曲的ではない。これは、閉じた双曲曲面の写像類群についても同様である。
• Baumslag –Solitar群B ( m , n ) および、あるB ( m , n )と同型な部分群を含む任意の群は双曲的ではない ( B (1,1) =${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$これは、前の例を一般化したものである。
• ランク 1 の単純リー群における非一様格子が双曲的であるのは、その群が同種である場合に限る。${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$（同等に、関連する対称空間は双曲平面である）。その例として双曲結び目群が挙げられる。別の例としてはビアンキ群がある。${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}({\sqrt {-1}})}$。

• 双曲群はティッツの代替条件を満たす。すなわち、双曲群は実質的に解ける（この条件を満たすのは初等双曲群のみである）か、非可換自由群と同型な部分群を持つかのいずれかである。
• 非初等双曲群は、非常に強い意味で単純ではありません。${\displaystyle G}$が非初等双曲的である場合、無限部分群が存在する${\displaystyle H\triangleleft G}$そのため${\displaystyle H}$そして${\displaystyle G/H}$どちらも無限です。
• 剰余有限でない双曲群が存在するかどうかは不明である。

• 非初等的（無限かつ実質的に巡回的ではない）双曲群は常に指数関数的な成長率を持つ（これはティッツの代替案の結果である）。
• 双曲群は線形等周不等式を満たす。^{[ 6 ]}

• 双曲群は常に有限表示である。実際、可縮で群が幾何学的に作用する複体（リップス複体）を明示的に構成することができる^{[ 7 ]}ので、それはF∞型である。群がねじれフリーの場合_、作用は自由であり、群が有限のコホモロジー次元を持つことを示している。
• 2002年にI. Mineyevは、双曲群は、有界コホモロジーと通常のコホモロジー間の比較写像がすべての次数で全射である有限生成群、または同等に次数2で全射である群であることを示した。 ^{[ 8 ]}

• 双曲群には解ける単語問題があります。双曲群は双自動的かつ自動的です。[ ^{9 ]実際}、双曲群は強く測地的に自動的であり、つまり、単語受理器によって受理される言語がすべての測地語の集合であるような自動構造が群上に存在します。
• 2010年に双曲群には決定可能なマーク付き同型問題があることが示されました。^{[ 10 ]}これは同型問題、軌道問題（特に共役問題）、ホワイトヘッド問題がすべて決定可能であることを意味することに注目すべきです。
• キャノンとスウェンソンは、無限遠に2球面を持つ双曲群には自然な分割規則があることを示した。^{[ 11 ]}これはキャノンの予想に関連している。

相対双曲群は双曲群を一般化したクラスです。非常に大まかに言うと^{[ 12 ]}${\displaystyle G}$コレクションに対して双曲的である${\displaystyle {\mathcal {G}}}$部分群の 1 つで、適切な双曲空間上で(必ずしもコンパクトではない) 適切に不連続な作用を許容する場合${\displaystyle X}$これは境界線上で「良い」${\displaystyle X}$そして、安定器が${\displaystyle G}$境界上の点のサブグループは${\displaystyle {\mathcal {G}}}$これは、両方が${\displaystyle X}$そして、${\displaystyle G}$の上${\displaystyle X}$初歩的ではない（特に${\displaystyle X}$無限である。例えば、すべての群は、一点への作用を通して、それ自身に対して双曲的である。

このクラスの興味深い例としては、特に階数1の半単純リー群における非一様格子、例えば有限体積の非コンパクト双曲多様体の基本群などが挙げられる。非例としては、高階リー群および写像類群における格子が挙げられる。

さらに一般的な概念としては、非円筒双曲群という概念がある。^{[ 13 ]}群の作用の非円筒性${\displaystyle G}$距離空間において${\displaystyle X}$これは、行為の適切な不連続性の弱化である。^{[ 14 ]}

群が非線形双曲的であるとは、(必ずしも真の)グロモフ双曲空間に非初等的な非線形作用を許容する場合をいう。この概念には、曲線複体への作用による写像類群も含まれる。高階リー群の格子は、(依然として!)非線形双曲的ではない。

別の方向性としては、上記の例における曲率に関する仮定を弱めることができる。CAT (0)群とは、CAT(0)空間上で幾何学的作用を許容する群のことである。これには、ユークリッド結晶群や高階リー群における均一格子が含まれる。

CAT(0)ではない双曲群が存在するかどうかは不明である。^{[ 15 ]}