拡張負二項分布

確率と統計において、拡張負二項分布は、負二項分布を拡張した離散確率分布です。これは負二項分布の切り捨て版であり^{[ 1 ]}、推定方法が研究されています^{[ 2 ] 。}

アクチュアリー科学の文脈では、この分布は、K. Hess、A. Liewald、KD Schmidt [ 3 ] による論文で、拡張 Panjer 再帰が機能するすべての分布を特徴付けた際に、その一般形として現れました^{。m = 1 の場合、この分布はすでに Willmot [ 4 ] によって議論され、HU Gerber [ 5 ]}によって対数分布と負^の二項分布^{とともにパラメータ化}された族に分類されました。

自然数m ≥ 1と実数パラメータp、r ( 0 < p ≤ 1かつ– m < r < – m + 1)に対して、ExtNegBin( m , r , p ) 分布の確率質量関数は次のように与えられる。

${\displaystyle f(k;m,r,p)=0\qquad {\text{ for }}k\in \{0,1,\ldots ,m-1\}}$

そして

${\displaystyle f(k;m,r,p)={\frac {{k+r-1 \choose k}p^{k}}{(1-p)^{-r}-\sum _{j=0}^{m-1}{j+r-1 \choose j}p^{j}}}\quad {\text{for }}k\in {\mathbb {N} }{\text{ with }}k\geq m,}$

どこ

${\displaystyle {k+r-1 \choose k}={\frac {\Gamma (k+r)}{k!\,\Gamma (r)}}=(-1)^{k}\,{-r \choose k}\qquad \qquad (1)}$

は（一般化）二項係数であり、Γはガンマ関数を表す。

s ∈ (0, 1 ]に対するf ( . ; m , r , ps )も確率質量関数であることを用いると、確率母関数は次のように与えられることがわかる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (s)&=\sum _{k=m}^{\infty }f(k;m,r,p)s^{k}\\&={\frac {(1-ps)^{-r}-\sum _{j=0}^{m-1}{\binom {j+r-1}{j}}(ps)^{j}}{(1-p)^{-r}-\sum _{j=0}^{m-1}{\binom {j+r-1}{j}}p^{j}}}\qquad {\text{for }}|s|\leq {\frac {1}{p}}.\end{aligned}}}$

重要なケースm = 1の場合、したがってr ∈ (–1, 0)となり、これは次のように簡略化されます。

${\displaystyle \varphi (s)={\frac {1-(1-ps)^{-r}}{1-(1-p)^{-r}}}\qquad {\text{for }}|s|\leq {\frac {1}{p}}.}$